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苏科版八年级数学上册专题2.2等腰三角形的性质与判定【十大题型】同步特训(学生版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册专题2.2等腰三角形的性质与判定【十大题型】同步特训(学生版+解析)，共68页。
专题2.2 等腰三角形的性质与判定【十大题型】【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc3450" 【题型1 根据等边对等角求角度】 PAGEREF _Toc3450 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc13550" 【题型2 根据等边对等角证明】 PAGEREF _Toc13550 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc32519" 【题型3 根据三线合一求解】 PAGEREF _Toc32519 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc28177" 【题型4 根据三线合一证明】 PAGEREF _Toc28177 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc19684" 【题型5 根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形】 PAGEREF _Toc19684 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc12482" 【题型7 根据等角对等边证明边相等】 PAGEREF _Toc12482 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc14229" 【题型8 根据等角对等边求边长】 PAGEREF _Toc14229 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc12677" 【题型9 求与图形中任意两点构成等腰三角形的个数】 PAGEREF _Toc12677 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc26478" 【题型10 等腰三角形的判定与性质的综合运用】 PAGEREF _Toc26478 \h 12【知识点 等腰三角形】（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.【题型1 根据等边对等角求角度】【例1】（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针方向旋转40°得到△A'BC'，点A'恰好落在AC上，连接CC'，则∠ACC'度数为（ ） A．110° B．105° C．100° D．95°【变式1-1】（2023春·广东梅州·八年级校考期末）在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，∠ABD=50°，则∠C的度数为 ．【变式1-2】（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E；……按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（ ） A．12n75° B．12n−165° C．12n−175° D．12n85°【变式1-3】（2023春·海南海口·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE=∠AED，连接DE．(1)如图①，∠B=∠C=36°，∠BAD=72°，求∠CDE的度数．(2)如图②，若∠ABC=∠ACB=65°，∠CDE=20°，求∠BAD的度数．(3)当点D在直线BC上运动时（不与点B、C重合），试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【题型2 根据等边对等角证明】【例2】（2023春·湖南·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A=45°，点D在AB边上，BC=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F．(1)求证△DCE≌△CBF；(2)若AB=AC，求证DE=12DB．【变式2-1】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．【变式2-2】（2023春·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1=∠2，AB=ED，求证：∠DBC=∠DCB．【变式2-3】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）如图，已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，D为线段CB延长线上一点，连接AD，DE平分∠ADC交AC、AB于点E、F，且∠ADC+32∠ABC=180°．(1)猜想∠DAC与∠ACD的数量关系，并证明；(2)求证AD=DC+EC．【题型3 根据三线合一求解】【例3】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，点D为CA延长线上一点，DH⊥BC于点H，点F为AB延长线上一点，连接DF交CB的延长线于点E，点E是DF的中点，若BH=2，BE=2BH，则BC= ． 【变式3-1】（2023春·河北邢台·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，边AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE，交AD于点F．若∠C=66°，则∠AFE的度数为（ ） A．48° B．62° C．72° D．82°【变式3-2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）如图，在ΔABC中，AB=BC,SΔABC=3cm2，边BC的垂直平分线为l，点D是边AC的中点，点P是l上的动点，当ΔPCD的周长取最小值4时，则AC= ．【变式3-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，交AB于点M，点F为边AB上一点，连接CF，∠ACF=∠CBG．