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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第06练空间直线、平面的垂直(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第06练空间直线、平面的垂直(原卷版+解析)，共45页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．直三棱柱中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，交于点E．要使，则线段的长为（ ）
A．B．1C．D．2
3．下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆锥的顶点为点S，底面圆心为点O，高是底面半径r的倍，点A，B是底面圆周上的两点，若△SAB是等边三角形，则O到平面SAB的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在四面体ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC
7．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．CM与PN是异面直线
B．CM>PN
C．平面PAN⊥平面BDD1B1
D．过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形
8．如图，四边形为正方形，平面，，，则与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
9．已知三棱锥中，，，D是的中点，平面ABC，点P，A，B，C在球心为O的球面上，若三棱锥的体积是，则球O的半径为（ ）
A．B．1C．D．
10．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）
（1）或 （2）
（3） （4）
A．0个B．1个C．2个D．3个
12．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）
①
②
③
④
A．0个B．1个C．2个D．3个
13．设m，n是不同的直线，是平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
14．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列为假命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，，则
15．已知直线和平面满足：，则（ ）
A．B．或C．D．
16．如图所示，在正方体的棱上任取一点，作与点，则与平面的关系是（ ）
A．平行
B．平面
C．相交但不垂直
D．垂直
17．如图，设分别是长方体棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，有下列结论：
①平面；
②三棱锥体积为定值；
③平面；
④平面平面；
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
18．如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是( )
A．B．C．D．
19．如图，平行四边形的边⊥平面，且，则（ ）
A．B．
C．D．
20．在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则（ ）
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直
D．B1B与l相交但不垂直
21．在四棱锥PABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
22．如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（ ）
A．AH⊥△EFH所在平面
B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
23．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（ ）
A．20°B．70°
C．90°D．110°
24．已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是（ ）
A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ
C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b
D．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α
二、多选题
25．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）
A．直线与为异面直线
B．平面
C．
D．三棱锥的体积为
26．如图，在直三棱柱中，△ABC是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．平面ABM
B．三棱锥的体积的取值范围是
C．存在点P，使得BP与平面所成的角为60°
D．存在点P，使得AP与BM垂直
27．在正方体中，点Р在线段上运动，则下列结论正确的有（ ）
A．直线平面
B．三棱锥体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
28．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中正确的是（ ）
A．EF平面ABC1D1
B．EF⊥B1C
C．EF与AD1所成角为60°
D．EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为
29．下列说法，正确的有（ ）
A．a//b，b//α，则a//αB．aα，bα，则a//b
C．a//α，b//α，则a//bD．α//， //，则α//
30．是两条不同的直线，是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．B．
C．D．
31．已知，是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
32．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．平面
C．与平面所成角是D．与所成的角等于与所成的角
三、填空题
33．在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，，则___________.
34．，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是__________.①如果，，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么.
35．三棱锥D-ABC中，△BCD是边长为2的正三角形，△BCD与△ABC所在平面互相垂直，且AC=1，.则AD=___________.
36．如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，且，，，，分别是，的中点，是线段上的动点，给出下列四个结论：
①；
②；
③直线与底面所成角的正弦值为；
④面积的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是_________．
37．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起．下列说法正确的是________（填上所有正确的序号）．
①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.
38．如图，在棱长为1的正方体中，点E、F、G分别为棱、、的中点，P是底面ABCD上的一点，若平面GEF，则下面的4个判断
①点P的轨迹是一段长度为的线段；
②线段的最小值为；
③；
④与一定异面．
其中正确判断的序号为__________．
39．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是_______（填写序号）
①平面 ②三棱锥的体积的取值范围为
③与为异面直线 ④存在点P，使得与垂直
40．如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________．
41．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
42．如图所示，在正方体中，分别是棱和上的点，若是直角，则等于________．
43．已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离为________．
四、解答题
44．如图，在三棱柱中，侧面为矩形， ，D是的中点，与交于点O，且平面
(1)证明：；
(2)若，求三棱柱的高.
45．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角.
46．如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，，，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求直线与平面所成角的余弦值.
47．如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，，是上的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
48．如图，三棱柱中，底面ABC，，且．
(1)求直线与平面ABC所成角的大小；
(2)求证：平面．
49．如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：
(1)CD⊥AA1；
(2)AB1⊥平面CED.
