苏科版八年级数学上册专题2.4线段的垂直平分线的判定与性质【九大题型】同步特训(学生版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册专题2.4线段的垂直平分线的判定与性质【九大题型】同步特训(学生版+解析)，共51页。
专题2.4 线段的垂直平分线的判定与性质【九大题型】【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc32378" 【题型1 利用线段垂直平分线的性质求长度】  PAGEREF _Toc32378 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc7832" 【题型2 利用线段垂直平分线的性质求最值】  PAGEREF _Toc7832 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc9321" 【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】  PAGEREF _Toc9321 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc3497" 【题型4 利用线段垂直平分线的性质探究角度之间的关系】  PAGEREF _Toc3497 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc6718" 【题型5 利用线段垂直平分线的性质证明】  PAGEREF _Toc6718 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc12846" 【题型6 线段垂直平分线的判定】  PAGEREF _Toc12846 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc11587" 【题型7 尺规作线段垂直平分线】  PAGEREF _Toc11587 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc16260" 【题型8 线段垂直平分线的判定与性质的综合运用】  PAGEREF _Toc16260 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc22963" 【题型9 线段垂直平分线的实际应用】  PAGEREF _Toc22963 \h 10【知识点1 线段垂直平分线的性质】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【题型1 利用线段垂直平分线的性质求长度】【例1】（2023春·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若△ABC的周长是20，AB=4，AC=7，则△AEF的周长为（    ）  A．4 B．7 C．9 D．11【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为 ．【变式1-2】（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图，ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB=5，AC=3，则AE= ．  【变式1-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为 ．  【题型2 利用线段垂直平分线的性质求最值】【例2】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是 ．  【变式2-1】（2023春·江西九江·八年级统考开学考试）如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（　　）  A．28 B．18 C．10 D．7【变式2-2】（2023春·山东济南·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC=2，△ABC面积为3，则BM+MD长度的最小值等于 ．【变式2-3】（2023春·山东青岛·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝ 时，△PDQ的周长最小． 【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】【例3】（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM=ND，若∠A=α，则∠C=（    ）  A．32α B．90°−12α C．120°−α D．2α−90°【变式3-1】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为 ．  【变式3-2】（2023春·四川甘孜·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求∠C的度数．  【变式3-3】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（   ）  A．α B．14α+90° C．12α+90° D．180°−12α【题型4 利用线段垂直平分线的性质探究角度、线段之间的关系】【例4】（2023春·福建三明·八年级统考期末）如图，四边形ABCD是长方形，E是边CD的中点，连接AE并延长交边BC的延长线于F，过点E作AF的垂线交边BC于M，连接AM．（1）请说明 ΔADE ≌ ΔFCE；（2）试说明AM = BC + MC； （3）设S△AEM= S1，S△ECM= S2，S△ABM= S3，试探究S1，S2，S3三者之间的等量关系，并说明理由．【变式4-1】（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）△ABC的两边AB、AC的中垂线交于边BC上的P点，则线段PA和BC的关系正确的是（　　）A．PA12BC D．PA≥12BC【变式4-2】（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．【变式4-3】（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图1，在直角△ABC中，∠C=90°，分别作∠CAB的平分线AP和AB的垂直平分线DP，交点为P．（1）如图2，若点P正好落在BC边上．①求∠B的度数；②求证：BC=3PC．（2）如图3，若点C、P、D恰好在一条直线上，线段AD、PD、BC之间的数量关系是否满足AD+PD=BC？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由．【题型5 利用线段垂直平分线的性质证明】【例5】（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作CF∥BD交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：  (1)CB平分∠ECF；(2)∠ACF=∠E．【变式5-1】（2023春·重庆綦江·八年级校联考期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D， DM丄AB与M， DN丄AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现． 【变式5-2】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E、F在AB上，连接CE，CF， 且CF=BF．已知∠A=50°，∠ACE=30°，试证明∠CFE=∠CEF．  