(1)若∠FCM=18°，则∠BGC的度数为______；(2)若点G是BD的中点，判断CF与DE的数量关系，并说明理由．【题型4 根据三线合一证明】【例4】（2023春·福建莆田·八年级校考期中）如图，ΔABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，DE//AC(1)求证：EB=ED．(2)求证：AE=DE．【变式4-1】（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，求证： (1)△ABC≌△ADC；(2)AC⊥BD．【变式4-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，点E、F分别在直线AB、AC上运动，且始终保持AE=CF．(1)如图①，若点E、F分别在线段AB、AC上，DE与DF相等且DE与DF垂直吗？请说明理由；(2)如图②，若点E、F分别在线段AB、CA的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．【变式4-3】（2023春·河北廊坊·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AC=BC,∠A=∠ABC=45°,D为AB中点，点E是AB边上一动点（不含端点A、B），连接CE，点F为CE上一点，BF始终垂直于CE，交直线CD于点G． (1)点E在线段AD上运动（如图1），当CG=AE时，求证：BG=CE；(2)若点E运动到线段BD上（如图2），当CG=AE时，试猜想BG、CE的数量关系是否发生变化，请写出你的结论并加以证明；(3)过点A作AH⊥CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M（如图3），求证：△BCE≌△CAM．【题型5 根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形】【例5】（2023春·上海浦东新·八年级校联考期末）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．（1）求证：∠D＝∠E；（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有 个等腰三角形．【变式5-1】（2023春·广西钦州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直线AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式5-2】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ABC=72°，∠A=36°，用尺规作图作出射线BD交AC于点D，则图中等腰三角形共有 个． 【变式5-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图1，∠DAB=∠ABC=90°，∠BAC=45°，CE⊥BD．(1)求证：AD=BE；(2)如图2，若点E是AB的中点，连接DE、CD，在不添加其他字母的条件下，写出图中四个等腰三角形．【题型6 根据等角对等边证明等腰三角形】【例6】（2023春·重庆江北·八年级校考期中）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CBA与∠CAB的平分线相交于点E，延长AE交BC于点D，过点E作EF⊥AD交AC于F，作EG∥AB交AC于点G．(1)求证：△GEF为等腰三角形；(2)求证：AF+BD=AB．【变式6-1】（2023春·吉林松原·八年级统考期中）如图，∠1+∠2=180°，GP平分∠BGH．(1)求证：△PGH是等腰三角形；(2)若∠1=116°，求∠GPD的度数．【变式6-2】（2023春·广东广州·八年级校考期末）如图，四边形ABCD中，∠DCB+∠CBA=180°，过点D作∠CDE=∠CAB，DE与C交于点D，与AC交于点H．(1)求证：△CHD为等腰三角形；(2)若E为BC中点，猜想AH，HD与EH三者的数量关系．并证明之【变式6-3】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级统考期末）数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．【题型7 根据等角对等边证明边相等】【例7】（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC=60°，∠C=45°． (1)求证：AB=BD；(2)设BD与AE交于点F，求证：CE=BF+EF．【变式7-1】（2023春·天津·八年级期中）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，AB＝AC，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，求证：BD＝CE．【变式7-2】（2023春·湖北孝感·八年级统考期末）如图，△ABC中，CA=CB，点D在BC的延长线上，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，与AC相交于点G．(1)求证：CG=CE；(2)若∠B=30°，∠CAD=40°，求∠AEF和∠D的度数；(3)求证：∠D=2∠AEF．【变式7-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知：在锐角△ABC中，AD为BC边上的高，∠ABD＝2∠CAD．(1)如图1，求证：AB＝BC；(2)如图2，点E为AB上一点，且BE＝CD，连接DE，∠AED+∠BDE＝90°，求证∠ABC＝45°；(3)如图3，在（2）的条件下，过B作BF⊥AC于点F，BF交AD于点G，连接CG，若S△CDG＝2，求△ABG的面积．【题型8 根据等角对等边求边长】【例8】（2023春·山东聊城·八年级校考期末）如图，AD为△ABC的角平分线．(1)如图 1 ，若CE⊥AD于点 F，交AB于点 E ，AB=8 ，AC=5．求 BE的长．(2)如图 2 ，若∠C=2∠B，点 E 在AB上，且AE=AC，AB=a ，AC=b ，求CD的长；（用含 a 、b 的式子表示）【变式8-1】（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市稠江中学校联考期中）如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A,B两点望灯塔C，测得∠NAC=35°,∠NBC=70°，则B处到灯塔C的距离为（ ）A．45海里 B．30海里 C．20海里 D．15海里【变式8-2】（2023春·湖北襄阳·八年级校联考期中）如图，将一张长方形纸片ABCD按图中那样折叠，若AE＝5，AB＝12，BE＝13，则重叠部分（阴影）的面积是 ．【变式8-3】（2023春·辽宁盘锦·八年级校考期中）如图，CE平分∠ACB且CE⊥DB于E，∠DAB=∠DBA，又知AC=14，△CDB的周长为22，则DB的长为( )A．6 B．7 C．8 D．9【题型9 求与图形中任意两点构成等腰三角形的个数】【例9】（2023春·河北邢台·八年级校考期末）题目：“如图，已知∠AOB=30∘，点M，N在边OA上，OM=x，MN=2，P是射线OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有3个，求x的取值范围。”对于其答案，甲答：x=0，乙答：00，n>0，
