高中数学第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直同步测试题

这是一份高中数学第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直同步测试题，共25页。试卷主要包含了线线角，线面角，二面角，空间距离等内容，欢迎下载使用。


典例精讲
考点一 线线角
【例1】（2022·高一课前预习）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
（1）AC和DD1所成的角是________；
（2）AC和D1C1所成的角是________；
（3）AC和B1D1所成的角是________；
（4）AC和A1B所成的角是________.
【一隅三反】
1．（2022·高一课前预习）在正方体中，则直线与直线所成角大小为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·全国·高一期末）如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（ ）
A．90°B．45°C．60°D．30°
3（2022春·四川雅安·高一统考期末）已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
考点二 线面角
【例2】（2022·全国·高一假期作业）如图，在三棱柱中，在底面的射影为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为___________.
【一隅三反】
1．（2022春·河北沧州·高一统考期末）如图，在直三棱柱中，，且是棱的中点，是棱上靠近的四等分点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
2．（2022春·贵州六盘水·高一统考期末）如图，在三棱锥中，平面ABC，D是PB上一点，且平面PBC.
(1)求证：；
(2)若，M是PC的中点，求直线BM与平面ABC所成角的大小.
3．（2022·高一单元测试）如图，在直角梯形ABCD中，，AB⊥AD，且，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2.
(1)求证：平面BEC；
(2)求证：BC⊥平面BDE；
(3)求直线BC与平面ADEF所成角的正弦值.
考点三 二面角
【例3】（2022春·江西宜春·高一江西省万载中学校考阶段练习）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小．
【一隅三反】
1．（2022·高一课时练习）如图，已知正方体．
(1)求二面角的正切值的大小；
(2)求二面角的正切值的大小．
2．（2022春·广东肇庆·高一统考期末）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，且，．
(1)证明：平面ABC⊥平面；
(2)若，求二面角的余弦值．
3．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）如图，在直角梯形ABCD中，，，，点E是BC的中点. 将沿BD折起，使，连接AE、AC、DE，得到三棱锥.
(1)求证：平面ABD；
(2)若，求二面角的大小.
考点七 空间距离
【例7】（2022·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为1．
（1）点到平面的距离为______；
（2）直线和平面的距离为______；
（3）直线和平面的距离为______．
【一隅三反】
1．（2021春·山西太原·高一统考期末）如图，在长方体中，..则直线与平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·高一课时练习）在长方体中，有一过且与平面平行的平面，棱，，则平面与平面的距离是_________．
3．（2022·高一课时练习）如图，在长方体中，，，．
(1)求点和点C的距离；
(2)求点到棱BC的距离；
(3)棱和平面ABCD的距离．
8.6.2 空间角与空间距离（精讲）
思维导图
典例精讲
考点一 线线角
【例1】（2022·高一课前预习）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
（1）AC和DD1所成的角是________；
（2）AC和D1C1所成的角是________；
（3）AC和B1D1所成的角是________；
（4）AC和A1B所成的角是________.
【答案】（1）90°或 （2） 45°或 （3）90°或 （4）60°或
【解析】（1）根据正方体的性质可得平面，所以AC和DD1所成的角是90°.
（2）∵D1C1DC，所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得∠ACD＝45°.
（3）∵BDB1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.
（4）∵A1BD1C，△ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60°.
故答案为：90°或；45°或；90°或；60°或.
【一隅三反】
1．（2022·高一课前预习）在正方体中，则直线与直线所成角大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设正方体的棱长为，连接，
因为且，所以四边形是平行四边形，
可得，
所以或其补角即为直线与直线所成角，
在中，，所以，
所以直线与直线所成角大小为，
故选：C.
2．（2022春·全国·高一期末）如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（ ）
A．90°B．45°C．60°D．30°
【答案】D
【解析】设G为AD的中点，连接GF，GE
则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线.
∴ ，且，，且，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数
又EF⊥ AB，
∴ EF⊥ GF
则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°
∴ 在直角△GEF中，
∴ ∠GEF=30°.
故选：D.
3（2022春·四川雅安·高一统考期末）已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，取的中点，连接，
因为点为的中点，可得，
所以异面直线与所成角即为直线与所成角，设，
在正中，由，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在中，
由余弦定理可得.
故选：A.
考点二 线面角
【例2】（2022·全国·高一假期作业）如图，在三棱柱中，在底面的射影为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为___________.
【答案】
【解析】如图所示：
取的中点M，连接，
因为，又，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
又平面平面，
作，则平面，
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：
【一隅三反】
