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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课时训练
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课时训练，共45页。试卷主要包含了如图，长方体中，，，，则等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·高一课时练习）如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_________．
2．（2022春·全国·高一期末）如图是一个正方体的表面展开图，A、B、D均为棱的中点，C为顶点，在该正方体中，异面直线AB和CD所成角的余弦值为______．
3．（2022·天津）如图，已知边长为2的正方体，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值为___________.
4．（2022·高一课时练习）如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角 ．
5．（2022云南）如图，长方体中，，，，则
（1）点到平面的距离为________；
（2）直线到平面的距离为________；
（3）平面与平面之间的距离为________.
6．（2022甘肃）在长方体中，E，F，G，H分别为，，，的中点，，则平面ABCD与平面EFGH的距离为________.
7．（2022辽宁）在长方体中，，，，则直线BC到面的距离为________；直线到面的距离为________；面与面的距离为________.
8．（2022河南安阳·高一安阳一中校考期末）如图，已知，四边形ABCD为长方形，平面PDC⊥平面ABCD，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3．
(1)证明：BC⊥PD；
(2)证明：求点C到平面PDA的距离．
9．（2022·高一课前预习）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.
10．（2022·高一课时练习）如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小.
11．（2022河北唐山）如图，在正三棱柱（侧棱垂直底面，底面为正三角形）中，各棱长均相等，D是BC的中点，
(1)求证：
(2)求证：平面AC1D
(3)求异面直线与所成角余弦值．
12．（2022春·黑龙江·高一哈九中校考期中）如图，矩形中，，，将沿折起，使得点到达点的位置，.
(1)证明：平面平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
13．（2022·江苏）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，AB＝AD＝2，AA1＝3.
(1)证明：EF∥平面A1ADD1；
(2)求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．
14．（2022·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为2．
(1)求直线和平面ABCD所成角的大小；
(2)求直线和平面ABCD所成角的正切值．
15．（2022·高一课时练习）如图，已知长方体的对角线与侧棱所成的角为45°，且，求与侧面所成角的大小．
16．（2022春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）如图所示，已知菱形和矩形所在平面互相垂直，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)设中点为，求直线与底面所成角的余弦值.
17．（2022春·新疆·高一兵团第一师高级中学校考期末）如图，在正方体中，分别是， 的中点，
(1)求证∥平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
18．（2021秋·甘肃临夏·高一临夏中学校考期末）如图，在三棱柱中，平面，E，F分别为，的中点，D为上的点，且．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若三棱柱所有棱长都为a，求二面角的平面角的正切值．
19．（2022春·天津·高一校联考期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交PB于点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：平面；
(3)求平面与平面的夹角的大小.
20．（2022·高一单元测试）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，E为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值．
1．（2022春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）正方体的棱长为2，则直线与平面的距离是__．
2．（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为2，，E为的中点，则到平面EAC的距离为________．
3．（2022·高一单元测试）如图，正三棱柱中，，，N为AB的中点.
(1)求证：平面；
(2)求A到平面的距离.
4．（2021·高一课时练习）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面之间的距离.
5．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)求二面角A﹣BC﹣P的大小；
(4)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
6．（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD＝BC＝1，二面角P－CD－A为直二面角．
(1)若E为线段PC的中点，求证：DE⊥PB；
(2)若PC＝，求PC与平面PAB所成角的正弦值．
7．（2022·高一单元测试）如图①，在梯形中，，，如图②，将沿边翻折至，使得平面平面，过点作一平面与垂直，分别交于点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
8．（2022春·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角.
9．（2022春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．
8.6.2 空间角与空间距离（精练）
1．（2022·高一课时练习）如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_________．
【答案】
【解析】
如图，连接，，，
因为，，，分别为，，，的中点，所以∥，∥，为异面直线与所成角或其补角，
因为为正方体，所以三角形为正三角形，所以.
故答案为：.
2．（2022春·全国·高一期末）如图是一个正方体的表面展开图，A、B、D均为棱的中点，C为顶点，在该正方体中，异面直线AB和CD所成角的余弦值为______．
【答案】
【解析】将正方体的表面展开图还原成正方体，如图：
连接、，因为A、B均为棱的中点，所以
所以是异面直线AB和CD所成角（或补角），
设正方体的棱长为，在中，，,
故答案为：.
3．（2022·天津）如图，已知边长为2的正方体，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值为___________.
【答案】
【解析】
连接，交与，所以，连接，
因为平面，平面，
所以，又，所以，且，
平面，所以平面，
所以为与平面所成角，
在直角三角形中，，，
所以.
故答案为：.
4．（2022·高一课时练习）如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角 ．
【答案】
【解析】长方体中，，，
，，，，
由条件，，，
又与平面所成的角为，因此，
，与平面所成的角为.
5．（2022云南）如图，长方体中，，，，则
（1）点到平面的距离为________；
（2）直线到平面的距离为________；
（3）平面与平面之间的距离为________.
