高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第06讲空间直线、平面的垂直(原卷版+解析)

这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第06讲空间直线、平面的垂直(原卷版+解析)，共59页。

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°.
(3)如果两条异面直线a，b所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作a⊥b.
知识点2 直线与平面垂直的判定
1．直线与平面垂直
注：1．对直线与平面垂直的几点说明
(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．
(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形．
(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．这是判断两条直线垂直的一种重要方法．
2．直线与平面垂直的判定定理
注：1．理解直线与平面垂直的判定定理
不能用“一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直”．实际上，由基本事实4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线平行．
2．判定定理所体现的数学思想
直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想，即将线面垂直转化为线线垂直．在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线
3．直线和平面所成的角
（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于．因此，直线与平面所成的角α的范围是．
注：(1)对斜线和平面所成的角的定义的理解
斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角．
(2)判断方法
首先，判断直线和平面的位置，若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为0°的角；若直线与平面垂直，此时直线与平面所成的角为90°.
其次，若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线(实际操作过程中，这一点的选取要有利于求角)，找出直线在平面内的射影，从而确定出直线和平面所成的角，一般转化到直角三角形、等边三角形中求解．
知识点3 直线与平面垂直的性质定理
注1．剖析直线与平面垂直的性质定理
(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论．
(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)．
(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
(4)定理的推证过程采用了反证法．
2．直线与平面垂直的性质
(1)eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥α,b⊂α))⇒l⊥b；(2)eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b；(3)eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α；(4)eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β,a⊥α))⇒a⊥β；(5)eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,a⊥β))⇒α∥β.
知识点4 平面与平面垂直的判定
1．二面角
2．平面与平面垂直
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
表示方法：平面与垂直，记作.
画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：

3．平面与平面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
特征：线面垂直面面垂直
注：1．二面角与平面几何中的角的对比
2．剖析平面与平面垂直
(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况．例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的．
(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的．
3．详解平面与平面垂直的判定定理
(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．
(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．
知识点5 平面与平面垂直的性质定理
考点一 异面直线所成的角
解题方略：
求异面直线所成的角的一般步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求.
【例1】如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝eq \r(2)，求异面直线AD和BC所成的角．
变式1：正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是________．
变式2：如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）．
A．B．C．D．
考点二 证明直线与直线垂直问题
解题方略：
证明两条直线垂直的策略
(1)对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明．
(2)对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明．
【例2】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有________条．( )
A．2 B．4
C．6 D．8
变式1：若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
【例3】如图，已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点．
求证：CD1⊥EF.
变式1：在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.
变式2：如图所示，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF＝eq \r(2).
求证：AD⊥BC.
考点三 直线与平面垂直的判定
解题方略：
1、直线与平面垂直定义的“双向”作用
(1)证明线面垂直
若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直．即线线垂直⇒线面垂直．
(2)证明线线垂直
若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．即线面垂直⇒线线垂直．
2、线线垂直和线面垂直的相互转化
【例4】下列说法中，正确的个数是( )
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；
④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.
A．4 B．2
C．3 D．1
变式1：直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
变式2：直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是( )
A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内 D．不能确定
变式3：若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
变式4：一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
变式5：如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号)
【例5】如图所示，直角△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC.
变式1：已知四棱锥P­ABCD的底面是菱形，且PA＝PC，PB＝PD. 若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD.
变式2：如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq \r(2)，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.
变式3：如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
考点四 求直线与平面所成的角
解题方略：
求直线与平面所成角的一般步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．
(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
【例6】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为_______；
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________；
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为______．
变式1：长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝eq \r(2)，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________．
变式2：如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
变式3：三棱锥S­ABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值．
考点五 直线与平面垂直性质的应用
解题方略：
1、证明线线平行常有如下方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；
(2)利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线；
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
2、线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面．
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．
【例7】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则( )
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直
D．B1B与l相交但不垂直
变式1：设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
变式2：已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．
①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m∥n；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．其中为真命题的是________．(填序号)
变式3：【多选】下列命题正确的是( )
A.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α B.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
C.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,a⊥b))⇒b∥α D.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥α,a⊥b))⇒b⊥α
变式4：如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________.