50．如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成角的大小．
51．如图，已知三棱锥PABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且是正三角形，PA⊥PC.求证：
(1)PA⊥平面PBC；
(2)平面PAC⊥平面ABC.
52．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：
(1)AB∥平面A1B1C；
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
第6练 空间直线、平面的垂直
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一、单选题
1．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，，则，又，，
所以，而与可能平行、相交或异面.
故选：D
2．直三棱柱中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，交于点E．要使，则线段的长为（ ）
A．B．1C．D．2
【解析】
设 ，
平面，
，
由已知可得 ，
设 斜边上的高为,
则，
对三角形使用等面积法得 ，
,
所以由中位线定理知，
在中, ，
对使用等面积法得 ，
解得 ，
故选：B.
3．下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
【解析】对于，设平面∩平面=直线a,
设直线，且ba,
则显然直线平面，
根据线面平行的判定定理可得直线b，
故正确；
对于B，如果内存在直线与平行，
则由面面垂直的判定定理可知平面⊥平面，
与已知矛盾，故正确；
对于C，设平面α平面，平面β平面γ,
在内作直线，
由面面垂直的性质定理可得，
又∵直线,∴,
又∵α∩β＝l，∴为相交直线，
又∵平面，∴l⊥平面γ，
故C正确；
平面α⊥平面β，设平面α∩平面β，
在平面α内与平行的直线都不与平面垂直，
故 D项错误．
故选:D.
4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【解析】∵底面ABCD为菱形，∴ ，又 底面ABCD，∴ ，
∴ 平面PBD，∴，即，
取PC的中点M，如下图：
连结BM，OM，在中，MB=MC=MP=PC，
在中MO=PC，
∴点M为三棱椎P-BOC的外接球的球心，
在 中，由于 ，O是AC的中点，所以是等腰三角形，
，
外接球半径为 ，外接球的体积为 ；
故选：B.
5．已知圆锥的顶点为点S，底面圆心为点O，高是底面半径r的倍，点A，B是底面圆周上的两点，若△SAB是等边三角形，则O到平面SAB的距离为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意高，则，
即
解得
故选：B
6．如图，在四面体ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC
【解析】因AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则，而，平面，
则有平面，又平面，所以平面ABC⊥平面BDE，C正确；
在平面内取点P，作，垂足分别为M，N，如图，
因平面ABC⊥平面BDE，平面ABC平面，则平面BDE，则有，
若平面ABC⊥平面ABD，同理可得，而，平面，
于是得平面，显然BD与平面不一定垂直，A不正确；
过A作边上的高，连，由得，是边上的高，
则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面ABD与平面BDC不一定垂直，B不正确；
因平面，则是二面角的平面角，不一定是直角，
平面ABC与平面ADC不一定垂直，D不正确.
故选：C
7．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．CM与PN是异面直线
B．CM>PN
C．平面PAN⊥平面BDD1B1
D．过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形
【解析】对于选项A，如图，连接NC，PC.在△PAC中，M为AP的中点，N为AC的中点，CN，PM交于点A，所以CM与PN共面，故A错误.
对于选项B，因为P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点），所以AC>AP.
在△MAC中，CM2=AC2+AM2-2AC·AMcs∠MAC=AC2+AP2-AC·AP·cs∠MAC.
在△PAN中，PN2=AP2+AN2-2AP·ANcs∠PAN=AP2+AC2-AP·ACcs∠PAN，
则CM2-PN2=（AC2-AP2）>0，所以CM>PN，故B正确.
对于选项C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，得AC⊥平面BDD1B1，即AN⊥平面BDD1B1，
又AN⊂平面PAN，所以平面PAN⊥平面BDD1B1，故C正确.
对于选项D，连接A1C1，在平面A1B1C1D1内作PK∥A1C1，交C1D1于K，连接KC.
在正方体中，A1C1∥AC，所以PK∥AC，PK，AC共面，所以四边形PKCA就是过P，A，C三点的正方体的截面，
AA1=CC1，A1P=C1K，所以AP=CK，即梯形PKCA为等腰梯形.故D正确.
故选：A.
8．如图，四边形为正方形，平面，，，则与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由于平面，所以，
由于，所以平面.