【答案】
【解析】（1）因为在长方体中，，，
又，平面，平面，
所以平面，因此点到平面的距离为；
（2）因为在长方体中，，，
又，平面，平面，
所以平面，又，
所以为直线与平面的公垂线，
因此直线到平面的距离为；
（3）因为在长方体中，侧棱和底面垂直，
即平面，平面，
所以平面与平面之间的距离为；
故答案为：；；.
6．（2022甘肃）在长方体中，E，F，G，H分别为，，，的中点，，则平面ABCD与平面EFGH的距离为________.
【答案】2
【解析】如图
平面A BCD平面EFGH又平面.
平面ABCD与平面EFGH的距离为.故答案为：2
7．（2022辽宁）在长方体中，，，，则直线BC到面的距离为________；直线到面的距离为________；面与面的距离为________.
【答案】 5 4 3
【解析】如图
直线BC到面的距离为；
直线到面的距离为；
面到面的距离为.
故答案为：5； 4； 3.
8．（2022河南安阳·高一安阳一中校考期末）如图，已知，四边形ABCD为长方形，平面PDC⊥平面ABCD，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3．
(1)证明：BC⊥PD；
(2)证明：求点C到平面PDA的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】（1）∵四边形ABCD是长方形，∴BC⊥CD，
∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，
∴BC⊥平面PDC，
∵平面PDC，
∴BC⊥PD；
（2）取CD的中点E，连接AE和PE，
∵PD＝PC，∴PE⊥CD，
在Rt△PED中，．
∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE平面PDC，
∴PE⊥平面ABCD，
由(1)知：BC⊥平面PDC，
∵四边形ABCD是长方形，∴BC∥AD，
∴AD⊥平面PDC，
∵平面PDC，∴AD⊥PD，
设点C到平面PDA的距离为h．
连接AC，由得，，
∴点C到平面PDA的距离是．
9．（2022·高一课前预习）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.
【答案】(1)60°(2)90°
【解析】（1）如图所示，连接AC，AB1.
由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，
∴ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.
在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.
（2）如图所示，连接BD.由（1）知ACA1C1，
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.
∵EF是△ABD的中位线，∴EFBD.
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，
∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.
10．（2022·高一课时练习）如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小.
【答案】60°
【解析】
如图，取AC的中点G，连接EG，FG.
因为E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
所以GF∥AD，且GF＝AD，EG∥BC，且EG＝BC，
则∠EGF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角.
因为AD＝BC＝2，所以EG＝GF＝1.
单独看△GEF的平面图，可得
在等腰△GEF中，过点G作GH⊥EF于点H，
在Rt△GHE中，EG＝1，EH＝EF＝，则sin∠EGH＝，
所以∠EGH＝60°，则∠EGF＝2∠EGH＝120°.
所以异面直线AD，BC所成的角为∠EGF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60°.
11．（2022河北唐山）如图，在正三棱柱（侧棱垂直底面，底面为正三角形）中，各棱长均相等，D是BC的中点，
(1)求证：
(2)求证：平面AC1D
(3)求异面直线与所成角余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【解析】（1），D是BC的中点，，
又因为正三棱柱中
平面ABC，平面ABC
，平面，
平面，
又平面，
（2）
连接交于，连接则O为中点，
，又平面，
平面，所以平面.
（3）由（2）知，
（或其补角）为异面直线与所成角，
设，
中，，，
则由余弦定理得，
所以异面直线与所成角余弦值为．
12．（2022春·黑龙江·高一哈九中校考期中）如图，矩形中，，，将沿折起，使得点到达点的位置，.
(1)证明：平面平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】（1）证明：因为，
所以，
所以，
因为平面，
所以平面
因为平面，
所以平面平面.
（2）由（1）得平面，
因为在中，,即
所以，
根据题意可做长方体如图
因为由图知，
所以异面直线与所成角等于直线与所成角，连接,
因为,
所以，
设直线与所成角为，
所以在中，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
13．（2022·江苏）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，AB＝AD＝2，AA1＝3.
(1)证明：EF∥平面A1ADD1；
(2)求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】（1）如图，连接BC1，AD1，由E，F分别为BC，CC1的中点，可得EF∥BC1，
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
AB∥C1D1，AB＝C1D1，
因此四边形ABC1D1为平行四边形，
所以BC1∥AD1，
所以EF∥AD1，
又EF⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，
所以EF∥平面A1ADD1；
（2）
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
因为C1D1⊥平面A1ADD1，
所以AC1在平面A1ADD1中的射影为AD1，
所以∠C1AD1为直线AC1与平面A1ADD1所成的角，
由题意知AC1＝，
在Rt△AD1C1中，sin∠C1AD1＝＝＝，
即直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值为.
