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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直一课一练
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直一课一练，共40页。试卷主要包含了如图，在正方体中，求证等内容，欢迎下载使用。
1．（2022陕西）如图，已知正方体的棱长为1，与交于点，求证：平面
2．（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线.求证：
(1)；
(2)平面.
3．（2022·江苏）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面为的中点．
(1)求证：；
(2)设是的中点，求证：平面．
4．（2022·高一单元测试）如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，．
(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面；
5．（2022·高一课时练习）如图，已知三棱锥中，，侧棱底面，点在棱和上的射影分别是点、，求证：．
6．（2022·高一课时练习）如图，在正方体中，求证：，．
7（2022·高一课时练习）如图，已知平面PBC，，M是BC的中点，求证：．
8．（2022·高一课时练习）在正三棱柱中，如图所示，，G，E，F分别是，AB，BC的中点，求证：直线直线GB．
9．（2022春·广东揭阳·高一统考期末）圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，，，.
(1)证明：面.
(2)求圆柱的体积.
10．（2022·高一课时练习）在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．
11．（2022·高一课时练习）如图，已知正方体A1C．
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．
12．（2021春·福建厦门·高一厦门双十中学校考期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．
（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；
（2）求证：CE∥平面PAD.
13．（2022春·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点E为PC的中点.
(1)求证：平面BDE；
(2)求证：PC⊥BD.
14（2022·全国·高一专题练习）如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点，求证：平面
15．（2022·高一单元测试）如图所示，M是菱形ABCD所在平面外一点，．求证：AC 垂直于平面BDM．
16．（2022·高一单元测试）如图，是正方形所在平面外一点，，且平面平面，，分别是线段，的中点．
(1)求证：
(2)求证：平面
17．（2021秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点.
(1)证明： 平面；
(2)若四边形是正方形，，求证：平面平面.
18．（2022春·福建泉州·高一校考期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形.
(1)证明： 平面；
(2)证明：平面平面．
19．（2022·高一单元测试）如图所示，在矩形中，，为的中点.将沿折起，使得平面平面.点是线段的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求证：
20．（2022春·云南文山·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面分别为的中点..
(1)求证：直线平面；
(2)求三棱锥的体积.
1（2021秋·河南安阳·高一安阳一中校考期末）如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是( )
①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD.
A．①②B．②③
C．①③D．①②③
2．（2022春·贵州六盘水·高一校考阶段练习）在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
3．（2022黑龙江）（多选）如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 B． C．平面 D．平面
4．（2021秋·河北沧州·高三沧县中学校考阶段练习）（多选）设m、n、l表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．，则B．，则
C．，则D．，则
5（2023·江苏）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．
(1)求证：直线平面ADF；
(2)求证：直线平面ADF；
(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
6．（2022春·河南开封·高一统考期中）在条件①；②；③平面平面中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答．
问题：如图，在直三棱柱中，，且________，求证：．
7（2022辽宁）如图，在中，，，．分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．
8．（2022·高一单元测试）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求线段BC的长度．
9．（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，．点为棱的中点，点为棱上的一点，且，平面平面．
(1)证明：；
(2)证明：平面．
8.6.1 空间直线、平面的垂直（精练）
1．（2022陕西）如图，已知正方体的棱长为1，与交于点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】因为四边形为正方形，．
在正方体中，易知平面，
又平面，．
又，平面，
平面．
2．（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线.求证：
(1)；
(2)平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）在正方体中，平面，
∵平面，∴，
又四边形为正方形，∴，
又，平面，∴平面，
又平面，∴.
（2）与（1）中证明同理可证，又，平面
∴平面．
3．（2022·江苏）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面为的中点．
(1)求证：；
(2)设是的中点，求证：平面．
【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析
【解析】（1）因为底面为菱形，，且为的中点，所以．
又，所以．
又底面底面，所以．
因为平面平面，所以平面，
平面，所以．
（2）取的中点，连接，
是中点，，，
，平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
又平面平面，
平面平面，
平面，平面．
4．（2022·高一单元测试）如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，．
(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）连接与，两线交于点，连接．
在中，∵，分别为，的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面．
（2）∵侧棱底面，平面，∴，
又∵为棱的中点，，∴．
∵，，平面，∴平面，
又平面，∴
∵，∴．又∵，
∴在和中，，
∴，
即，∴
∵，，平面，∴平面．
5．（2022·高一课时练习）如图，已知三棱锥中，，侧棱底面，点在棱和上的射影分别是点、，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】由题意，平面，平面，故.