1．（2022春·河北沧州·高一统考期末）如图，在直三棱柱中，，且是棱的中点，是棱上靠近的四等分点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1），
，
，可理，
，
，
又平面.
（2）如图，取的中点，连接.
.
由（1）知平面平面，
所以平面平面，又平面平面，
平面，所以是直线在平面内的射影，
即为直线与平面所成的角.
，
在中，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
2．（2022春·贵州六盘水·高一统考期末）如图，在三棱锥中，平面ABC，D是PB上一点，且平面PBC.
(1)求证：；
(2)若，M是PC的中点，求直线BM与平面ABC所成角的大小.
【答案】(1)证明详见解析(2)
【解析】（1）由于平面ABC，平面，所以.
由于平面PBC，平面，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以.
（2）设是的中点，连接，
由于是的中点，所以，所以平面，
所以是直线与平面所成角，
由于，直角三角形中，，
所以，所以.
3．（2022·高一单元测试）如图，在直角梯形ABCD中，，AB⊥AD，且，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2.
(1)求证：平面BEC；
(2)求证：BC⊥平面BDE；
(3)求直线BC与平面ADEF所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).
【解析】（1）取EC中点N，连接MN，BN，如图，在△EDC中，M为ED的中点，
则，且，而，，即有，
因此四边形ABNM为平行四边形，有，因平面BEC，且平面BEC，
所以平面BEC.
（2）由正方形ADEF知，ED⊥AD，而平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF平面ABCD=AD，
平面ADEF，则ED⊥平面ABCD，而平面ABCD，即有，
在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，，则，，
而，有，即，
因此，又，平面BDE，
所以平面BDE.
（3）延长CB与DA交于P点，由（2）知，而，，面ADEF，
于是得CD⊥面ADEF，即为直线BC与平面ADEF所成角，而，则，所以直线BC与平面ADEF所成角的正弦值.
考点三 二面角
【例3】（2022春·江西宜春·高一江西省万载中学校考阶段练习）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)见解析(2)
【解析】（1）由 平面可得 又 ，所以平面，所以 ;
连交于点 ，连，
则是 的中位线，，而平面，
平面，平面.
（2）取的中点，连，则是的中位线，
,又平面，平面；
因为平面，故，
又，底面为平行四边形，,，
而分别为中点，所以；
而是的中位线,,
而平面，故平面，
而平面，故，
所以是二面角的平面角.
又 ；
，而二面角与二面角互补,
故所求二面角的大小为.
【一隅三反】
1．（2022·高一课时练习）如图，已知正方体．
(1)求二面角的正切值的大小；
(2)求二面角的正切值的大小．
【答案】(1)；(2)．
【解析】（1）连接，交于，
因为四边形为正方形，所以，
又平面，平面，
所以，平面，，
所以平面，因为平面，,
所以是二面角的平面角，
设，
在中，,，
所以，由，
所以，
所以二面角的正切值为.
（2）连接,其中点为的中点，
因为，,
所以，，
所以为二面角的平面角，
在中，，,
所以
二面角的正切值为.
2．（2022春·广东肇庆·高一统考期末）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，且，．
(1)证明：平面ABC⊥平面；
(2)若，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】（1）连接，如图，
由是菱形，所以．
又，，
所以平面，故,
又，，
所以AB⊥平面，又平面ABC．
所以平面ABC⊥平面．
（2）过在平面内引直线垂直于AC，O为垂足，过O在平面ABC内引直线OH垂直于BC，H为垂足，连接．
由平面ABC⊥平面，平面平面，
所以平面ABC，所以，．
又OH⊥BC，，
所以BC⊥平面，
故为二面角的平面角．
设，
由，可知O为AC的中点，
所以．又，平面，平面，
所以AB⊥AC，所以．
所以．
所以，
所以二面角的余弦值为．
3．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）如图，在直角梯形ABCD中，，，，点E是BC的中点. 将沿BD折起，使，连接AE、AC、DE，得到三棱锥.
(1)求证：平面ABD；
(2)若，求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【解析】（1）由于平面，
所以平面.由于平面，所以.
由于平面，
所以平面.
（2）分别取的中点，连接，
由于分别是的中点，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以.
由于分别是的中点，所以，
由于，所以，
由于平面，所以平面，
所以是二面角的平面角.
在中，，
所以，则为锐角，且，
所以二面角的平面角为.
考点七 空间距离
【例7】（2022·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为1．
（1）点到平面的距离为______；
（2）直线和平面的距离为______；
（3）直线和平面的距离为______．
【答案】（1） 1 （2）1 （3）
【解析】（1）在正方体中，平面，所以点到平面的距离为；
（2）在正方体中，连接，如图，
，，则四边形是平行四边形，有，
而平面，平面，则有平面，
于是得直线和平面的距离等于点到平面的距离，
因平面，则点到平面的距离为，
所以直线和平面的距离为1；
（3）在正方体中，连接，，
而平面，平面，则平面，
因此直线和平面的距离等于点到平面的距离，
连，由正方形得，而平面，平面，
因此，因，平面，则平面，而，
所以直线和平面的距离为.故答案为：1；1；
【一隅三反】
1．（2021春·山西太原·高一统考期末）如图，在长方体中，..则直线与平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为为长方体，所以面⊥面ABCD，
过A作AE⊥BD于E，则AE⊥面，所以直线与平面的距离为AE.
在直角三角形ABD中，由等面积法可得：
故选：C
2．（2022·高一课时练习）在长方体中，有一过且与平面平行的平面，棱，，则平面与平面的距离是_________．
【答案】
【解析】因为平面平面，平面，所以到平面的距离即为平面与平面间的距离，易知平面，从而点A到平面的距离即为所求的距离．
如图，过点A作于点．
因为平面，平面
所以平面平面，
又平面平面=
所以平面，则即为所求．
在中，，，则，
因为，所以．
故平面与平面的距离为．
故答案为：

3．（2022·高一课时练习）如图，在长方体中，，，．
(1)求点和点C的距离；
(2)求点到棱BC的距离；
(3)棱和平面ABCD的距离．
【答案】(1)；(2)5cm；(3)3cm.
【解析】（1）如图，连接、AC，
∵平面ABCD，而平面ABCD，
∴，
由勾股定理，得；
（2）如图，连接，∵平面，而平面，
∴．
∴就是点 到棱 BC 的距离，
．
∴点到棱 BC 的距离是5cm；
（3）显然棱平面ABCD，平面ABCD，
∴就是棱和平面ABCD的距离，∵，
∴棱和平面ABCD的距离是3cm．