14．（2022·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为2．
(1)求直线和平面ABCD所成角的大小；
(2)求直线和平面ABCD所成角的正切值．
【答案】(1)．(2)．
【解析】（1）因为平面ABCD，∴直线在平面ABCD上的射影为直线AB，
∴就是直线和平面ABCD所成的角．
∵，∴直线和平面ABCD所成角的大小为．
（2）因为平面ABCD，∴直线在平面ABCD上的射影为直线DB，
∴就是直线和平面ABCD所成的角．
15．（2022·高一课时练习）如图，已知长方体的对角线与侧棱所成的角为45°，且，求与侧面所成角的大小．
【答案】30°．
【解析】连接AC，，
∵长方体的对角线与侧棱所成的角为45°，且，，所以是对角线与侧棱所成的角（或其补角），
平面，平面，则，同理，
∴，
∴．∵平面，
∴是直线与平面所成的角．
∵，，
∴，∴．
∴与侧面所成角的大小为30°．
16．（2022春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）如图所示，已知菱形和矩形所在平面互相垂直，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)设中点为，求直线与底面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证：平面平面
平面面
因为四边形为菱形,平面， 平面
平面 平面面
(2)因为平面平面，平面面；
四边形是矩形，所以底面
在中，
，
即为直线与平面所成角，在中,
17．（2022春·新疆·高一兵团第一师高级中学校考期末）如图，在正方体中，分别是， 的中点，
(1)求证∥平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）
取中点，连接如图，则由中位线的性质可得，且平面，平面，故平面.
又，，故四边形为平行四边形，故，同理可得平面.
又，平面，故平面平面.
又平面，故平面.
（2）
取中点，中点，连接如图.
易得互相平行，又，故四边形为平行四边形，故.又平面，故平面，故与平面所成角即与平面所成角.
设，，即与平面所成角的正弦值为
18．（2021秋·甘肃临夏·高一临夏中学校考期末）如图，在三棱柱中，平面，E，F分别为，的中点，D为上的点，且．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若三棱柱所有棱长都为a，求二面角的平面角的正切值．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【解析】（1）证明：因为E，F分别为，的中点，
所以，
又平面ABC，平面ABC，
故平面ABC；
（2）证明：∵平面，平面，
∴，
∵，，∴平面，
又平面，
∴平面平面；
（3）如图所示：过点D作垂线，垂足为H，连接，D为的中点，
∵，，，
∴平面，，
则是二面角的平面角，
∴，，，
故二面角的平面角的正切值为．
19．（2022春·天津·高一校联考期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交PB于点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：平面；
(3)求平面与平面的夹角的大小.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【解析】（1）取中点，连接，
在中，分别为中点，∴为的中位线，∴，且，
又∵，∴
∵底面，∴底面，∴；
（2）∵底面，且面∴，
∵底面是正方形，∴，
又,面,∴面,
又面∴
∵，且，∴是等腰直角三角形，又是斜边的中线，∴，
又,面,∴面，
∵面∴,
∵,又,面∴平面；
（3）由（2）可知，故是平面与平面的夹角，
∵∴，在中，，，，
又面，∵面∴,
在中，，∴，故平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
20．（2022·高一单元测试）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，E为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)．
【解析】（1）证明：如图，连接，交于于O点，连接，易知O为中点．
∵E为的中点，∴．∵平面平面，
∴平面．
（2）因为E是的中点，所以．
∵，知为等边三角形，
又因为知，，
∴，
又，即，
故．
∵底面是菱形，∴，
又O为等边三角形的边的中点，故，
而平面，
∴平面．
∴．
（3）如图，过点A作，垂足为M，连接．
∵，O为中点，∴．
又，∴．
∴，故为二面角的平面角．
∵，
由，得．
∵，
在中，，
∴二面角的余弦值为．
1．（2022春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）正方体的棱长为2，则直线与平面的距离是__．
【答案】
【解析】因为，平面，平面，
所以平面，
故点到平面的距离即为直线与平面的距离，
连接交于点，
因为四边形为正方形，所以⊥BD，
又因为⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以⊥BD，
因为，平面，
所以BD⊥平面，故BO即为直线与平面的距离，
因为正方体的棱长为2，
所以，
故直线与平面的距离为.
故答案为：
2．（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为2，，E为的中点，则到平面EAC的距离为________．
【答案】
【解析】连接，
因为∥，平面，平面，
所以∥平面EAC，
所以到平面EAC的距离等于到平面EAC的距离，设到平面EAC的距离为，
因为正四棱柱的底面边长为2，，
所以，
因为E为的中点，所以，
所以，
所以，
,
因为，
所以,
所以，解得，
故答案为：.
3．（2022·高一单元测试）如图，正三棱柱中，，，N为AB的中点.