变式5：PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
【例8】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：MN∥AD1.
变式1：如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.
求证：a∥l.
变式2：如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.
求证：AE⊥SB.
变式3：如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝eq \r(2).
求证：A1C⊥平面BB1D1D.
考点六 二面角大小的计算
解题方略：
解决二面角问题的策略
(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．
(2)求二面角的大小的方法：
一作：即先作出二面角的平面角；
二证：即说明所作角是二面角的平面角；
三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”．
【例9】如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B­AD­C的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
变式1：如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A­PD­C平面角的度数；
(2)求二面角B­PA­C平面角的度数．
变式2：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P­BC­A的大小．
考点七 面面垂直的判定
解题方略：
证明面面垂直常用的方法
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
【例10】经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )
A．0个 B．1个
C．无数个 D．1个或无数个
变式1：在四棱锥P­ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
变式2：若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不确定
【例11】如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC.
变式1：如图，在四面体ABCD中，BD＝eq \r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.
求证：平面ABD⊥平面BCD.
考点八 平面与平面垂直的性质
解题方略：
应用面面垂直性质定理要注意的问题
应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后，进一步转化为线线垂直．
【例12】如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．△PAD为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD.若G为AD边的中点．
求证：平面PBG⊥平面PAD.
变式1：如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC.
求证：BC⊥AC.
练习一 异面直线所成的角
1、在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）
A．B．-C．2D．
2、如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（ ）
A．B．C．D．
练习二 证明直线与直线垂直问题
1、如图，已知正方体.
（1）求与所成角的大小；
（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.
2、如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，，底面，，是的中点，且.
(1)求证；
(2)求三棱锥的体积.
练习三 直线与平面垂直的判定
1、正方体ABCD­A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C
B．平面A1DB
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB1
2、如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．
求证：(1)CD⊥AA1；
(2)AB1⊥平面CED.
练习四 求直线与平面所成的角
1、直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于( )
A．20° B．70°
C．90° D．110°
2、在三棱柱中，，，且，则直线与平面所成的角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
3、直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
练习五 直线与平面垂直性质的应用
1、已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中的真命题是( )
①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n.
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．①和④
2、如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝( )
A．2 B．3
C.eq \r(5) D.eq \r(13)
3、如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
4、线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
5、已知直线l，m，a，b，l⊥a，l⊥b，m⊥a，m⊥b，且a，b是异面直线，求证：l∥m.
6、在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.
求证：l∥AE.
练习六 二面角大小的计算
1、若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝eq \r(6)，那么二面角P­BC­A的大小为________．
2、如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2 eq \r(3)，CC1＝eq \r(2)，则二面角C1­BD­C的大小为________．
3、在四面体A­BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A­BD­C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于( )
A．90° B．45°
C．60° D．30°
练习七 面面垂直的判定
1、在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
2、在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
3、如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝eq \r(2)a，E为PA的中点．
求证：平面EDB⊥平面ABCD.
练习八 平面与平面垂直的性质
1、在三棱锥中，分别为的中点，且.
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，证明：.
2、如图1，在直角梯形ABCD中，，，且.现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，
如图2.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
3、如图所示，三角形所在的平面与矩形所在的平面垂直，且．
（1）证明：平面；
（2）证明：．
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关
概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
文字
语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
图形
语言
符号
语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，⇒l⊥α
作用
判断直线与平面垂直
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒
图形语言
作用
（1）证明两直线平行；
（2）构造平行线
概念
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面
图示
二
面
角
的
平
面
角
文字
在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角
图示
符号
OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角
范围
[0，π]
二
面
角
的
大
小
及
记
法
规定
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角
记法
棱为l，面分别为α，β的二面角记为．如图所示，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角．
平面几何中的角
二面角
图形
定义
从平面内一点出发的两条射线组成的图形
从一条直线出发的两个半平面组成的图形
表示法
由射线—点(顶点)—射线构成，即为∠AOB
由半平面—线(棱)—半平面构成，记为二面角α­l­β
意义
定量的反映两条直线的位置关系
定量的反映两个平面的位置关系
文字
语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号
语言
图形
语言
作用
证明直线与平面垂直
第6讲 空间直线、平面的垂直
知识点1 异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°.