【变式5-3】（2023春·福建龙岩·八年级校考开学考试）已知（如图），在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连结EF．(1)求证：BG=CF．(2)试判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．【知识点2 线段垂直平分线的判定】到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）【题型6 线段垂直平分线的判定】【例6】（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．(1)求证：AD垂直平分EF；(2)若AB=3，AC=2，△ABC的面积是4，则DE= ．【变式6-1】（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图所示，已知AD⊥BC于点D，BD=DC，AB+BD=DE，求证：点C在AE的垂直平分线上．  【变式6-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F，过点E作EG∥CD，交AB于点G，连接CG．  (1)求证：∠A+∠AEG=90°；(2)求证：EC=EG；(3)若CG=4，BE=5，求四边形BCEG的面积．【变式6-3】（2023春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，AD与BC相交于点O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，连接OE，BD，求证；OE垂直平分BD．  【题型7 尺规作线段垂直平分线】【例7】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，请用尺规作图法在AC上求作一点M，使MC+MB=AC，并连接MB．（保留作图痕迹，不写作法）  【变式7-1】（2023春·湖南郴州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．(1)尺规作图：作边AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）；(2)在（1）作出的图形中，求△ABD的周长．【变式7-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳市福田区上步中学校考期中）如图，已知△ABC，ABEF，理由见解析【分析】（1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，从而得出BG=CF；（2）再利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得出EG=EF，两边和大于第三边从而得出BE+CF>EF．【详解】（1）证明：∵BG∥AC， ∴∠DBG=∠DCF．∵D为BC的中点，∴BD=CD，在△BGD与△CFD中，∠DBG=∠DCFBD=CD∠BDG=∠CDF，∴△BGD≌△CFDASA．∴BG=CF．（2）解：BE+CF>EF．理由如下：连接EG，∵△BGD≌△CFDASA，∴GD=FD，BG=CF．又∵DE⊥FG，∴DE垂直平分FG，∴EG=EF．∴在△EBG中，BE+BG>EG，即BE+CF>EF．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的定义和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法并根据条件灵活选择是解题的关键．【知识点2 线段垂直平分线的判定】到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）【题型6 线段垂直平分线的判定】【例6】（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．(1)求证：AD垂直平分EF；(2)若AB=3，AC=2，△ABC的面积是4，则DE= ．【答案】(1)见解析(2)85【分析】（1）由角平分线的性质得DE=DF，再由Rt△AED≌Rt△AFDHL，得AE=AF，从而证明结论；（2）根据三角形的面积公式，代入计算即可．【详解】（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴DE=DF，在Rt△AED与Rt△AFD中，AD=ADDE=DF，∴Rt△AED≌Rt△AFDHL，∴AE=AF，∵DE=DF，∴AD垂直平分EF；（2）∵DE=DF，∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB⋅ED+12AC⋅DF=12DEAB+AC=4，∵AB=3，AC=2，∴DE=85，故答案为：85．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．【变式6-1】（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图所示，已知AD⊥BC于点D，BD=DC，AB+BD=DE，求证：点C在AE的垂直平分线上．  【答案】见解析【分析】由AD⊥BC，BD=DC，得到AD是BC的垂直平分线，因此AB=AC．再根据AB+BD=DE，可推出AC=CE，因此得证点C在AE的垂直平分线上．【详解】∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC．∵AB+BD=DE，∴AB+BD=CD+CE=AC+CD，∴AC=CE，∴点C在AE的垂直平分线上．【点睛】本题考查垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键．【变式6-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F，过点E作EG∥CD，交AB于点G，连接CG．  (1)求证：∠A+∠AEG=90°；(2)求证：EC=EG；(3)若CG=4，BE=5，求四边形BCEG的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)四边形BCEG的面积为10．【分析】（1）证明EG⊥AB，即可证明结论成立；（2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立；（3）证明Rt△EBG≌Rt△EBCHL，推出BE是线段CG的垂直平分线，利用四边形的面积公式即可求解．【详解】（1）证明：∵EG∥CD，CD⊥AB，∴EG⊥AB，∴∠A+∠AEG=90°；（2）证明：∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，∠ACB=90°，∴EC=EG；（3）解：∵EC=EG，EB=EB，∴Rt△EBG≌Rt△EBCHL，∴BC=BG，∴BE是线段CG的垂直平分线，∴四边形BCEG的面积=12BE×CG=12×5×4=10．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．【变式6-3】（2023春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，AD与BC相交于点O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，连接OE，BD，求证；OE垂直平分BD．  【答案】见解析【分析】先证明△ABO≌△CDO得到OB=OD，再由EB=ED即可证明OE垂直平分BD．【详解】证明：在△ABO和△CDO中，∠AOB=∠COD∠ABO=∠CDOAB=CD∴△ABO≌△CDOAAS，∴OB=OD，又∵EB=ED，∴OE垂直平分BD．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，证明△ABO≌△CDO得到OB=OD是解题的关键．