(1)求证：平面；
(2)求A到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）连接交于点O,连接,
在正三棱柱中四边形为平行四边形，
故O为的中点，又N为AB的中点，则,
又平面，平面，
所以平面；
（2）设点A到平面的距离为d,
在正三棱柱中平面,
则为三棱锥的高，则，
因为平面,所以，则，
又平面,平面,故 ,
又平面，
所以平面, 平面，所以,
正三棱柱中，，则 ,
故，
故由，可得，解得，
故A到平面的距离为.
4．（2021·高一课时练习）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面之间的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：∵正方体中E，F分别为，的中点，
∴∥，=
∴四边形是平行四边形.
∴.
又平面，平，
∴平面.
∵∥，=
∴四边形是平行四边形.
∴.
又平向，平面，
∴AE∥平面.
又∵，
∴平面平面.
（2）平面与平面之间的距离也就是点B到面的距离，设为h，
∵正方体的棱长为2，
∴，，
∴的面积
∴三棱锥的体积，.
又三棱锥的体积.
由可得，
解得.
∴平面与平面之间的距离为.
5．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)求二面角A﹣BC﹣P的大小；
(4)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)45°(4)能，证明见解析
【解析】(1)在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD．
(2)连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD边的中点，得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD，
PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，PG∩BG＝G，
所以AD⊥平面PGB，因为PB⊂平面PGB．所以AD⊥PB．
(3)由（2）可得PB⊥AD，BG⊥AD，
∵AD∥BC，所以PB⊥BC，BG⊥BC，所以∠PBG为二面角A﹣BC﹣P的平面角
因为PG＝BG＝，所以∠PBG＝45°；
(4)当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下：
取PC 的中点F，连接DE、EF、DF，
在△PBC中，FE∥PB，FE平面PGB，PB平面PGB
∴FE∥平面PGB
在菱形ABCD中，DG∥BE且DGBE
BEDG为平行四边形，则DE∥BG，DE平面PGB，BG平面PGB
∴DE∥平面PGB
EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB，
因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG，
又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G，
∴PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD．
6．（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD＝BC＝1，二面角P－CD－A为直二面角．
(1)若E为线段PC的中点，求证：DE⊥PB；
(2)若PC＝，求PC与平面PAB所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2).
【解析】（1）证明：因为PD＝DC＝1，且E为PC的中点，
所以DE⊥PC，
又因为二面角P－CD－A为直二面角，
所以平面PCD⊥平面ABCD，
因为BC⊥CD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，平面ABCD，
所以BC⊥平面PCD，
因为平面PCD，
所以BC⊥DE.
因为BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，BC∩PC＝C，
所以DE⊥平面PBC，
又因为PB⊂平面PBC，
所以DE⊥PB.
（2）解：在中，，，
由余弦定理可得，
因为
所以∠PDC＝120°，
过点P作PH⊥CD的延长线于H，如图，
因为二面角P－CD－A为直二面角，平面平面，平面，
所以平面，
在中，，
过H点作HG∥DA，且HG与BA的延长线交于G点．
因为
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以
在中，，
所以，
设点C到平面PAB的距离为h，则
，
解得，
设PC与平面PAB所成的角为θ，
，
即PC与平面PAB所成角的正弦值为.
7．（2022·高一单元测试）如图①，在梯形中，，，如图②，将沿边翻折至，使得平面平面，过点作一平面与垂直，分别交于点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）如图②，因为平面，且平面，
所以
又因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为，且平面，
所以平面
（2）由（1）知平面平面，
所以，
在直角三角形中，，
由等面积代换得，，
即，
又因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面
又因为平面，
所以
在直角三角形中，，
由等面积代换得，，
即，
又在直角三角形中，，
设点到平面的距离为，
在三棱锥中，由等体积代换得，，
即，
也即，
即所求直线BE与平面所成角的正弦值为
8．（2022春·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角.
【答案】(1)证明见解析(2).
【解析】（1）因为平面平面，且，即，
且平面，平面平面，所以平面
又因为平面，所以
因为为菱形，所以，且，平面，
所以平面，又因为平面，所以平面平面
（2）
设.
平面平面，平面平面平面.
连接，则就是直线与平面所成的角.
由题意得，为等边三角形.
过作于，则为的中点，
平面，又平面.
过作于，连接，则就是二面角的平面角.
易得.
，解得，
，
，即直线与平面所成的角为.
9．（2022春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．
【答案】(1)证明过程见解析(2)
【解析】（1）因为平面，AB平面ABCD，
所以PA⊥AB，
因为，
所以⊥AD，
因为PAAD=A，平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
因为CFAB，所以CF⊥平面PAD，
因为CF平面CFG，
所以平面CFG⊥平面PAD；
（2）平面，AD，AC平面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AC，
因为，，
由勾股定理得：，则∠ADB=30°，
同理可得，∠CDB=30°，
故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，，
故，，，
过点B作BE⊥PC于点E，连接DE，
在△BCP中，由余弦定理得：，
则，，
在△CDP中，由余弦定理得：，
在△CDE中，，
因为，所以DE⊥PC，
所以∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，
由余弦定理得：，
1．（2022·高一课时练习）如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_________．
2．（2022春·全国·高一期末）如图是一个正方体的表面展开图，A、B、D均为棱的中点，C为顶点，在该正方体中，异面直线AB和CD所成角的余弦值为______．
3．（2022·天津）如图，已知边长为2的正方体，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值为___________.