(3)如果两条异面直线a，b所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作a⊥b.
知识点2 直线与平面垂直的判定
1．直线与平面垂直
注：1．对直线与平面垂直的几点说明
(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．
(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形．
(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．这是判断两条直线垂直的一种重要方法．
2．直线与平面垂直的判定定理
注：1．理解直线与平面垂直的判定定理
不能用“一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直”．实际上，由基本事实4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线平行．
2．判定定理所体现的数学思想
直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想，即将线面垂直转化为线线垂直．在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线
3．直线和平面所成的角
（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于．因此，直线与平面所成的角α的范围是．
注：(1)对斜线和平面所成的角的定义的理解
斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角．
(2)判断方法
首先，判断直线和平面的位置，若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为0°的角；若直线与平面垂直，此时直线与平面所成的角为90°.
其次，若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线(实际操作过程中，这一点的选取要有利于求角)，找出直线在平面内的射影，从而确定出直线和平面所成的角，一般转化到直角三角形、等边三角形中求解．
知识点3 直线与平面垂直的性质定理
注1．剖析直线与平面垂直的性质定理
(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论．
(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)．
(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
(4)定理的推证过程采用了反证法．
2．直线与平面垂直的性质
(1)eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥α,b⊂α))⇒l⊥b；(2)eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b；(3)eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α；(4)eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β,a⊥α))⇒a⊥β；(5)eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,a⊥β))⇒α∥β.
知识点4 平面与平面垂直的判定
1．二面角
2．平面与平面垂直
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
表示方法：平面与垂直，记作.
画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：

3．平面与平面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
特征：线面垂直面面垂直
注：1．二面角与平面几何中的角的对比
2．剖析平面与平面垂直
(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况．例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的．
(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的．
3．详解平面与平面垂直的判定定理
(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．
(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．
知识点5 平面与平面垂直的性质定理
考点一 异面直线所成的角
解题方略：
求异面直线所成的角的一般步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求.
【例1】如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝eq \r(2)，求异面直线AD和BC所成的角．
【解析】如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.
因为E，F分别是AB，CD的中点，故EG∥BC且EG＝eq \f(1,2)BC＝1，
FG∥AD，且FG＝eq \f(1,2)AD＝1.
即∠EGF为所求，
又EF＝eq \r(2)，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.
变式1：正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是________．
【解析】连接B′D′，则E为B′D′的中点，连接AB′，则EF∥AB′，又CD∥AB，所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成角，即∠B′AB＝45°.
答案：45°
变式2：如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）．
A．B．C．D．
【解析】连，相交于点，连、，
因为为的中点，为的中点，有，可得为异面直线与所成的角，不妨设正方形中，，则，
由平面，可得，
则，，
因为，为的中点，所以，．
故选：D.
考点二 证明直线与直线垂直问题
解题方略：
证明两条直线垂直的策略
(1)对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明．
(2)对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明．
【例2】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有________条．( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】在正方体AC1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条．故选D.
变式1：若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
【解析】∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.故选B.
【例3】如图，已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点．
求证：CD1⊥EF.
【证明】取CD1的中点G，连接EG，DG.
因为E是BD1的中点，所以EG∥BC，EG＝eq \f(1,2)BC.
因为F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
所以DF∥BC，DF＝eq \f(1,2)BC.
所以EG∥DF，EG＝DF.
所以四边形EFDG是平行四边形，所以EF∥DG，
又A1A＝AB，所以四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，
所以DG⊥CD1，所以CD1⊥EF.
变式1：在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.
【证明】如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.
则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF.
变式2：如图所示，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF＝eq \r(2).
求证：AD⊥BC.
【证明】取BD的中点H，连接EH，FH，
因为E是AB的中点，且AD＝2，
所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，FH＝1，
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角，
又因为EF＝eq \r(2)，所以EH2＋FH2＝EF2，
所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，
所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.
故AD⊥BC.