∴m=2，n=2，
∴CG=22，DG=2，
∵AB=BC，BF⊥AC，
∴AF=CF，
∴AG=CG=22，
∴BD=AD=AG+DG=22+2，
∴S△ABG=12AG⋅BD=12×22×(22+2)=4+22．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BDG≌△ADC是解题的关键．
【题型8 根据等角对等边求边长】
【例8】（2023春·山东聊城·八年级校考期末）如图，AD为△ABC的角平分线．
(1)如图 1 ，若CE⊥AD于点 F，交AB于点 E ，AB=8 ，AC=5．求 BE的长．
(2)如图 2 ，若∠C=2∠B，点 E 在AB上，且AE=AC，AB=a ，AC=b ，求CD的长；（用含 a 、b 的式子表示）
【答案】(1)BE=3
(2)DC=a−b
【分析】（1）利用ASA证明△AEF≌△ACF，得AE=AC=5，得出答案；
（2）利用ASA证明△ADE≌△ADC，得∠C=∠AED，DC=DE，再证明∠B=∠BDE，得出BE=DE，即可得到结论．
【详解】（1）解：（1）∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠CFA=∠EFA=90°，
∵在△AEF和△ACF中∠EAF=∠CAFAF=AF∠AFE=∠AFC，
∴△AEF≌△ACFASA，
∴AE=AC=5，
∵AB=8，
∴BE=AB−AC=8−5=3．
（2）∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ADE和△ADC中AE=AC∠EAD=∠CADAD=AD
∴△ADE≌△ADCSAS
∴∠C=∠AED，DC=DE，
∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED=∠B+∠BDE
∴∠B=∠BDE，
∴DE=BE，
∴DC=DE=BE=AB−AE=AB−AC=a−b．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市稠江中学校联考期中）如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A,B两点望灯塔C，测得∠NAC=35°,∠NBC=70°，则B处到灯塔C的距离为（ ）
A．45海里 B．30海里 C．20海里 D．15海里
【答案】B
【分析】先根据航行速度和时间可得AB=30海里，再根据三角形的外角性质可得∠C=35°，然后根据等腰三角形的判定即可得．
【详解】由题意得：AB=15×10−8=30（海里），
∵∠NAC=35°,∠NBC=70°，
∴∠C=∠NBC−∠NAC=35°，
∴∠C=∠NAC=35°，
∴BC=AB=30海里，
即B处到灯塔C的距离为30海里，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．
【变式8-2】（2023春·湖北襄阳·八年级校联考期中）如图，将一张长方形纸片ABCD按图中那样折叠，若AE＝5，AB＝12，BE＝13，则重叠部分（阴影）的面积是 ．
【答案】78
【分析】根据折叠的性质得到∠CBD＝∠EBD，根据AD∥BC可得∠CBD＝∠EDB，易得ED＝EB，然后根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠，
∴∠CBD＝∠EBD， AD∥BC
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴ED＝EB，
∵AE＝5，AB＝12，BE＝13，
∴DE＝13，
∴重叠部分的面积＝12DE⋅AB ＝12×13×12＝78．
故答案为：78．
【点睛】本题考查了折叠性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、三角形的面积公式，解决本题的关键是掌握折叠的性质．
【变式8-3】（2023春·辽宁盘锦·八年级校考期中）如图，CE平分∠ACB且CE⊥DB于E，∠DAB=∠DBA，又知AC=14，△CDB的周长为22，则DB的长为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】利用角平分线与垂直证明△CDE≌△CBE，从而可得CD=CB，再利用等角对等边证明AD=BD，将△CDB的周长转化为AC与BC的和，即可求解．
【详解】解：∵CE⊥DB，
∴∠CED=∠CEB=90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCE=∠BCE，
∵CE=CE，
∴△CDE≌△CBE，
∴CD=CB，
∵∠DAB=∠DBA，
∴AD=DB，
∵△CDB的周长为22，
∴CD+CB+BD=22，
∵AC=14，
∴AD+CD=14，
∴BD+CD=14，
∴BC=22−14=8，
∴BC=CD=8，
∴AD=BD=14−8=6，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，注意结合图形分析各边之间的关系是解题的关键．
【题型9 求与图形中任意两点构成等腰三角形的个数】
【例9】（2023春·河北邢台·八年级校考期末）题目：“如图，已知∠AOB=30∘，点M，N在边OA上，OM=x，MN=2，P是射线OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有3个，求x的取值范围。”对于其答案，甲答：x=0，乙答：0