又，，平面，则平面
又平面，故，又，，平面，故平面.
又平面，故，又，，平面，故平面.
因为平面，故，即得证.
6．（2022·高一课时练习）如图，在正方体中，求证：，．
【答案】证明见解析
【解析】如图，在正方体中，平面，平面，∴，
又，，平面，∴平面，
∵平面，∴；
同理，平面，平面，∴，
又，，平面，∴平面，
∵平面，∴.
7（2022·高一课时练习）如图，已知平面PBC，，M是BC的中点，求证：．
【答案】证明见解析.
【解析】∵，M是BC的中点，
∴．
又平面PBC，平面PBC，则，
∵，面，
∴面，而面，
∴．
8．（2022·高一课时练习）在正三棱柱中，如图所示，，G，E，F分别是，AB，BC的中点，求证：直线直线GB．
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接．在三角形中，G是的中点，所以．
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以⊥，
又因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，所以
所以直线直线GB．
9．（2022春·广东揭阳·高一统考期末）圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，，，.
(1)证明：面.
(2)求圆柱的体积.
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】（1）
证明：连接，，，
可得平面，
∵平面，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）
解：连接，
∵，∴，
∵垂直上底面，∴，
∵，平面，，
∴平面，
又平面，
∴，
∵，∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴圆柱的体积为.
10．（2022·高一课时练习）在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为PA⊥平面ABCD，
CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD．
又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．
因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．
又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC．
因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AE⊥平面PCD．
因为l⊥平面PCD，
所以l∥AE．
11．（2022·高一课时练习）如图，已知正方体A1C．
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）如下图，连接A1C1．
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1．因为四边形A1B1C1D1是正方形，
所以A1C1⊥B1D1．又因为CC1∩A1C1＝C1，
所以B1D1⊥平面A1C1C．又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．
（2）如上图，连接B1A，AD1．因为B1C1= AD，B1C1∥ AD
所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1．
又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．
同理可得A1C⊥AB1．又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．
故答案为：A1C⊥B1D1；MN∥A1C.
12．（2021春·福建厦门·高一厦门双十中学校考期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．
（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；
（2）求证：CE∥平面PAD.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）取BD的中点O，连接CO，PO，
因为CD＝CB，
所以△CBD为等腰三角形，
所以BD⊥CO
因为PB＝PD，
所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO
又PO∩CO＝O，PO，CO⊂平面PCO，
所以BD⊥平面PCO
因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD；
（2）由E为PB的中点，连接EO，则EO∥PD，
又EO⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
所以EO∥平面PAD.
由∠ADB＝90°及BD⊥CO，可得CO∥AD，
又CO⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以CO∥平面PAD.
又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面COE，
所以平面CEO∥平面PAD，
而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD．
13．（2022春·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点E为PC的中点.
(1)求证：平面BDE；
(2)求证：PC⊥BD.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）证明：连接AC交BD于O点，连接EO，
如图所示：
∵底面ABCD是菱形，∴O为AC的中点
∵点E为PC的中点，∴
∵平面BDE，且平面BDE
∴平面BDE
（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD，
∴PA⊥BD
∵，平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，又平面PAC，
∴BD⊥PC.
14（2022·全国·高一专题练习）如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：由且，
可得，所以，
又由为的中点，所以，
因为为的中点，同理可得，
又因为且平面，所以平面，
因为分别为的中点，所以，所以平面．
15．（2022·高一单元测试）如图所示，M是菱形ABCD所在平面外一点，．求证：AC 垂直于平面BDM．
【答案】证明见解析.
【解析】设AC交BD于点O，连接MO,
因为 ABCD 是菱形，所以,
因为，且，
所以，
因为MO、BD 是平面 BDM 上的两条相交直线，
所以 AC 垂直于平面 BDM．
16．（2022·高一单元测试）如图，是正方形所在平面外一点，，且平面平面，，分别是线段，的中点．
(1)求证：
(2)求证：平面
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）因为正方形，
又平面平面
平面平面，
平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）
取中点，连接，，
在中，因为，分别是，的中点，
所以，
因为是正方形边中点，
所以，
所以，
即四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
故EF平面
17．（2021秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点.