考点三 直线与平面垂直的判定
解题方略：
1、直线与平面垂直定义的“双向”作用
(1)证明线面垂直
若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直．即线线垂直⇒线面垂直．
(2)证明线线垂直
若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．即线面垂直⇒线线垂直．
2、线线垂直和线面垂直的相互转化
【例4】下列说法中，正确的个数是( )
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；
④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.
A．4 B．2
C．3 D．1
【解析】对于①②，不能判定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．③④是正确的．故选B.
变式1：直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
【解析】∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又∵m⊂α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．故选A.
变式2：直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是( )
A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内 D．不能确定
【解析】如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.
变式3：若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
【解析】由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故选C.
变式4：一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
【解析】一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直三角形所在平面，从而垂直第三边．故选B.
变式5：如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号)
【解析】根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．
答案：①③④
【例5】如图所示，直角△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC.
【证明】∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，∴SD⊥AC.
如图，连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，∴∠ADS＝∠BDS，
∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
变式1：已知四棱锥P­ABCD的底面是菱形，且PA＝PC，PB＝PD. 若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD.
【证明】在△PBD中，PB＝PD，O为BD的中点，
∴PO⊥BD.
在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，
∴PO⊥AC，
又∵AC∩BD＝O，
∴PO⊥平面ABCD.
变式2：如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq \r(2)，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.
【证明】如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，
所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．
又F是PC的中点，所以EF⊥PC.
又BP＝ eq \r(AP2＋AB2)＝2eq \r(2)＝BC，
F是PC的中点，所以BF⊥PC.
又BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面BEF，
所以PC⊥平面BEF.
变式3：如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
【解析】设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1∥DF.由已知可得A1B1＝eq \r(2)，
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝eq \f(1,2)h.
又2×eq \r(2)＝h eq \r(22＋\r(2)2)，所以h＝eq \f(2 \r(3),3)，DE＝eq \f(\r(3),3).
在Rt△DB1E中，B1E＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2)＝eq \f(\r(6),6).
在Rt△DB1F中，由面积相等得eq \f(\r(6),6)×eq \r( x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \f(\r(2),2)x，
解得x＝eq \f(1,2).
即线段B1F的长为eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
考点四 求直线与平面所成的角
解题方略：
求直线与平面所成角的一般步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．
(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
【例6】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为_______；
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________；
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为______．
【解析】 (1)由线面角定义知，∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.
(2)如图，连接A1D，设A1D∩AD1＝O，连接BO，
则易证A1D⊥平面ABC1D1，
∴A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.∵A1O＝eq \f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°.
(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，
∴A1B⊥平面AB1C1D，
即A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为90°.
答案：(1)45° (2)30° (3)90°
变式1：长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝eq \r(2)，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________．
【解析】如图所示，连接B1D1.
则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝eq \f(BB1,B1D1)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，则∠BD1B1＝30°.
答案：30°
变式2：如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
【解析】∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cs∠ABO＝eq \f(1,2)， 即∠ABO＝60°.故选A.
变式3：三棱锥S­ABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值．
【解析】如图，过S作SO⊥平面ABC于点O，连接AO，BO，CO.则SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO.
∵SA＝SB＝SC＝a，∴△SOA≌△SOB≌△SOC，
∴AO＝BO＝CO，∴O为△ABC的外心．
∵△ABC为正三角形，∴O为△ABC的中心．
∵SO⊥平面ABC，
∴∠SAO即为SA与平面ABC所成的角．
在Rt△SAO中，SA＝a，AO＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3),3)a，
∴cs∠SAO＝eq \f(AO,SA)＝eq \f(\r(3),3)，
∴SA与底面ABC所成角的余弦值为eq \f(\r(3),3).
考点五 直线与平面垂直性质的应用
解题方略：
1、证明线线平行常有如下方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；
(2)利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线；
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
2、线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面．
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．
【例7】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则( )
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直
D．B1B与l相交但不垂直
【解析】因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.故选B.
变式1：设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
【解析】∵m∥n，m⊥α，则n⊥α，故选C.