4．（2022·高一课时练习）如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角 ．
5．（2022云南）如图，长方体中，，，，则
（1）点到平面的距离为________；
（2）直线到平面的距离为________；
（3）平面与平面之间的距离为________.
6．（2022甘肃）在长方体中，E，F，G，H分别为，，，的中点，，则平面ABCD与平面EFGH的距离为________.
7．（2022辽宁）在长方体中，，，，则直线BC到面的距离为________；直线到面的距离为________；面与面的距离为________.
8．（2022河南安阳·高一安阳一中校考期末）如图，已知，四边形ABCD为长方形，平面PDC⊥平面ABCD，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3．
(1)证明：BC⊥PD；
(2)证明：求点C到平面PDA的距离．
9．（2022·高一课前预习）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.
10．（2022·高一课时练习）如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小.
11．（2022河北唐山）如图，在正三棱柱（侧棱垂直底面，底面为正三角形）中，各棱长均相等，D是BC的中点，
(1)求证：
(2)求证：平面AC1D
(3)求异面直线与所成角余弦值．
12．（2022春·黑龙江·高一哈九中校考期中）如图，矩形中，，，将沿折起，使得点到达点的位置，.
(1)证明：平面平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
13．（2022·江苏）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，AB＝AD＝2，AA1＝3.
(1)证明：EF∥平面A1ADD1；
(2)求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．
14．（2022·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为2．
(1)求直线和平面ABCD所成角的大小；
(2)求直线和平面ABCD所成角的正切值．
15．（2022·高一课时练习）如图，已知长方体的对角线与侧棱所成的角为45°，且，求与侧面所成角的大小．
16．（2022春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）如图所示，已知菱形和矩形所在平面互相垂直，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)设中点为，求直线与底面所成角的余弦值.
17．（2022春·新疆·高一兵团第一师高级中学校考期末）如图，在正方体中，分别是， 的中点，
(1)求证∥平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
18．（2021秋·甘肃临夏·高一临夏中学校考期末）如图，在三棱柱中，平面，E，F分别为，的中点，D为上的点，且．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若三棱柱所有棱长都为a，求二面角的平面角的正切值．
19．（2022春·天津·高一校联考期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交PB于点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：平面；
(3)求平面与平面的夹角的大小.
20．（2022·高一单元测试）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，E为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值．
1．（2022春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）正方体的棱长为2，则直线与平面的距离是__．
2．（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为2，，E为的中点，则到平面EAC的距离为________．
3．（2022·高一单元测试）如图，正三棱柱中，，，N为AB的中点.
(1)求证：平面；
(2)求A到平面的距离.
4．（2021·高一课时练习）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面之间的距离.
5．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)求二面角A﹣BC﹣P的大小；
(4)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
6．（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD＝BC＝1，二面角P－CD－A为直二面角．
(1)若E为线段PC的中点，求证：DE⊥PB；
(2)若PC＝，求PC与平面PAB所成角的正弦值．
7．（2022·高一单元测试）如图①，在梯形中，，，如图②，将沿边翻折至，使得平面平面，过点作一平面与垂直，分别交于点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
8．（2022春·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角.
9．（2022春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．
8.6.2 空间角与空间距离（精练）
1．（2022·高一课时练习）如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_________．
【答案】
【解析】
如图，连接，，，
因为，，，分别为，，，的中点，所以∥，∥，为异面直线与所成角或其补角，
因为为正方体，所以三角形为正三角形，所以.
故答案为：.
2．（2022春·全国·高一期末）如图是一个正方体的表面展开图，A、B、D均为棱的中点，C为顶点，在该正方体中，异面直线AB和CD所成角的余弦值为______．
【答案】
【解析】将正方体的表面展开图还原成正方体，如图：
连接、，因为A、B均为棱的中点，所以
所以是异面直线AB和CD所成角（或补角），
设正方体的棱长为，在中，，,
故答案为：.
3．（2022·天津）如图，已知边长为2的正方体，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值为___________.
【答案】
【解析】
连接，交与，所以，连接，
因为平面，平面，
所以，又，所以，且，
平面，所以平面，
所以为与平面所成角，
在直角三角形中，，，
所以.
故答案为：.
4．（2022·高一课时练习）如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角 ．
【答案】
【解析】长方体中，，，
，，，，
由条件，，，
又与平面所成的角为，因此，
，与平面所成的角为.
5．（2022云南）如图，长方体中，，，，则
（1）点到平面的距离为________；
（2）直线到平面的距离为________；
（3）平面与平面之间的距离为________.