设是的中点，连接，
由于，所以四边形是平行四边形，
所以，
由于，所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
所以是直线与所成角，
设，
所以，
所以.
故选：D
9．已知三棱锥中，，，D是的中点，平面ABC，点P，A，B，C在球心为O的球面上，若三棱锥的体积是，则球O的半径为（ ）
A．B．1C．D．
【解析】三棱锥的体积,则
，则的外接圆的圆心为的中点,
又平面ABC，所以三棱锥的外接球的球心在直线上
如图，三棱锥的外接球的半径为，连接,则,
在直角三角形中，，即，解得
故选：D
10．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】连接交于点，连接，
由，可得为正方形即，
由长方体的性质可知面，面，
所以，且，
∴平面，
则为则与平面所成角，
在中，，，
∴，
即与平面所成角的余弦值为.
故选：C.
11．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）
（1）或 （2）
（3） （4）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】对于（1），由可得或，故（1）正确；
对于（2），由可得，故（2）正确；
对于（3），由可得或异面，故（3）错误；
对于（4），由于，缺少相交的条件，故不一定成立.故（4）错误.
故四个命题中正确的有2个.
故选：C.
12．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）
①
②
③
④
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】对于①，若，由于m，n不一定相交，故也不一定成立，故①错误；
对于②，若，则，故②正确；
对于③，若，则m，n可能平行也可能异面，故③错误；
对于④，若，则或nα，故④错误；.
综上得命题中正确的是②，共1个，
故选：B.
13．设m，n是不同的直线，是平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【解析】对于A，当时，或在平面内，所以A错误，
对于B，当时，可能平行，可能相交，也可能异面，所以B错误，
对于C，当时，或在平面内，所以C错误，
对于D，当时，由垂直于同一平面的两条直线平行，可得，所以D正确．
故选：D
14．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列为假命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，，则
【解析】对于A，，存在直线，使得；又，，，A正确；
对于B，，存在直线，使得，又，，，B正确；
对于C，若，，则或，C错误；
对于D，，，，又，，D正确.
故选：C.
15．已知直线和平面满足：，则（ ）
A．B．或C．D．
【解析】当，时，，故由，可得；
当，，则，
故由，可得或.
故选：B.
16．如图所示，在正方体的棱上任取一点，作与点，则与平面的关系是（ ）
A．平行
B．平面
C．相交但不垂直
D．垂直
【解析】由正方体的结构特征可知，平面平面，
又平面平面，且平面，，
由平面与平面垂直的性质可得，平面．
故与平面的关系是相交且垂直．
故选：D．
17．如图，设分别是长方体棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，有下列结论：
①平面；
②三棱锥体积为定值；
③平面；
④平面平面；
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【解析】与显然不垂直，而，因此与显然不垂直，从而平面是错误的，①错；
，三棱锥中，平面即平面，到平面的距离为是定值，中，的长不变，到的距离不变，面积为定值，因此三棱锥体积是定值，②正确；
平面就是平面，而与平面相交，③错；
长方体中平面，平面，所以平面平面，即平面平面，④正确．
故选：C．
18．如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是( )
A．B．C．D．
【解析】取中点，连接，
由，，可知，则，
∴由知，即.
∵平面ABCD，⊥平面ABCD，∴AC⊥，又AC⊥BD，BD∩＝B，
∴平面，∵平面，∴，
∵，∴平面，
∵，∴平面，平面，
∵在侧面内，∴平面平面，即P在CF上；
∵平面⊥平面ABCD，且交线为BC，
∴P到平面ABCD的距离即为P到BC的距离，
将平面沿BC翻折到与平面ABCD共面，如图：
将B关于CF对称到，过作与E，则即为点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值.
以B为原点，建立如图所示坐标系，则B(0，0)，F(1，0)，C(0，2)，
直线CF方程为，即，
设，则，
∴.