变式2：已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．
①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m∥n；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．其中为真命题的是________．(填序号)
【解析】①若m∥α，m⊥n，则n与α位置关系不确定，故为假命题．
②若n∥α，则α内存在直线l与n平行．因为m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n.故为真命题．
③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m，n可能异面．故为假命题．
④原命题的逆否命题为“若m与n垂直于同一平面，则m，n平行”，为真命题，所以原命题为真命题，所以②④为真命题．
答案：②④
变式3：【多选】下列命题正确的是( )
A.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α B.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
C.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,a⊥b))⇒b∥α D.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥α,a⊥b))⇒b⊥α
【解析】由性质定理可得A、B正确．故选A、B.
变式4：如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________.
【解析】因为DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，
所以DE∥PA. 又DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC.
答案：平行
变式5：PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
【解析】PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；又BC⊥AC，所以BC⊥面PAC，所以BC⊥PC，B、D均正确．故选C.
【例8】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：MN∥AD1.
【证明】因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
变式1：如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.
求证：a∥l.
【证明】因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
变式2：如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.
求证：AE⊥SB.
【证明】因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.
而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB.
变式3：如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝eq \r(2).
求证：A1C⊥平面BB1D1D.
【证明】∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.
又底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.
又OA1是AC的中垂线
∴A1A＝A1C＝eq \r(2)，且AC＝2，
∴AC2＝AAeq \\al(2,1)＋A1C2
∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.
又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，
又BD∩BB1＝B，
∴A1C⊥平面BB1D1D.
考点六 二面角大小的计算
解题方略：
解决二面角问题的策略
(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．
(2)求二面角的大小的方法：
一作：即先作出二面角的平面角；
二证：即说明所作角是二面角的平面角；
三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”．
【例9】如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B­AD­C的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【解析】由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B­AD­C的平面角，其大小为60°.故选C.
变式1：如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A­PD­C平面角的度数；
(2)求二面角B­PA­C平面角的度数．
【解析】 (1)∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形，
∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A­PD­C平面角的度数为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B­PA­C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B­PA­C平面角的度数为45°.
变式2：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P­BC­A的大小．
【解析】由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P­BC­A的棱，
∴∠PCA是二面角P­BC­A的平面角．
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P­BC­A的大小是45°.
考点七 面面垂直的判定
解题方略：
证明面面垂直常用的方法
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
【例10】经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )
A．0个 B．1个
C．无数个 D．1个或无数个
【解析】当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．故选D.
变式1：在四棱锥P­ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
【解析】由面面垂直的判定定理知，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正确．故选C.
变式2：若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不确定
【解析】若方向相同则相等，若方向相反则互补．故选C.
【例11】如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC.
【证明】法一：(利用定义证明)
因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A­BC­S的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝eq \f(\r(2),2)a，BD＝eq \f(BC,2)＝eq \f(\r(2),2)a.
在Rt△ABD中，AD＝eq \f(\r(2),2)a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A­BC­S为直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
法二：(利用判定定理)
因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
变式1：如图，在四面体ABCD中，BD＝eq \r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.
求证：平面ABD⊥平面BCD.
证明：取BD的中点E，
连接AE，CE，
因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，
所以AE⊥BD，CE⊥BD，
即∠AEC为二面角A­BD­C的平面角，
在△ABD中，AB＝a，BE＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(\r(2),2)a，
所以AE＝ eq \r(AB2－BE2)＝eq \f(\r(2),2)a，同理，CE＝eq \f(\r(2),2)a.
在△AEC中，AE＝CE＝eq \f(\r(2),2)a，AC＝a，
故AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，
即∠AEC＝90°，所以二面角A­BD­C的平面角为90°，
所以平面ABD⊥平面BCD.
考点八 平面与平面垂直的性质
解题方略：
应用面面垂直性质定理要注意的问题
应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后，进一步转化为线线垂直．
【例12】如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．△PAD为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD.若G为AD边的中点．
求证：平面PBG⊥平面PAD.
【证明】∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形．
∵G为AD边的中点，∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
∵BG⊂平面PBG，
∴平面PBG⊥平面PAD.
变式1：如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC.
求证：BC⊥AC.
