数学必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直测试题

这是一份数学必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直测试题，共14页。试卷主要包含了定义，范围，画法，记法，二面角的平面角等内容，欢迎下载使用。

一．异面直线所成的角
1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).
2.范围： .特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
二．直线与平面所成的角
三．二面角的概念
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
2.相关概念：
(1)这条直线叫做二面角的棱；
(2)两个半平面叫做二面角的面.
3.画法：

4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.
5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
6.二面角的平面角α的取值范围是 .平面角是直角的二面角叫做直二面角.
知识简用
题型一 线线角
【例1-1】（2022·吉林）如图，在正方体中，、、、分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【例1-2】（2022·高一课前预习）如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，则与所成的角是________．
题型二 线面角
【例2-1】（2022春·湖南岳阳·高一统考期末）如图，在三棱锥中，底面．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求与平面所成角的正弦值．
【例2-2】（2022春·全国·高一校联考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，且，，D是棱的中点，E是棱上靠近的四等分点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
题型三 二面角
【例3-1】．（2022·天津）如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)求证：；
(3)求二面角的余弦值.
【例3-2】．（2022·湖北）已知正方体的棱长为3，，分别为棱，上的动点，．若直线与平面所成角为．
(1)求二面角的平面角的大小．
(2)求线段的长度．
(3)求二面角平面角的余弦值．
题型四 空间距离
【例4-1】（2021·高一课时练习）如图，在长方体中，设，，，则点B到面的距离为________，直线AC与面的距离为________，面与面的距离为________.
【例4-2】（2022春·河北石家庄·高一校考期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面，，.
(1)证明：平面PAC；
(2)求点到平面的距离.
有关概念
对应图形
斜线
一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA
斜足
斜线和平面的交点，图中点A
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°
取值范围
设直线与平面所成的角为θ，
8.6.2 空间角与空间距离（学案）
知识自测
一．异面直线所成的角
1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).
2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
二．直线与平面所成的角
三．二面角的概念
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
2.相关概念：
(1)这条直线叫做二面角的棱；
(2)两个半平面叫做二面角的面.
3.画法：

4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.
5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
6.二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
知识简用
题型一 线线角
【例1-1】（2022·吉林）如图，在正方体中，、、、分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【答案】B
【解析】如图，连接，
由题意，，所以异面直线与所成的角是或其补角，
由正方体性质知是等边三角形，，
所以异面直线与所成的角是．故选：B．
【例1-2】（2022·高一课前预习）如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，则与所成的角是________．
【答案】
【解析】因为底面是平行四边形，所以，
所以与所成的角即为与所成的角或其补角，
又，所以与所成的角为，即与所成的角为.故答案为：.
题型二 线面角
【例2-1】（2022春·湖南岳阳·高一统考期末）如图，在三棱锥中，底面．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）底面．
又ACB= ，； 又
平面，又平面，∴平面
（2）取PC的中点O，连接AO、BO；
又∵平面平面且交线为，
平面，直线AB在平面PBC中的射影为OB，
为AB与平面PBC所成的角
在直角中，AB=，，
【例2-2】（2022春·全国·高一校联考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，且，，D是棱的中点，E是棱上靠近的四等分点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）∵，，∴，
∴，，
∴，同理，∵，∴，
∵，，∴，
，∴，∴，
又，∴平面
（2）
如图，取的中点M，连接AM，EM，
∵，∴，
由（1）知平面，∴平面平面，交线为，
∴平面，∴即为直线AE与平面所成的角，
∵，，
∴，即直线AE与平面所成角的正弦值为.
题型三 二面角
【例3-1】．（2022·天津）如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)求证：；
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).
【解析】（1）设和交于点，连接，如图，
由于，分别是，的中点，故，
∵平面，平面，所以直线平面.
（2）在四棱柱中，底面是菱形，则，
又平面，且平面，则，
∵平面，平面，
∴平面.
平面，∴.
（3）连接，，
因为，是中点，所以，
因为平面，平面，所以，
∴为二面角的平面角，
，，，
由余弦定理可知，
∴二面角的余弦值为.
【例3-2】．（2022·湖北）已知正方体的棱长为3，，分别为棱，上的动点，．若直线与平面所成角为．
(1)求二面角的平面角的大小．
(2)求线段的长度．
(3)求二面角平面角的余弦值．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）如图，作，垂足为，连接，作于，
平面，平面，故，，，
平面，故平面，平面，故，
是二面角的平面角，
平面，故，，，平面，
故平面，
是直线与平面所成的角，
是直角三角形，由已知，所以．
（2）在中，，．
（3）连接交于点，连接，
在中，，在中，，
故即为二面角的一个平面角，
在中，，，
，即二面角平面角的余弦值为．
题型四 空间距离
【例4-1】（2021·高一课时练习）如图，在长方体中，设，，，则点B到面的距离为________，直线AC与面的距离为________，面与面的距离为________.
【答案】 3 1 2
【解析】在长方体中，面,
所以点B到面的距离为
即点B到面的距离为3.
面,
则直线上任意一点到面的距离相等。
由面,
所以点到面的距离为
所以直线AC与面的距离为1.
面与面平行，
且与面、面都垂直
所以线段为面与面的距离
故面与面的距离2.
【例4-2】（2022春·河北石家庄·高一校考期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面，，.
(1)证明：平面PAC；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】（1）底面为直角梯形，，，故可得，
又，则，易知，
故，则；
又面面，故；
又面，故面.
（2）由（1）知面，又面，故，
又面面，故，则，
又，则；
因为面，故点到面的距离为，也即点到面的距离为；
又，
设点到面的距离为，则由可得：
，则，解得，
故点到面的距离为.
有关概念
对应图形
斜线
一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA
斜足
斜线和平面的交点，图中点A
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°
取值范围
设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°