【题型7 尺规作线段垂直平分线】【例7】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，请用尺规作图法在AC上求作一点M，使MC+MB=AC，并连接MB．（保留作图痕迹，不写作法）  【答案】见解析【分析】根据题意，作AB的垂直平分线与AC的交点即为点M，即可解答．【详解】∵在AC上求作一点M，∴AM+MC=AC，∵MC+MB=AC，∴MB=AM，即点M在线段AB的垂直平分线上．如图，点M即为所求．    【点睛】本题考查了尺规作图-垂直平分线，垂直平分线的性质，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．【变式7-1】（2023春·湖南郴州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．(1)尺规作图：作边AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）；(2)在（1）作出的图形中，求△ABD的周长．【答案】(1)见解析(2)13【分析】（1）根据垂直平分线的作法，作出AC的垂直平分线；（2）根据垂直平分线的性质得出AD=CD，进而根据AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC，即可求解．【详解】（1）如图，（2）∵AC的垂直平分线交BC于点D∴AD=CD∴△ABD的周长为：AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13【点睛】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，解题的关键是正确画出图形．【变式7-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳市福田区上步中学校考期中）如图，已知△ABC，ABEF．  【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系以及线段垂直平分线的性质，正确添加辅助线，证明三角形全等是解题的关键．【变式8-1】（2023春·福建福州·八年级统考期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．(1)求证：∠ACB＝∠ACD；(2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析【分析】（1）用HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到结论；（2）①证明△NEC≌△NPC (SAS)即可；②作P点关于AE的对称点P'，连接MP'交AE于点O，证明∠ MP'P=30°即可．【详解】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，BC＝CD，AC=AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠ACB=∠ACD；（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠BAC=∠CAD，∵CA=CE，∴∠CAE=∠CED，∵∠EBA=90°，∴∠BEA=∠BAC=∠CAE=30°，∵PD⊥AE，MP⊥PD，∴AE∥MP，∴∠PMC=∠MAE=30°，∵ME∥AB，∴∠MEB=90°，∴∠MEA=120°，∵∠MAE=30°，∴∠EMA=30°，∵CР⊥MP，CE⊥ME，∴∠MCP=∠MCE=60°，∴△NEC≌△NPC (SAS)，∴EN=PN，∴ N是EP的中点，NC⊥PE，∴AM垂直平分PE；②作P点关于AE的对称点P'，连接MP'交AE于点O， ∵AM垂直平分PE，∴ME=MP，∵∠EMP=60°，∴∠MPE=60°，∴∠EPD=30°，∴∠P'=30°，∴∠ MP'P=30°，∵∠MЕP=60°，∴O点与E点重合．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质定理，线段垂直平分线的判定及性质，轴对称的性质，正确掌握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．【变式8-2】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S△ABF:S△AFC=AD:FD；④若BF=2EC，则BC=AB．正确的结论序号是（    ）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】A【分析】根据垂直定义可得∠ADB=∠ADC=90°，再利用∠ABC=45°，得到AD=BD，从而可证明△BDF≌△ADC，进而得到FD=CD，即可判断①；根据AB≠BC，BE⊥AC，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得S△ABFS△AFC=BDCD，即可判断③，若BF=2EC，根据△BDF≌△ADC可以得到BF=AC，从而可得E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④．【详解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=45°，∴∠BAD=90°−∠ABD=45°，∴AD=BD，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC+∠C=90°，∵∠EBC+∠BFD=90°，∴∠BFD=∠C，∴△BDF≌△ADC(AAS)，∴DF=CD，∴∠FCD=∠DFC=45°，故①正确；∵AB≠BC，BE⊥AC，∴AE≠EC，故②不正确；∵ S△ABFS△AFC=12AF⋅BD12AF⋅CD=BDCD，∴S△ABF:S△AFC=AD:FD，故③正确；∵△BDF≌△ADC，∴BF=AC∵BF=2EC，∴AC=2EC，∴E为AC的中点，∵BE⊥AC，∴BE为线段AC的垂直平分线，∴BA=BC，故④正确，所以，正确结论的序号是：①③④，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型−旋转型全等是解题的关键．【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期中）（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围是　 　（2）问题解决：如图②，在△ABC中D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）2＜AD＜6；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF，证明见解析【分析】（1）如图1（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质得出BE=AC=4，再根据三角形的三边关系定理即可得；（2）如图2（见解析），先同（1），根据三角形全等的判定定理与性质得出BM=CF，再根据垂直平分线的判定与性质得出EM=EF，然后根据三角形的三边关系定理、等量代换即可得证；（3）如图3（见解析），先根据角的和差得出∠NBC=∠D，再根据三角形全等的判定定理与性质可得CN=CF，∠NCB=∠FCD，从而可得∠ECN=70°=∠ECF，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得EN=EF，最后根据线段的和差、等量代换即可得．【详解】（1）如图1，延长AD至E，使DE=AD，连接BE∵AD是BC边上的中线∴BD=CD在△BDE和△CDA中，BD=CD∠BDE=∠CDADE=DA∴△BDE≅△CDA(SAS)∴BE=AC=4在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB−BE