专题2.2 等腰三角形的性质与判定【十大题型】【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc3450" 【题型1 根据等边对等角求角度】 PAGEREF _Toc3450 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc13550" 【题型2 根据等边对等角证明】 PAGEREF _Toc13550 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc32519" 【题型3 根据三线合一求解】 PAGEREF _Toc32519 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc28177" 【题型4 根据三线合一证明】 PAGEREF _Toc28177 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc19684" 【题型5 根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形】 PAGEREF _Toc19684 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc12482" 【题型7 根据等角对等边证明边相等】 PAGEREF _Toc12482 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc14229" 【题型8 根据等角对等边求边长】 PAGEREF _Toc14229 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc12677" 【题型9 求与图形中任意两点构成等腰三角形的个数】 PAGEREF _Toc12677 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc26478" 【题型10 等腰三角形的判定与性质的综合运用】 PAGEREF _Toc26478 \h 12【知识点 等腰三角形】（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.【题型1 根据等边对等角求角度】【例1】（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针方向旋转40°得到△A'BC'，点A'恰好落在AC上，连接CC'，则∠ACC'度数为（ ） A．110° B．105° C．100° D．95°【变式1-1】（2023春·广东梅州·八年级校考期末）在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，∠ABD=50°，则∠C的度数为 ．【变式1-2】（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E；……按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（ ） A．12n75° B．12n−165° C．12n−175° D．12n85°【变式1-3】（2023春·海南海口·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE=∠AED，连接DE．(1)如图①，∠B=∠C=36°，∠BAD=72°，求∠CDE的度数．(2)如图②，若∠ABC=∠ACB=65°，∠CDE=20°，求∠BAD的度数．(3)当点D在直线BC上运动时（不与点B、C重合），试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【题型2 根据等边对等角证明】【例2】（2023春·湖南·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A=45°，点D在AB边上，BC=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F．(1)求证△DCE≌△CBF；(2)若AB=AC，求证DE=12DB．【变式2-1】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．【变式2-2】（2023春·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1=∠2，AB=ED，求证：∠DBC=∠DCB．【变式2-3】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）如图，已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，D为线段CB延长线上一点，连接AD，DE平分∠ADC交AC、AB于点E、F，且∠ADC+32∠ABC=180°．(1)猜想∠DAC与∠ACD的数量关系，并证明；(2)求证AD=DC+EC．【题型3 根据三线合一求解】【例3】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，点D为CA延长线上一点，DH⊥BC于点H，点F为AB延长线上一点，连接DF交CB的延长线于点E，点E是DF的中点，若BH=2，BE=2BH，则BC= ． 【变式3-1】（2023春·河北邢台·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，边AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE，交AD于点F．若∠C=66°，则∠AFE的度数为（ ） A．48° B．62° C．72° D．82°【变式3-2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）如图，在ΔABC中，AB=BC,SΔABC=3cm2，边BC的垂直平分线为l，点D是边AC的中点，点P是l上的动点，当ΔPCD的周长取最小值4时，则AC= ．【变式3-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，交AB于点M，点F为边AB上一点，连接CF，∠ACF=∠CBG．(1)若∠FCM=18°，则∠BGC的度数为______；(2)若点G是BD的中点，判断CF与DE的数量关系，并说明理由．【题型4 根据三线合一证明】【例4】（2023春·福建莆田·八年级校考期中）如图，ΔABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，DE//AC(1)求证：EB=ED．(2)求证：AE=DE．【变式4-1】（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，求证： (1)△ABC≌△ADC；(2)AC⊥BD．【变式4-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，点E、F分别在直线AB、AC上运动，且始终保持AE=CF．(1)如图①，若点E、F分别在线段AB、AC上，DE与DF相等且DE与DF垂直吗？