(1)证明： 平面；
(2)若四边形是正方形，，求证：平面平面.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）易知分别为的中点，
是的中位线， ，
平面平面，
平面；
（2）底面 平面，
又平面，且，
平面，
又 平面，
四边形是正方形，，
平面，
平面，
又平面平面平面.
18．（2022春·福建泉州·高一校考期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形.
(1)证明： 平面；
(2)证明：平面平面．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【解析】（1）因为底面是正方形，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为底面是正方形，所以．
因为 底面，在平面内，所以 ．
又，、在平面内，所以平面．
又因为平面，
所以平面平面．
19．（2022·高一单元测试）如图所示，在矩形中，，为的中点.将沿折起，使得平面平面.点是线段的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求证：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）证明：在矩形中，，为的中点，∴，是的中点，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
平面，∴平面平面；
（2）证明：在矩形中，，为的中点，∴，则，∴，
由（1）知，平面，∵平面，∴，
∵，平面，平面，∴平面，
又∵平面，∴.
20．（2022春·云南文山·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面分别为的中点..
(1)求证：直线平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）因为为的中点，，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形，
因为，所以平行四边形是矩形，所以，
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为平面，所以平面.
（2）因为，
所以，
由平面为中点，所以点到平面的距离等于，
所以.
1（2021秋·河南安阳·高一安阳一中校考期末）如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是( )
①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD.
A．①②B．②③
C．①③D．①②③
【答案】D
【解析】∵平面平面BCD，平面平面，，CD平面BCD,
∴平面ABD，又∵CD平面ACD，
∴平面平面ABD，故①正确；
∵平面平面ABD，平面平面，，AB平面ABD，
∴平面ACD，∵AC平面ACD，∴，故②正确；
∵平面ACD，AB平面ABC，∴平面平面ACD，故③正确；
故选：D
2．（2022春·贵州六盘水·高一校考阶段练习）在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【答案】D
【解析】对于A中，由已知底面，且底面为矩形，
所以，且,平面，
所以平面，又由平面，所以平面平面，所以A正确；
对于B中，由已知底面，且底面为矩形，
所以，且,平面，
所以平面，又由平面，所以平面平面，所以B正确；
对于C中，由已知底面，且底面为矩形，
所以，且,平面，
所以平面，又由平面，所以平面平面，
所以C正确；
对于D中，设为平面与平面的交线，因为，平面，
平面，所以平面，因为为平面与平面的交线，
所以，又，所以，因为平面，平面，
所以，所以，又底面，所以，所以，
所以为平面与平面的二面角，若平面平面，
则，而底面，所以，此时三角形内角和大于，所以平面与平面不垂直，所以D错误.
故选：D.
3．（2022黑龙江）（多选）如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 B． C．平面 D．平面
【答案】ABC
【解析】平面，平面
，又，平面且
平面，故A正确
由平面，平面
得
又，是的中点，
又平面，
平面，平面
，故B,C正确
由平面，平面
得
因为与不平行
因此与不垂直
从而不与平面垂直，故D错误
故选：ABC.