【证明】如图，在平面PAC内作AD⊥PC交PC于点D，
∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，
∴AD⊥平面PBC，
又∵BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，
∵AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC.
练习一 异面直线所成的角
1、在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）
A．B．-C．2D．
【解析】如图所示，
分别取，，，的中点，，，，则，，，
或其补角为异面直线与所成角．
设，则，，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选：A．
2、如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图所示：
取BC的中点G，连接EG，FG，
因为E，F，G都为中点，所以,
所以，分别为异面直线EF与AB，EF与CD所成的角，
因为，所以
又因为，，所以 所以,
因为，所以故选：A
练习二 证明直线与直线垂直问题
1、如图，已知正方体.
（1）求与所成角的大小；
（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.
【解析】（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以，
从而与所成的角为与所成的角，
由，可知.
故与所成的角为.
（2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以，
因为为的中位线，
所以.
又，
所以，
所以.
2、如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，，底面，，是的中点，且.
(1)求证；
(2)求三棱锥的体积.
【解析】(1)由题意可知，底面是边长为的菱形，
，所以为等边三角形，因为是的中点，
所以，又，所以，因为底面，
平面，故，因为平面，
平面，平面，，
所以面，平面，故.
(2)由（1）知，，底面，
则点到平面的距离即，又因为为边长为等边三角形，
所以，因为底面，，所以为直角梯形，
所以，
所以.
即三棱锥的体积为：.
练习三 直线与平面垂直的判定
1、正方体ABCD­A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C
B．平面A1DB
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB1
【解析】∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1. 故选D.
2、如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．
求证：(1)CD⊥AA1；
(2)AB1⊥平面CED.
【证明】(1)由题意知AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
所以CD⊥AA1.
(2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB，A1A⊂平面A1B1BA，
所以CD⊥平面A1B1BA.因为AB1⊂平面A1B1BA，
所以CD⊥AB1.
又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，CD，CE⊂平面CED，
所以AB1⊥平面CED.
练习四 求直线与平面所成的角
1、直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于( )
A．20° B．70°
C．90° D．110°
【解析】∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°.故选B.
2、在三棱柱中，，，且，则直线与平面所成的角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解析】∵，，∴，
∵，，，平面，
∴平面，
∴就是与平面所成的角，即与平面所成的角是，
∵棱柱中，∴与平面所成的角的大小为，
故选：A．
3、直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图，过作，连接，

在直三棱柱中，因为
所以平面，
故在平面上的射影为,
所以为直线与平面所成的角，
设，又
所以
故故选：A
练习五 直线与平面垂直性质的应用
1、已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中的真命题是( )
①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n.
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．①和④
【解析】①中，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，所以①不是真命题；②是直线与平面垂直的定义的应用，所以②是真命题；③是直线与平面垂直的性质定理，所以③是真命题；④中，分别在两个平行平面α，β内的直线m，n平行或异面，所以④不是真命题．故选B.
2、如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝( )
A．2 B．3
C.eq \r(5) D.eq \r(13)
【解析】因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE. 因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝ eq \r(CD2＋DE2)＝eq \r(9＋4)＝eq \r(13).故选D.
3、如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
【解析】 ∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.故选C.
4、线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
【解析】如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，
∴MM1＝4.
答案：4
5、已知直线l，m，a，b，l⊥a，l⊥b，m⊥a，m⊥b，且a，b是异面直线，求证：l∥m.
【证明】如图，在直线b上任取一点O，过点O作a′∥a，则直线b，a′确定一个平面α.
∵a′∥a，l⊥a，∴l⊥a′.
∵l⊥b，a′∩b＝O，∴l⊥α.
同理可证m⊥α，∴l∥m.
6、在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.
求证：l∥AE.
【证明】因为PA⊥平面ABCD，
CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD.
又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD.
因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.
又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC.
因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为l⊥平面PCD，
所以l∥AE.
练习六 二面角大小的计算
1、若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝eq \r(6)，那么二面角P­BC­A的大小为________．
【解析】取BC的中点O，连接OA，OP(图略)，则∠POA为二面角P­BC­A的平面角，OP＝OA＝eq \r(3)，PA＝eq \r(6)，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.