故选：A﹒
19．如图，平行四边形的边⊥平面，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为四边形为平行四边形，所以，
且．因为⊥平面，所以⊥平面，
所以⊥．因为，所以．
又，所以．
故选：D
20．在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则（ ）
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直
D．B1B与l相交但不垂直
【解析】
因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以，l∥B1B．故选：B
21．在四棱锥PABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
【解析】已知PA⊥底面ABCD，可得，又底面ABCD为矩形
而
平面，平面
平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD
又
平面，平面PBC⊥平面PAB
选项A，B，D可证明
故选：C
22．如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（ ）
A．AH⊥△EFH所在平面
B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
【解析】原图中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，FH∩EH＝H，
又FH平面EFH，EH平面EFH，所以AH⊥△EFH所在平面．故A正确，B错误；
由上知，，故D错误；由原图知与不垂直，故C错误.
故选：A.
23．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（ ）
A．20°B．70°
C．90°D．110°
【解析】∵l∥m，
∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，
又直线l与平面α所成的角为70°，
∴m与α所成的角为70°
故选：B
24．已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是（ ）
A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ
C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b
D．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α
【解析】A中α，γ可以相交.
如图所示:
设直线a⊥平面β，过a任作两平面和，则，，而直线a，故A错误；
对于B,由β⊥γ，设,在内作a的垂线b,如图所示：
由面面垂直的性质定理可得，
由于α∥β,∴，
又∵，∴,
故B正确.
C中如图：
a与b不一定垂直,直线a,b可能垂直，也可能不垂直，甚至平行，故C错误；
D中当时，才能利用面面垂直的性质定理得到，没有此条件，则b可能与成任意的角度，甚至在内，不能判定b⊥α，
如图所示：
故D错误.
故选：B.
二、多选题
25．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）
A．直线与为异面直线
B．平面
C．
D．三棱锥的体积为
【解析】对于A，直线平面，平面，直线，则易得直线与为异面直线，故A正确；
对于B，因为平面平面，所以平面，故B正确；
对于C，连接，因为正方体中，，所以平面，所以，故C正确；
对于D，三棱锥的体积，故D错误．
故选:ABC.
26．如图，在直三棱柱中，△ABC是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．平面ABM
B．三棱锥的体积的取值范围是
C．存在点P，使得BP与平面所成的角为60°
D．存在点P，使得AP与BM垂直
【解析】由题意得．则， ，
所以与不垂直．故A错误；，点B到平面的距离为，
由，所以，所以，又，
则，故B正确；
BP与平面所成的角即为BP与平面ABC所成的角，设为，易知当点P与M重合时，最小，此时，当点P与重合时，最大，此时，，此时，故存在点P，使得BP与平面所成的角为60°，故C正确；
若，设中点为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，则平面，因为平面，所以，因为，，故与不垂直，故不合题意，故D错误．
故选：BC
27．在正方体中，点Р在线段上运动，则下列结论正确的有（ ）
A．直线平面
B．三棱锥体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【解析】对A，连接，由正方体可得，且平面，则，又，所以平面，故，同理，连接，因为平面，所以，又因为，，所以，且，所以平面，故，又，所以平面，故A正确；对B，，因为点Р在线段上运动，所以，面积为定值，又到平面的距离即到平面的距离，也为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；对C，当点Р与重合时，与所成角分别为，此时与所成角最小，因为为正三角形，所以与所成角的最小值为，故C错误；对D，因为平面，所以当与平面所成角的正弦值最大时，与所成角的余弦值最大，此时所成角为，设棱长为，在中，，故D正确.
故选：ABD
28．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中正确的是（ ）
A．EF平面ABC1D1
B．EF⊥B1C
C．EF与AD1所成角为60°
D．EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为
【解析】对于A，连结BD1，在DD1B中，E、F分别为D1D、DB的中点，则EFD1B，
又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1 ，
∴EF平面ABC1D1，
故A正确；
对于B，∵平面，且平面，平面，
∴B1C⊥AB，又B1C⊥BC1
又AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B
∴B1C⊥平面ABC1D1
又∵BD1平面ABC1D1
∴B1C⊥BD1，而EFBD1
∴EF⊥B1C，故B正确；
对于C，由选项A，可知，在中，可知，
所以，所以EF与AD1所成角不为60°，故C不正确；
对于D，由选项A，可知，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角，在中，可知，
所以，故D正确.