4．（2021秋·河北沧州·高三沧县中学校考阶段练习）（多选）设m、n、l表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．，则B．，则
C．，则D．，则
【答案】ACD
【解析】选项A，根据空间中直线平行的传递性，可知A正确；
选项B，若，则m与l可能相交，也可能异面，也可能平行，故B错；
选项C，根据空间中平面平行的传递性，可知C正确；
选项D，两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故D正确；
故选：ACD．
5（2023·江苏）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．
(1)求证：直线平面ADF；
(2)求证：直线平面ADF；
(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)答案见解析
【解析】（1）证明：在直角梯形中，，，将直角梯形绕边旋转至，
所以，
又，平面，
所以平面；
（2）
证明：依题意可得且，
所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面；
（3）
证明：因为平面平面，，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，
过点作，交于点，
若选①，，，所以，
所以，此时，
所以
如图过点作交的延长线于点，
因为平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面，显然平面与平面不垂直；
若选②：，则，所以，，
所以，即，
又，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面；
若选③：，又，，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面；
6．（2022春·河南开封·高一统考期中）在条件①；②；③平面平面中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答．
问题：如图，在直三棱柱中，，且________，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】（情况一）补充条件①．
证明：在直棱柱中，平面，
因为平面，所以．
因为，平面，平面
所以平面．
因为平面，所以，
因为，所以四边形为菱形，所以．
因为，平面，平面
所以平面．
因为平面，所以．
（情况二）补充条件②．
证明：设，连接．
因为，M为的中点，所以．
因为，所以四边形为菱形，所以．
因为平面平面，
所以平面．
因为平面，所以，
（情况三）补充条件③平面平面．
证明：在棱柱中，
因为，所以四边形为菱形，所以．
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面．
因为平面，所以．
7（2022辽宁）如图，在中，，，．分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)当为中点时，的长度最小，最小值为
【解析】（1），平面，平面，平面.
（2），，，，又，，
，，平面，平面.
（3）设，则，
由（2）知：均为直角三角形．
，
即，
当时，取得最小值；
当为中点时，的长度最小，最小值为．
8．（2022·高一单元测试）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求线段BC的长度．
【答案】(1)到平面的距离为
(2)线段BC的长为2
【解析】（1）解：由直三棱柱的体积为4，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得．
即到平面的距离为；
（2）解：连接交于点
由直三棱柱，
故四边形为正方形，，
又平面平面，平面平面，
平面，，
由直三棱柱知平面，
，又，
平面，，
，，又，
解得，
则线段BC的长为2.
9．（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，．点为棱的中点，点为棱上的一点，且，平面平面．
(1)证明：；
(2)证明：平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）
证明：因为四边形为等腰梯形，则，
因为，则，所以，，故，
，即，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，.
（2）
证明：取的中点，连接，取的中点，连接、，
因为，，则，，
因为，且为的中点，所以，且，
因为，为的中点，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
、分别为、的中点，故，
平面，平面，平面.
，、平面，平面平面，
平面，平面.
1．（2022陕西）如图，已知正方体的棱长为1，与交于点，求证：平面
2．（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线.求证：
(1)；
(2)平面.
3．（2022·江苏）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面为的中点．
(1)求证：；
(2)设是的中点，求证：平面．
4．（2022·高一单元测试）如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，．
(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面；
5．（2022·高一课时练习）如图，已知三棱锥中，，侧棱底面，点在棱和上的射影分别是点、，求证：．
6．（2022·高一课时练习）如图，在正方体中，求证：，．
7（2022·高一课时练习）如图，已知平面PBC，，M是BC的中点，求证：．
8．（2022·高一课时练习）在正三棱柱中，如图所示，，G，E，F分别是，AB，BC的中点，求证：直线直线GB．
9．（2022春·广东揭阳·高一统考期末）圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，，，.
(1)证明：面.
(2)求圆柱的体积.
10．（2022·高一课时练习）在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．
11．（2022·高一课时练习）如图，已知正方体A1C．
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．
12．（2021春·福建厦门·高一厦门双十中学校考期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．
（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；
（2）求证：CE∥平面PAD.
13．（2022春·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点E为PC的中点.
(1)求证：平面BDE；
(2)求证：PC⊥BD.
14（2022·全国·高一专题练习）如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点，求证：平面
15．（2022·高一单元测试）如图所示，M是菱形ABCD所在平面外一点，．求证：AC 垂直于平面BDM．
16．（2022·高一单元测试）如图，是正方形所在平面外一点，，且平面平面，，分别是线段，的中点．
(1)求证：
(2)求证：平面
17．（2021秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点.
(1)证明： 平面；
(2)若四边形是正方形，，求证：平面平面.
18．（2022春·福建泉州·高一校考期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形.
(1)证明： 平面；
(2)证明：平面平面．
19．（2022·高一单元测试）如图所示，在矩形中，，为的中点.将沿折起，使得平面平面.点是线段的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求证：
20．（2022春·云南文山·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面分别为的中点..