【答案】
【解析】（1）因为在长方体中，，，
又，平面，平面，
所以平面，因此点到平面的距离为；
（2）因为在长方体中，，，
又，平面，平面，
所以平面，又，
所以为直线与平面的公垂线，
因此直线到平面的距离为；
（3）因为在长方体中，侧棱和底面垂直，
即平面，平面，
所以平面与平面之间的距离为；
故答案为：；；.
6．（2022甘肃）在长方体中，E，F，G，H分别为，，，的中点，，则平面ABCD与平面EFGH的距离为________.
【答案】2
【解析】如图
平面A BCD平面EFGH又平面.
平面ABCD与平面EFGH的距离为.故答案为：2
7．（2022辽宁）在长方体中，，，，则直线BC到面的距离为________；直线到面的距离为________；面与面的距离为________.
【答案】 5 4 3
【解析】如图
直线BC到面的距离为；
直线到面的距离为；
面到面的距离为.
故答案为：5； 4； 3.
8．（2022河南安阳·高一安阳一中校考期末）如图，已知，四边形ABCD为长方形，平面PDC⊥平面ABCD，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3．
(1)证明：BC⊥PD；
(2)证明：求点C到平面PDA的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】（1）∵四边形ABCD是长方形，∴BC⊥CD，
∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，
∴BC⊥平面PDC，
∵平面PDC，
∴BC⊥PD；
（2）取CD的中点E，连接AE和PE，
∵PD＝PC，∴PE⊥CD，
在Rt△PED中，．
∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE平面PDC，
∴PE⊥平面ABCD，
由(1)知：BC⊥平面PDC，
∵四边形ABCD是长方形，∴BC∥AD，
∴AD⊥平面PDC，
∵平面PDC，∴AD⊥PD，
设点C到平面PDA的距离为h．
连接AC，由得，，
∴点C到平面PDA的距离是．
9．（2022·高一课前预习）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.
【答案】(1)60°(2)90°
【解析】（1）如图所示，连接AC，AB1.
由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，
∴ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.
在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.
（2）如图所示，连接BD.由（1）知ACA1C1，
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.
∵EF是△ABD的中位线，∴EFBD.
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，
∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.
10．（2022·高一课时练习）如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小.
【答案】60°
【解析】
如图，取AC的中点G，连接EG，FG.
因为E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
所以GF∥AD，且GF＝AD，EG∥BC，且EG＝BC，
则∠EGF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角.
因为AD＝BC＝2，所以EG＝GF＝1.
单独看△GEF的平面图，可得
在等腰△GEF中，过点G作GH⊥EF于点H，
在Rt△GHE中，EG＝1，EH＝EF＝，则sin∠EGH＝，
所以∠EGH＝60°，则∠EGF＝2∠EGH＝120°.
所以异面直线AD，BC所成的角为∠EGF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60°.
11．（2022河北唐山）如图，在正三棱柱（侧棱垂直底面，底面为正三角形）中，各棱长均相等，D是BC的中点，
(1)求证：
(2)求证：平面AC1D
(3)求异面直线与所成角余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【解析】（1），D是BC的中点，，
又因为正三棱柱中
平面ABC，平面ABC
，平面，
平面，
又平面，
（2）
连接交于，连接则O为中点，
，又平面，
平面，所以平面.
（3）由（2）知，
（或其补角）为异面直线与所成角，
设，
中，，，
则由余弦定理得，
所以异面直线与所成角余弦值为．
12．（2022春·黑龙江·高一哈九中校考期中）如图，矩形中，，，将沿折起，使得点到达点的位置，.
(1)证明：平面平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】（1）证明：因为，
所以，
所以，
因为平面，
所以平面
因为平面，
所以平面平面.
（2）由（1）得平面，
因为在中，,即
所以，
根据题意可做长方体如图
因为由图知，
所以异面直线与所成角等于直线与所成角，连接,
因为,
所以，
设直线与所成角为，
所以在中，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
13．（2022·江苏）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，AB＝AD＝2，AA1＝3.
(1)证明：EF∥平面A1ADD1；
(2)求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】（1）如图，连接BC1，AD1，由E，F分别为BC，CC1的中点，可得EF∥BC1，
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
AB∥C1D1，AB＝C1D1，
因此四边形ABC1D1为平行四边形，
所以BC1∥AD1，
所以EF∥AD1，
又EF⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，
所以EF∥平面A1ADD1；
（2）
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
因为C1D1⊥平面A1ADD1，
所以AC1在平面A1ADD1中的射影为AD1，
所以∠C1AD1为直线AC1与平面A1ADD1所成的角，
由题意知AC1＝，
在Rt△AD1C1中，sin∠C1AD1＝＝＝，
即直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值为.