故选：ABD
29．下列说法，正确的有（ ）
A．a//b，b//α，则a//αB．aα，bα，则a//b
C．a//α，b//α，则a//bD．α//， //，则α//
【解析】选项A，由a//b，b//α，则或，错误；
选项B，由线面垂直的性质，正确；
选项C，a//α，b//α，则可能平行、相交、异面，错误；
选项D，由面面平行的性质，正确
故选：BD
30．是两条不同的直线，是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】对于A：由、，可得，又，所以，故A正确；
对于B：由、，可得，又，则或，故B错误；
对于C：由，则或，又，则或或与相交（不垂直）或，故C错误；
对于D：由、，可得，又，所以，故D正确；
故选：AD
31．已知，是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【解析】对于A，若，，则或，故A不正确；
对于B，若，，则，故B正确；
对于C，若，，过的平面与相交，设交线为，
，，，则，
，则，，故，故C正确；
对于D，若，，则与不一定垂直，故D不正确；
故选：BC．
32．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．平面
C．与平面所成角是D．与所成的角等于与所成的角
【解析】A选项，为正方形，，又平面，，又，平面，，A选项正确；
B选项，为正方形，，又平面，且平面，平面，B选项正确；
C选项，底面，与平面所成角是，C选项错误；
D选项，为正方形，则与所成的角，又底面，则，所以与所成的角，D选项错误；
故选：AB.
三、填空题
33．在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，，则___________.
【解析】因为底面，底面，所以，设，则，，.故.
故答案为：
34．，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是__________.①如果，，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么.
【解析】对于①：如果，，那么或.因为，那么可能相交，也可能平行.故①错误.
对于②：如果，所以过n的平面，.因为根据线面垂直的性质可得，所以.故②正确；
对于③：如果，，那么m、n没有公共点，所以或m、n异面.故③错误；
对于④：如果，，根据线面垂直的性质可得：.故④正确.
故答案为：②④
35．三棱锥D-ABC中，△BCD是边长为2的正三角形，△BCD与△ABC所在平面互相垂直，且AC=1，.则AD=___________.
【解析】取中点，连接，
是正三角形，则，
平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
，则，又，所以，，
所以，所以．
故答案为：2．
36．如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，且，，，，分别是，的中点，是线段上的动点，给出下列四个结论：
①；
②；
③直线与底面所成角的正弦值为；
④面积的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是_________．
【解析】
由， 得平面，因为平面，所以，①正确
计算可得,，，
所以，②不正确；
由线面角定义知，就是直线与底面所成的角，，③不正确；
由得，，
， 时最小，④正确．
故答案为：①④
37．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起．下列说法正确的是________（填上所有正确的序号）．
①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.
【解析】连接MN交AE于点P，则MP∥DE，NP∥AB，
∵AB∥CD，∴NP∥CD.
对于①，由题意可得平面MNP∥平面DEC，∴MN∥平面DEC，故①正确；
对于②，∵AE⊥MP，AE⊥NP，∴AE⊥平面MNP，∴AE⊥MN，故②正确；
对于③，∵NP∥AB，∴不论D折至何位置（不在平面ABC内）都不可能有MN∥AB，故③不正确；
对于④，由题意知EC⊥AE，故在折起的过程中，当EC⊥DE时，EC⊥平面ADE，∴EC⊥AD，故④正确．
故答案为：①②④.
38．如图，在棱长为1的正方体中，点E、F、G分别为棱、、的中点，P是底面ABCD上的一点，若平面GEF，则下面的4个判断
①点P的轨迹是一段长度为的线段；
②线段的最小值为；
③；
④与一定异面．
其中正确判断的序号为__________．
【解析】分别连接，所以，又因为，则，
同理，，故平面平面，
又因为平面GEF，且P是底面ABCD上的一点，所以点在上．
所以点P的轨迹是一段长度为，故①正确；
当为中点时，线段最小，最小值为，故②错；
因为在正方体中，平面，又平面，
则，故③正确；
当与重合时，与平行，则④错．
故答案为：①③
39．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是_______（填写序号）
①平面 ②三棱锥的体积的取值范围为
③与为异面直线 ④存在点P，使得与垂直
【解析】由题意得．则， ，
所以与不垂直．故①错误；
，点B到平面的距离为，
由，所以，所以，
又，则，
故②正确；
P为线段上的点（不包括端点），故与为异面直线，故③正确；
若，设中点为N，所以，又平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，
又，则平面，即平面，
又因为平面，故点P与点重合，不合题意，故④错误．
故答案为：②③
40．如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________．
【解析】因为DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，
所以DE∥PA．又DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC．
故答案为：平行
41．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
【解析】设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.