(1)求证：直线平面；
(2)求三棱锥的体积.
1（2021秋·河南安阳·高一安阳一中校考期末）如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是( )
①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD.
A．①②B．②③
C．①③D．①②③
2．（2022春·贵州六盘水·高一校考阶段练习）在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
3．（2022黑龙江）（多选）如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 B． C．平面 D．平面
4．（2021秋·河北沧州·高三沧县中学校考阶段练习）（多选）设m、n、l表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．，则B．，则
C．，则D．，则
5（2023·江苏）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．
(1)求证：直线平面ADF；
(2)求证：直线平面ADF；
(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
6．（2022春·河南开封·高一统考期中）在条件①；②；③平面平面中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答．
问题：如图，在直三棱柱中，，且________，求证：．
7（2022辽宁）如图，在中，，，．分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．
8．（2022·高一单元测试）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求线段BC的长度．
9．（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，．点为棱的中点，点为棱上的一点，且，平面平面．
(1)证明：；
(2)证明：平面．
8.6.1 空间直线、平面的垂直（精练）
1．（2022陕西）如图，已知正方体的棱长为1，与交于点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】因为四边形为正方形，．
在正方体中，易知平面，
又平面，．
又，平面，
平面．
2．（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线.求证：
(1)；
(2)平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）在正方体中，平面，
∵平面，∴，
又四边形为正方形，∴，
又，平面，∴平面，
又平面，∴.
（2）与（1）中证明同理可证，又，平面
∴平面．
3．（2022·江苏）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面为的中点．
(1)求证：；
(2)设是的中点，求证：平面．
【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析
【解析】（1）因为底面为菱形，，且为的中点，所以．
又，所以．
又底面底面，所以．
因为平面平面，所以平面，
平面，所以．
（2）取的中点，连接，
是中点，，，
，平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
又平面平面，
平面平面，
平面，平面．
4．（2022·高一单元测试）如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，．
(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）连接与，两线交于点，连接．
在中，∵，分别为，的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面．
（2）∵侧棱底面，平面，∴，
又∵为棱的中点，，∴．
∵，，平面，∴平面，
又平面，∴
∵，∴．又∵，
∴在和中，，
∴，
即，∴
∵，，平面，∴平面．
5．（2022·高一课时练习）如图，已知三棱锥中，，侧棱底面，点在棱和上的射影分别是点、，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】由题意，平面，平面，故.
又，，平面，则平面
又平面，故，又，，平面，故平面.
又平面，故，又，，平面，故平面.
因为平面，故，即得证.
6．（2022·高一课时练习）如图，在正方体中，求证：，．
【答案】证明见解析
【解析】如图，在正方体中，平面，平面，∴，
又，，平面，∴平面，
∵平面，∴；
同理，平面，平面，∴，
又，，平面，∴平面，
∵平面，∴.
7（2022·高一课时练习）如图，已知平面PBC，，M是BC的中点，求证：．
【答案】证明见解析.
【解析】∵，M是BC的中点，
∴．
又平面PBC，平面PBC，则，
∵，面，
∴面，而面，
∴．
8．（2022·高一课时练习）在正三棱柱中，如图所示，，G，E，F分别是，AB，BC的中点，求证：直线直线GB．
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接．在三角形中，G是的中点，所以．
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以⊥，
又因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，所以
所以直线直线GB．
9．（2022春·广东揭阳·高一统考期末）圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，，，.
(1)证明：面.
(2)求圆柱的体积.
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】（1）
证明：连接，，，
可得平面，
∵平面，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）
解：连接，
∵，∴，
∵垂直上底面，∴，
∵，平面，，
∴平面，
又平面，
∴，
∵，∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴圆柱的体积为.
10．（2022·高一课时练习）在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为PA⊥平面ABCD，
CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD．
又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．
因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．
又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC．
因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AE⊥平面PCD．
因为l⊥平面PCD，
所以l∥AE．
11．（2022·高一课时练习）如图，已知正方体A1C．
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）如下图，连接A1C1．
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1．因为四边形A1B1C1D1是正方形，
所以A1C1⊥B1D1．又因为CC1∩A1C1＝C1，
所以B1D1⊥平面A1C1C．又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．
（2）如上图，连接B1A，AD1．因为B1C1= AD，B1C1∥ AD
所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1．
又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．
同理可得A1C⊥AB1．又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．
故答案为：A1C⊥B1D1；MN∥A1C.