14．（2022·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为2．
(1)求直线和平面ABCD所成角的大小；
(2)求直线和平面ABCD所成角的正切值．
【答案】(1)．(2)．
【解析】（1）因为平面ABCD，∴直线在平面ABCD上的射影为直线AB，
∴就是直线和平面ABCD所成的角．
∵，∴直线和平面ABCD所成角的大小为．
（2）因为平面ABCD，∴直线在平面ABCD上的射影为直线DB，
∴就是直线和平面ABCD所成的角．
15．（2022·高一课时练习）如图，已知长方体的对角线与侧棱所成的角为45°，且，求与侧面所成角的大小．
【答案】30°．
【解析】连接AC，，
∵长方体的对角线与侧棱所成的角为45°，且，，所以是对角线与侧棱所成的角（或其补角），
平面，平面，则，同理，
∴，
∴．∵平面，
∴是直线与平面所成的角．
∵，，
∴，∴．
∴与侧面所成角的大小为30°．
16．（2022春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）如图所示，已知菱形和矩形所在平面互相垂直，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)设中点为，求直线与底面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证：平面平面
平面面
因为四边形为菱形,平面， 平面
平面 平面面
(2)因为平面平面，平面面；
四边形是矩形，所以底面
在中，
，
即为直线与平面所成角，在中,
17．（2022春·新疆·高一兵团第一师高级中学校考期末）如图，在正方体中，分别是， 的中点，
(1)求证∥平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）
取中点，连接如图，则由中位线的性质可得，且平面，平面，故平面.
又，，故四边形为平行四边形，故，同理可得平面.
又，平面，故平面平面.
又平面，故平面.
（2）
取中点，中点，连接如图.
易得互相平行，又，故四边形为平行四边形，故.又平面，故平面，故与平面所成角即与平面所成角.
设，，即与平面所成角的正弦值为
18．（2021秋·甘肃临夏·高一临夏中学校考期末）如图，在三棱柱中，平面，E，F分别为，的中点，D为上的点，且．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若三棱柱所有棱长都为a，求二面角的平面角的正切值．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【解析】（1）证明：因为E，F分别为，的中点，
所以，
又平面ABC，平面ABC，
故平面ABC；
（2）证明：∵平面，平面，
∴，
∵，，∴平面，
又平面，
∴平面平面；
（3）如图所示：过点D作垂线，垂足为H，连接，D为的中点，
∵，，，
∴平面，，
则是二面角的平面角，
∴，，，
故二面角的平面角的正切值为．
19．（2022春·天津·高一校联考期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交PB于点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：平面；
(3)求平面与平面的夹角的大小.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【解析】（1）取中点，连接，
在中，分别为中点，∴为的中位线，∴，且，
又∵，∴
∵底面，∴底面，∴；
（2）∵底面，且面∴，
∵底面是正方形，∴，
又,面,∴面,
又面∴
∵，且，∴是等腰直角三角形，又是斜边的中线，∴，
又,面,∴面，
∵面∴,
∵,又,面∴平面；
（3）由（2）可知，故是平面与平面的夹角，
∵∴，在中，，，，
又面，∵面∴,
在中，，∴，故平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
20．（2022·高一单元测试）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，E为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)．
【解析】（1）证明：如图，连接，交于于O点，连接，易知O为中点．
∵E为的中点，∴．∵平面平面，
∴平面．
（2）因为E是的中点，所以．
∵，知为等边三角形，
又因为知，，
∴，
又，即，
故．
∵底面是菱形，∴，
又O为等边三角形的边的中点，故，
而平面，
∴平面．
∴．
（3）如图，过点A作，垂足为M，连接．
∵，O为中点，∴．
又，∴．
∴，故为二面角的平面角．
∵，
由，得．
∵，
在中，，
∴二面角的余弦值为．
1．（2022春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）正方体的棱长为2，则直线与平面的距离是__．
【答案】
【解析】因为，平面，平面，
所以平面，
故点到平面的距离即为直线与平面的距离，
连接交于点，
因为四边形为正方形，所以⊥BD，
又因为⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以⊥BD，
因为，平面，
所以BD⊥平面，故BO即为直线与平面的距离，
因为正方体的棱长为2，
所以，
故直线与平面的距离为.
故答案为：
2．（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为2，，E为的中点，则到平面EAC的距离为________．
【答案】
【解析】连接，
因为∥，平面，平面，
所以∥平面EAC，
所以到平面EAC的距离等于到平面EAC的距离，设到平面EAC的距离为，
因为正四棱柱的底面边长为2，，
所以，
因为E为的中点，所以，
所以，
所以，
,
因为，
所以,
所以，解得，
故答案为：.
3．（2022·高一单元测试）如图，正三棱柱中，，，N为AB的中点.
(1)求证：平面；
(2)求A到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）连接交于点O,连接,
在正三棱柱中四边形为平行四边形，
故O为的中点，又N为AB的中点，则,
又平面，平面，
所以平面；
（2）设点A到平面的距离为d,
在正三棱柱中平面,
则为三棱锥的高，则，
因为平面,所以，则，
又平面,平面,故 ,
又平面，
所以平面, 平面，所以,
正三棱柱中，，则 ,
故，
故由，可得，解得，
故A到平面的距离为.