又2×＝h ，所以h＝，DE＝.
在Rt△DB1E中，B1E＝.
在Rt△DB1F中，由面积相等得：，
解得：x＝.
即线段B1F的长为.
故答案为：
42．如图所示，在正方体中，分别是棱和上的点，若是直角，则等于________．
【解析】因为C1B1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN.
又因为MN⊥MB1，MB1，C1B1⊂平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1，
又面，所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°.
故答案为：90°.
43．已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离为________．
【解析】设AC∩BD＝O，则翻折后AO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠AOC即为二面角的平面角，
则∠AOC＝120°，且AO＝1.
∴d＝1·sin 60°＝.
故答案为：
四、解答题
44．如图，在三棱柱中，侧面为矩形， ，D是的中点，与交于点O，且平面
(1)证明：；
(2)若，求三棱柱的高.
【解析】（1）证明：由题意
且 ,
,所以,
又侧面， ,又与交于点 ，所以,平面
又因为 平面,所以．
(2)在矩形中，由平面几何知识可知
∵，∴，
∴
设三棱柱的高为，即三棱锥的高为
又，由得
，∴
45．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角.
【解析】因为D、E分别是VB、VC的中点，
所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，
又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，
所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，
于是∠ABC＝45°，
故异面直线DE与AB所成的角为45°.
46．如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，，，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求直线与平面所成角的余弦值.
【解析】（1）证明：设，连接，，
因为，分别为，的中点，则，，
因为为的中点，
所以，且，
所以，，
则四边形为平行四边形，
故，因为平面，平面，
故平面；
（2）证明：因为，，，
所以，即，
因为平面平面，且平面底面，
所以平面，又平面，
故；
（3）解：因为，，
又，，平面，
故平面，
连接，则为在平面内的射影，
所以为与平面所成的角，
因为，，且，
所以，
在中，，
所以，则，
所以，
故，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
47．如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，，是上的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
【解析】(1)证明：如图，设与交于点，连接，
因为底面是正方形，所以是中点，
因为是侧棱上的动点，所以，
因为平面，平面，所以平面
(2)证明：因为，，，
所以，，
同理可得，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为底面是正方形，所以，
因为，平面，
所以平面
48．如图，三棱柱中，底面ABC，，且．
(1)求直线与平面ABC所成角的大小；
(2)求证：平面．
【解析】(1)因为底面，底面，所以，所以为在底面的射影，所以为直线与平面所成角，又，所以，即直线与平面所成角为；
(2)证明：因为底面，底面，所以，又，且，平面，所以平面；
49．如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：
(1)CD⊥AA1；
(2)AB1⊥平面CED.
【解析】(1)由题意知AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
所以CD⊥AA1.
(2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.
又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB⊂平面A1B1BA，A1A⊂平面A1B1BA，
所以CD⊥平面A1B1BA.
因为AB1⊂平面A1B1BA，
所以CD⊥AB1.
又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，CD⊂平面CED，CE⊂平面CED，
所以AB1⊥平面CED.
50．如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成角的大小．
【解析】如图所示，取AC的中点E，连接BE，DE，
由题意知：AB⊥平面BCD，故AB⊥CD，
又由BD是底面圆的直径，所以∠BCD＝90°，即CD⊥BC，
因为AB∩BC＝B，AB，BC平面ABC，所以CD⊥平面ABC，
又因为BE⊂平面ABC，所以CD⊥BE，
因为AB＝BC＝2，AB⊥BC，所以BE⊥AC且 ，
又因为ACCD＝C，AC，CD⊂平面ACD，所以BE⊥平面ACD，
所以∠BDE即为BD与平面ACD所成的角，
又由，所以，
因为，所以，即BD与平面ACD所成的角为.
51．如图，已知三棱锥PABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且是正三角形，PA⊥PC.求证：
(1)PA⊥平面PBC；
(2)平面PAC⊥平面ABC.
【解析】(1)因为是正三角形，
所以∠BPD＝60°，
因为D是AB的中点，
所以AD＝BD＝PD.