答案：90°
2、如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2 eq \r(3)，CC1＝eq \r(2)，则二面角C1­BD­C的大小为________．
【解析】如图，取BD中点O，连接OC，OC1，
∵AB＝AD＝2 eq \r(3)，
∴CO⊥BD，CO＝eq \r(6).
∵CD＝BC，∴C1D＝C1B，
∴C1O⊥BD.
∴∠C1OC为二面角C1­BD­C的平面角．
tan ∠C1OC＝eq \f(C1C,OC)＝eq \f(\r(2),\r(6))＝eq \f(\r(3),3).
∴∠C1OC＝30°，即二面角C1­BD­C的大小为30°.
答案：30°
3、在四面体A­BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A­BD­C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于( )
A．90° B．45°
C．60° D．30°
【解析】如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.
由题意可得AF＝CF＝eq \f(\r(2),2)a，∠AFC＝90°.
在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形．
∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°.故选A.
练习七 面面垂直的判定
1、在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
【证明】(1)因为E，F分别是AB，BD 的中点，
所以EF是△ABD的中位线，所以EF∥AD，
因为EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，
所以直线EF∥平面ACD.
(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.
因为CB＝CD，F是BD的中点，所以CF⊥BD.
又EF∩CF＝F，所以BD⊥平面EFC.
因为BD⊂平面BCD，
所以平面EFC⊥平面BCD.
2、在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
【解析】如图所示，∵BC∥DF，BC⊄平面PDF，DF⊂平面PDF，
∴BC∥平面PDF，∴A正确；由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，得BC⊥平面PAE，∴DF⊥平面PAE，∴B正确；∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，∴D正确．故选C.
3、如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝eq \r(2)a，E为PA的中点．
求证：平面EDB⊥平面ABCD.
【证明】设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.
∵PC＝CD＝a，PD＝eq \r(2)a，
∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD.
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
又EO⊂平面EDB，
故有平面EDB⊥平面ABCD.
练习八 平面与平面垂直的性质
1、在三棱锥中，分别为的中点，且.
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，证明：.
【解析】(1)证明:因为，分别为，的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
(2)证明：因为，为的中点，，
又平面平面
平面平面，
所以平面
又平面.
所以.
2、如图1，在直角梯形ABCD中，，，且.现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，
如图2.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
【解析】证明：取中点，连结.
在中， 分别为的中点，
所以，且.
由已知，， 所以，且，
因此四边形是平行四边形，所以有，
又因为平面，且平面， 所以平面；
（2）证明：在正方形中，.
又因为平面平面ABCD中，且平面平面，
所以平面ABCD，又平面ABCD，所以.
在直角梯形ABCD中，，可得.
在中，， 所以.
所以， ，平面，
平面.
3、如图所示，三角形所在的平面与矩形所在的平面垂直，且．
（1）证明：平面；
（2）证明：．
【解析】（1）因为四边形是矩形，所以．
又平面平面，
所以平面．
（2）取的中点H，连接．
因为，所以．
又平面平面，平面平面平面，
所以平面．
又平面，所以．
因为，
所以平面．
又平面，所以．
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关
概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
文字
语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
图形
语言
符号
语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，⇒l⊥α
作用
判断直线与平面垂直
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒
图形语言
作用
（1）证明两直线平行；
（2）构造平行线
概念
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面
图示
二
面
角
的
平
面
角
文字
在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角
图示
符号
OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角
范围
[0，π]
二
面
角
的
大
小
及
记
法
规定
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角
记法
棱为l，面分别为α，β的二面角记为．如图所示，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角．
平面几何中的角
二面角
图形
定义
从平面内一点出发的两条射线组成的图形
从一条直线出发的两个半平面组成的图形
表示法
由射线—点(顶点)—射线构成，即为∠AOB
由半平面—线(棱)—半平面构成，记为二面角α­l­β
意义
定量的反映两条直线的位置关系
定量的反映两个平面的位置关系
文字
语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号
语言
图形
语言
作用
证明直线与平面垂直