请说明理由；(2)如图②，若点E、F分别在线段AB、CA的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．【变式4-3】（2023春·河北廊坊·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AC=BC,∠A=∠ABC=45°,D为AB中点，点E是AB边上一动点（不含端点A、B），连接CE，点F为CE上一点，BF始终垂直于CE，交直线CD于点G． (1)点E在线段AD上运动（如图1），当CG=AE时，求证：BG=CE；(2)若点E运动到线段BD上（如图2），当CG=AE时，试猜想BG、CE的数量关系是否发生变化，请写出你的结论并加以证明；(3)过点A作AH⊥CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M（如图3），求证：△BCE≌△CAM．【题型5 根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形】【例5】（2023春·上海浦东新·八年级校联考期末）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．（1）求证：∠D＝∠E；（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有 个等腰三角形．【变式5-1】（2023春·广西钦州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直线AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式5-2】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ABC=72°，∠A=36°，用尺规作图作出射线BD交AC于点D，则图中等腰三角形共有 个． 【变式5-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图1，∠DAB=∠ABC=90°，∠BAC=45°，CE⊥BD．(1)求证：AD=BE；(2)如图2，若点E是AB的中点，连接DE、CD，在不添加其他字母的条件下，写出图中四个等腰三角形．【题型6 根据等角对等边证明等腰三角形】【例6】（2023春·重庆江北·八年级校考期中）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CBA与∠CAB的平分线相交于点E，延长AE交BC于点D，过点E作EF⊥AD交AC于F，作EG∥AB交AC于点G．(1)求证：△GEF为等腰三角形；(2)求证：AF+BD=AB．【变式6-1】（2023春·吉林松原·八年级统考期中）如图，∠1+∠2=180°，GP平分∠BGH．(1)求证：△PGH是等腰三角形；(2)若∠1=116°，求∠GPD的度数．【变式6-2】（2023春·广东广州·八年级校考期末）如图，四边形ABCD中，∠DCB+∠CBA=180°，过点D作∠CDE=∠CAB，DE与C交于点D，与AC交于点H．(1)求证：△CHD为等腰三角形；(2)若E为BC中点，猜想AH，HD与EH三者的数量关系．并证明之【变式6-3】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级统考期末）数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．【题型7 根据等角对等边证明边相等】【例7】（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC=60°，∠C=45°． (1)求证：AB=BD；(2)设BD与AE交于点F，求证：CE=BF+EF．【变式7-1】（2023春·天津·八年级期中）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，AB＝AC，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，求证：BD＝CE．【变式7-2】（2023春·湖北孝感·八年级统考期末）如图，△ABC中，CA=CB，点D在BC的延长线上，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，与AC相交于点G．(1)求证：CG=CE；(2)若∠B=30°，∠CAD=40°，求∠AEF和∠D的度数；(3)求证：∠D=2∠AEF．【变式7-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知：在锐角△ABC中，AD为BC边上的高，∠ABD＝2∠CAD．(1)如图1，求证：AB＝BC；(2)如图2，点E为AB上一点，且BE＝CD，连接DE，∠AED+∠BDE＝90°，求证∠ABC＝45°；(3)如图3，在（2）的条件下，过B作BF⊥AC于点F，BF交AD于点G，连接CG，若S△CDG＝2，求△ABG的面积．【题型8 根据等角对等边求边长】【例8】（2023春·山东聊城·八年级校考期末）如图，AD为△ABC的角平分线．(1)如图 1 ，若CE⊥AD于点 F，交AB于点 E ，AB=8 ，AC=5．求 BE的长．(2)如图 2 ，若∠C=2∠B，点 E 在AB上，且AE=AC，AB=a ，AC=b ，求CD的长；（用含 a 、b 的式子表示）【变式8-1】（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市稠江中学校联考期中）如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A,B两点望灯塔C，测得∠NAC=35°,∠NBC=70°，则B处到灯塔C的距离为（ ）A．45海里 B．30海里 C．20海里 D．15海里【变式8-2】（2023春·湖北襄阳·八年级校联考期中）如图，将一张长方形纸片ABCD按图中那样折叠，若AE＝5，AB＝12，BE＝13，则重叠部分（阴影）的面积是 ．【变式8-3】（2023春·辽宁盘锦·八年级校考期中）如图，CE平分∠ACB且CE⊥DB于E，∠DAB=∠DBA，又知AC=14，△CDB的周长为22，则DB的长为( )A．6 B．7 C．8 D．9【题型9 求与图形中任意两点构成等腰三角形的个数】【例9】（2023春·河北邢台·八年级校考期末）题目：“如图，已知∠AOB=30∘，点M，N在边OA上，OM=x，MN=2，P是射线OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有3个，求x的取值范围。”对于其答案，甲答：x=0，乙答：0
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