12．（2021春·福建厦门·高一厦门双十中学校考期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．
（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；
（2）求证：CE∥平面PAD.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）取BD的中点O，连接CO，PO，
因为CD＝CB，
所以△CBD为等腰三角形，
所以BD⊥CO
因为PB＝PD，
所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO
又PO∩CO＝O，PO，CO⊂平面PCO，
所以BD⊥平面PCO
因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD；
（2）由E为PB的中点，连接EO，则EO∥PD，
又EO⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
所以EO∥平面PAD.
由∠ADB＝90°及BD⊥CO，可得CO∥AD，
又CO⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以CO∥平面PAD.
又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面COE，
所以平面CEO∥平面PAD，
而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD．
13．（2022春·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点E为PC的中点.
(1)求证：平面BDE；
(2)求证：PC⊥BD.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）证明：连接AC交BD于O点，连接EO，
如图所示：
∵底面ABCD是菱形，∴O为AC的中点
∵点E为PC的中点，∴
∵平面BDE，且平面BDE
∴平面BDE
（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD，
∴PA⊥BD
∵，平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，又平面PAC，
∴BD⊥PC.
14（2022·全国·高一专题练习）如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：由且，
可得，所以，
又由为的中点，所以，
因为为的中点，同理可得，
又因为且平面，所以平面，
因为分别为的中点，所以，所以平面．
15．（2022·高一单元测试）如图所示，M是菱形ABCD所在平面外一点，．求证：AC 垂直于平面BDM．
【答案】证明见解析.
【解析】设AC交BD于点O，连接MO,
因为 ABCD 是菱形，所以,
因为，且，
所以，
因为MO、BD 是平面 BDM 上的两条相交直线，
所以 AC 垂直于平面 BDM．
16．（2022·高一单元测试）如图，是正方形所在平面外一点，，且平面平面，，分别是线段，的中点．
(1)求证：
(2)求证：平面
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）因为正方形，
又平面平面
平面平面，
平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）
取中点，连接，，
在中，因为，分别是，的中点，
所以，
因为是正方形边中点，
所以，
所以，
即四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
故EF平面
17．（2021秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点.
(1)证明： 平面；
(2)若四边形是正方形，，求证：平面平面.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）易知分别为的中点，
是的中位线， ，
平面平面，
平面；
（2）底面 平面，
又平面，且，
平面，
又 平面，
四边形是正方形，，
平面，
平面，
又平面平面平面.
18．（2022春·福建泉州·高一校考期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形.
(1)证明： 平面；
(2)证明：平面平面．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【解析】（1）因为底面是正方形，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为底面是正方形，所以．
因为 底面，在平面内，所以 ．
又，、在平面内，所以平面．
又因为平面，
所以平面平面．
19．（2022·高一单元测试）如图所示，在矩形中，，为的中点.将沿折起，使得平面平面.点是线段的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求证：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）证明：在矩形中，，为的中点，∴，是的中点，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
平面，∴平面平面；
（2）证明：在矩形中，，为的中点，∴，则，∴，
由（1）知，平面，∵平面，∴，
∵，平面，平面，∴平面，
又∵平面，∴.
20．（2022春·云南文山·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面分别为的中点..
(1)求证：直线平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）因为为的中点，，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形，
因为，所以平行四边形是矩形，所以，
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为平面，所以平面.
（2）因为，
所以，
由平面为中点，所以点到平面的距离等于，
所以.
1（2021秋·河南安阳·高一安阳一中校考期末）如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是( )
①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD.