4．（2021·高一课时练习）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面之间的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：∵正方体中E，F分别为，的中点，
∴∥，=
∴四边形是平行四边形.
∴.
又平面，平，
∴平面.
∵∥，=
∴四边形是平行四边形.
∴.
又平向，平面，
∴AE∥平面.
又∵，
∴平面平面.
（2）平面与平面之间的距离也就是点B到面的距离，设为h，
∵正方体的棱长为2，
∴，，
∴的面积
∴三棱锥的体积，.
又三棱锥的体积.
由可得，
解得.
∴平面与平面之间的距离为.
5．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)求二面角A﹣BC﹣P的大小；
(4)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)45°(4)能，证明见解析
【解析】(1)在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD．
(2)连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD边的中点，得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD，
PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，PG∩BG＝G，
所以AD⊥平面PGB，因为PB⊂平面PGB．所以AD⊥PB．
(3)由（2）可得PB⊥AD，BG⊥AD，
∵AD∥BC，所以PB⊥BC，BG⊥BC，所以∠PBG为二面角A﹣BC﹣P的平面角
因为PG＝BG＝，所以∠PBG＝45°；
(4)当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下：
取PC 的中点F，连接DE、EF、DF，
在△PBC中，FE∥PB，FE平面PGB，PB平面PGB
∴FE∥平面PGB
在菱形ABCD中，DG∥BE且DGBE
BEDG为平行四边形，则DE∥BG，DE平面PGB，BG平面PGB
∴DE∥平面PGB
EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB，
因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG，
又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G，
∴PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD．
6．（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD＝BC＝1，二面角P－CD－A为直二面角．
(1)若E为线段PC的中点，求证：DE⊥PB；
(2)若PC＝，求PC与平面PAB所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2).
【解析】（1）证明：因为PD＝DC＝1，且E为PC的中点，
所以DE⊥PC，
又因为二面角P－CD－A为直二面角，
所以平面PCD⊥平面ABCD，
因为BC⊥CD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，平面ABCD，
所以BC⊥平面PCD，
因为平面PCD，
所以BC⊥DE.
因为BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，BC∩PC＝C，
所以DE⊥平面PBC，
又因为PB⊂平面PBC，
所以DE⊥PB.
（2）解：在中，，，
由余弦定理可得，
因为
所以∠PDC＝120°，
过点P作PH⊥CD的延长线于H，如图，
因为二面角P－CD－A为直二面角，平面平面，平面，
所以平面，
在中，，
过H点作HG∥DA，且HG与BA的延长线交于G点．
因为
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以
在中，，
所以，
设点C到平面PAB的距离为h，则
，
解得，
设PC与平面PAB所成的角为θ，
，
即PC与平面PAB所成角的正弦值为.
7．（2022·高一单元测试）如图①，在梯形中，，，如图②，将沿边翻折至，使得平面平面，过点作一平面与垂直，分别交于点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）如图②，因为平面，且平面，
所以
又因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为，且平面，
所以平面
（2）由（1）知平面平面，
所以，
在直角三角形中，，
由等面积代换得，，
即，
又因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面
又因为平面，
所以
在直角三角形中，，
由等面积代换得，，
即，
又在直角三角形中，，
设点到平面的距离为，
在三棱锥中，由等体积代换得，，
即，
也即，
即所求直线BE与平面所成角的正弦值为
8．（2022春·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角.
【答案】(1)证明见解析(2).
【解析】（1）因为平面平面，且，即，
且平面，平面平面，所以平面
又因为平面，所以
因为为菱形，所以，且，平面，
所以平面，又因为平面，所以平面平面
（2）
设.
平面平面，平面平面平面.
连接，则就是直线与平面所成的角.
由题意得，为等边三角形.
过作于，则为的中点，
平面，又平面.
过作于，连接，则就是二面角的平面角.
易得.
，解得，
，
，即直线与平面所成的角为.
9．（2022春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．
【答案】(1)证明过程见解析(2)
【解析】（1）因为平面，AB平面ABCD，
所以PA⊥AB，
因为，
所以⊥AD，
因为PAAD=A，平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
因为CFAB，所以CF⊥平面PAD，
因为CF平面CFG，
所以平面CFG⊥平面PAD；
（2）平面，AD，AC平面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AC，
因为，，
由勾股定理得：，则∠ADB=30°，
同理可得，∠CDB=30°，
故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，，
故，，，
过点B作BE⊥PC于点E，连接DE，
在△BCP中，由余弦定理得：，
则，，
在△CDP中，由余弦定理得：，
在△CDE中，，
因为，所以DE⊥PC，
所以∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，
由余弦定理得：，
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