又∠ADP＝120°，所以∠DPA＝30°，
所以∠DPA＋∠BPD＝90°，
所以PA⊥PB.又PA⊥PC，PB∩PC＝P，PB平面PBC，PC平面PBC.
所以PA⊥平面PBC.
(2)由（1）知PA⊥平面PBC，BC平面PBC
所以PA⊥BC.
因为∠ACB＝90°，
所以AC⊥BC.又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC.
所以BC⊥平面PAC.
因为BC⊂平面ABC，
所以平面PAC⊥平面ABC.
52．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：
(1)AB∥平面A1B1C；
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
【解析】(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB∥A1B1.
因为AB平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.
(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，
四边形ABB1A1为平行四边形.
又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.
因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.
因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.
因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
一、单选题
1．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．直三棱柱中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，交于点E．要使，则线段的长为（ ）
A．B．1C．D．2
3．下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆锥的顶点为点S，底面圆心为点O，高是底面半径r的倍，点A，B是底面圆周上的两点，若△SAB是等边三角形，则O到平面SAB的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在四面体ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC
7．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．CM与PN是异面直线
B．CM>PN
C．平面PAN⊥平面BDD1B1
D．过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形
8．如图，四边形为正方形，平面，，，则与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
9．已知三棱锥中，，，D是的中点，平面ABC，点P，A，B，C在球心为O的球面上，若三棱锥的体积是，则球O的半径为（ ）
A．B．1C．D．
10．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）
（1）或 （2）
（3） （4）
A．0个B．1个C．2个D．3个
12．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）
①
②
③
④
A．0个B．1个C．2个D．3个
13．设m，n是不同的直线，是平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
14．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列为假命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，，则
15．已知直线和平面满足：，则（ ）
A．B．或C．D．
16．如图所示，在正方体的棱上任取一点，作与点，则与平面的关系是（ ）
A．平行
B．平面
C．相交但不垂直
D．垂直
17．如图，设分别是长方体棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，有下列结论：
①平面；
②三棱锥体积为定值；
③平面；
④平面平面；
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
18．如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是( )
A．B．C．D．
19．如图，平行四边形的边⊥平面，且，则（ ）
A．B．
C．D．
20．在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则（ ）
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直
D．B1B与l相交但不垂直
21．在四棱锥PABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
22．如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（ ）
A．AH⊥△EFH所在平面
B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
23．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（ ）
A．20°B．70°
C．90°D．110°
24．已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是（ ）
A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ
C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b
D．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α
二、多选题
25．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）
A．直线与为异面直线
B．平面
C．
D．三棱锥的体积为
26．如图，在直三棱柱中，△ABC是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．平面ABM
B．三棱锥的体积的取值范围是
C．存在点P，使得BP与平面所成的角为60°
D．存在点P，使得AP与BM垂直
27．在正方体中，点Р在线段上运动，则下列结论正确的有（ ）
A．直线平面
B．三棱锥体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
28．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中正确的是（ ）
A．EF平面ABC1D1
B．EF⊥B1C
C．EF与AD1所成角为60°
D．EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为
29．下列说法，正确的有（ ）
A．a//b，b//α，则a//αB．aα，bα，则a//b
C．a//α，b//α，则a//bD．α//， //，则α//
30．是两条不同的直线，是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．B．
C．D．
31．已知，是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
32．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．平面
C．与平面所成角是D．与所成的角等于与所成的角
三、填空题
33．在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，，则___________.
34．，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是__________.①如果，，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么.
35．三棱锥D-ABC中，△BCD是边长为2的正三角形，△BCD与△ABC所在平面互相垂直，且AC=1，.则AD=___________.
36．如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，且，，，，分别是，的中点，是线段上的动点，给出下列四个结论：
①；
②；
③直线与底面所成角的正弦值为；
④面积的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是_________．
37．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起．下列说法正确的是________（填上所有正确的序号）．
①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.