A．①②B．②③
C．①③D．①②③
【答案】D
【解析】∵平面平面BCD，平面平面，，CD平面BCD,
∴平面ABD，又∵CD平面ACD，
∴平面平面ABD，故①正确；
∵平面平面ABD，平面平面，，AB平面ABD，
∴平面ACD，∵AC平面ACD，∴，故②正确；
∵平面ACD，AB平面ABC，∴平面平面ACD，故③正确；
故选：D
2．（2022春·贵州六盘水·高一校考阶段练习）在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【答案】D
【解析】对于A中，由已知底面，且底面为矩形，
所以，且,平面，
所以平面，又由平面，所以平面平面，所以A正确；
对于B中，由已知底面，且底面为矩形，
所以，且,平面，
所以平面，又由平面，所以平面平面，所以B正确；
对于C中，由已知底面，且底面为矩形，
所以，且,平面，
所以平面，又由平面，所以平面平面，
所以C正确；
对于D中，设为平面与平面的交线，因为，平面，
平面，所以平面，因为为平面与平面的交线，
所以，又，所以，因为平面，平面，
所以，所以，又底面，所以，所以，
所以为平面与平面的二面角，若平面平面，
则，而底面，所以，此时三角形内角和大于，所以平面与平面不垂直，所以D错误.
故选：D.
3．（2022黑龙江）（多选）如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 B． C．平面 D．平面
【答案】ABC
【解析】平面，平面
，又，平面且
平面，故A正确
由平面，平面
得
又，是的中点，
又平面，
平面，平面
，故B,C正确
由平面，平面
得
因为与不平行
因此与不垂直
从而不与平面垂直，故D错误
故选：ABC.
4．（2021秋·河北沧州·高三沧县中学校考阶段练习）（多选）设m、n、l表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．，则B．，则
C．，则D．，则
【答案】ACD
【解析】选项A，根据空间中直线平行的传递性，可知A正确；
选项B，若，则m与l可能相交，也可能异面，也可能平行，故B错；
选项C，根据空间中平面平行的传递性，可知C正确；
选项D，两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故D正确；
故选：ACD．
5（2023·江苏）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．
(1)求证：直线平面ADF；
(2)求证：直线平面ADF；
(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)答案见解析
【解析】（1）证明：在直角梯形中，，，将直角梯形绕边旋转至，
所以，
又，平面，
所以平面；
（2）
证明：依题意可得且，
所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面；
（3）
证明：因为平面平面，，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，
过点作，交于点，
若选①，，，所以，
所以，此时，
所以
如图过点作交的延长线于点，
因为平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面，显然平面与平面不垂直；
若选②：，则，所以，，
所以，即，
又，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面；
若选③：，又，，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面；
6．（2022春·河南开封·高一统考期中）在条件①；②；③平面平面中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答．
问题：如图，在直三棱柱中，，且________，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】（情况一）补充条件①．
证明：在直棱柱中，平面，
因为平面，所以．
因为，平面，平面
所以平面．
因为平面，所以，
因为，所以四边形为菱形，所以．
因为，平面，平面
所以平面．
因为平面，所以．
（情况二）补充条件②．
证明：设，连接．
因为，M为的中点，所以．
因为，所以四边形为菱形，所以．
因为平面平面，
所以平面．
因为平面，所以，
（情况三）补充条件③平面平面．
证明：在棱柱中，
因为，所以四边形为菱形，所以．
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面．
因为平面，所以．
7（2022辽宁）如图，在中，，，．分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)当为中点时，的长度最小，最小值为
【解析】（1），平面，平面，平面.
（2），，，，又，，
，，平面，平面.
（3）设，则，
由（2）知：均为直角三角形．
，
即，
当时，取得最小值；
当为中点时，的长度最小，最小值为．
8．（2022·高一单元测试）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求线段BC的长度．
【答案】(1)到平面的距离为
(2)线段BC的长为2
【解析】（1）解：由直三棱柱的体积为4，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得．
即到平面的距离为；
（2）解：连接交于点
由直三棱柱，
故四边形为正方形，，
又平面平面，平面平面，
平面，，
由直三棱柱知平面，
，又，
平面，，
，，又，
解得，
则线段BC的长为2.
9．（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，．点为棱的中点，点为棱上的一点，且，平面平面．
(1)证明：；
(2)证明：平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）
证明：因为四边形为等腰梯形，则，
因为，则，所以，，故，
，即，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，.
（2）
证明：取的中点，连接，取的中点，连接、，
因为，，则，，
因为，且为的中点，所以，且，
因为，为的中点，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
、分别为、的中点，故，
平面，平面，平面.
，、平面，平面平面，
平面，平面.
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