38．如图，在棱长为1的正方体中，点E、F、G分别为棱、、的中点，P是底面ABCD上的一点，若平面GEF，则下面的4个判断
①点P的轨迹是一段长度为的线段；
②线段的最小值为；
③；
④与一定异面．
其中正确判断的序号为__________．
39．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是_______（填写序号）
①平面 ②三棱锥的体积的取值范围为
③与为异面直线 ④存在点P，使得与垂直
40．如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________．
41．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
42．如图所示，在正方体中，分别是棱和上的点，若是直角，则等于________．
43．已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离为________．
四、解答题
44．如图，在三棱柱中，侧面为矩形， ，D是的中点，与交于点O，且平面
(1)证明：；
(2)若，求三棱柱的高.
45．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角.
46．如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，，，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求直线与平面所成角的余弦值.
47．如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，，是上的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
48．如图，三棱柱中，底面ABC，，且．
(1)求直线与平面ABC所成角的大小；
(2)求证：平面．
49．如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：
(1)CD⊥AA1；
(2)AB1⊥平面CED.
50．如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成角的大小．
51．如图，已知三棱锥PABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且是正三角形，PA⊥PC.求证：
(1)PA⊥平面PBC；
(2)平面PAC⊥平面ABC.
52．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：
(1)AB∥平面A1B1C；
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
第6练 空间直线、平面的垂直
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一、单选题
1．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，，则，又，，
所以，而与可能平行、相交或异面.
故选：D
2．直三棱柱中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，交于点E．要使，则线段的长为（ ）
A．B．1C．D．2
【解析】
设 ，
平面，
，
由已知可得 ，
设 斜边上的高为,
则，
对三角形使用等面积法得 ，
,
所以由中位线定理知，
在中, ，
对使用等面积法得 ，
解得 ，
故选：B.
3．下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
【解析】对于，设平面∩平面=直线a,
设直线，且ba,
则显然直线平面，
根据线面平行的判定定理可得直线b，
故正确；
对于B，如果内存在直线与平行，
则由面面垂直的判定定理可知平面⊥平面，
与已知矛盾，故正确；
对于C，设平面α平面，平面β平面γ,
在内作直线，
由面面垂直的性质定理可得，
又∵直线,∴,
又∵α∩β＝l，∴为相交直线，
又∵平面，∴l⊥平面γ，
故C正确；
平面α⊥平面β，设平面α∩平面β，
在平面α内与平行的直线都不与平面垂直，
故 D项错误．
故选:D.
4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【解析】∵底面ABCD为菱形，∴ ，又 底面ABCD，∴ ，
∴ 平面PBD，∴，即，
取PC的中点M，如下图：
连结BM，OM，在中，MB=MC=MP=PC，
在中MO=PC，
∴点M为三棱椎P-BOC的外接球的球心，
在 中，由于 ，O是AC的中点，所以是等腰三角形，
，
外接球半径为 ，外接球的体积为 ；
故选：B.
5．已知圆锥的顶点为点S，底面圆心为点O，高是底面半径r的倍，点A，B是底面圆周上的两点，若△SAB是等边三角形，则O到平面SAB的距离为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意高，则，
即
解得
故选：B
6．如图，在四面体ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC
【解析】因AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则，而，平面，
则有平面，又平面，所以平面ABC⊥平面BDE，C正确；
在平面内取点P，作，垂足分别为M，N，如图，
因平面ABC⊥平面BDE，平面ABC平面，则平面BDE，则有，
若平面ABC⊥平面ABD，同理可得，而，平面，
于是得平面，显然BD与平面不一定垂直，A不正确；
过A作边上的高，连，由得，是边上的高，
则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面ABD与平面BDC不一定垂直，B不正确；
因平面，则是二面角的平面角，不一定是直角，
平面ABC与平面ADC不一定垂直，D不正确.
故选：C
7．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．CM与PN是异面直线
B．CM>PN
C．平面PAN⊥平面BDD1B1
D．过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形
【解析】对于选项A，如图，连接NC，PC.在△PAC中，M为AP的中点，N为AC的中点，CN，PM交于点A，所以CM与PN共面，故A错误.
对于选项B，因为P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点），所以AC>AP.
在△MAC中，CM2=AC2+AM2-2AC·AMcs∠MAC=AC2+AP2-AC·AP·cs∠MAC.
在△PAN中，PN2=AP2+AN2-2AP·ANcs∠PAN=AP2+AC2-AP·ACcs∠PAN，
则CM2-PN2=（AC2-AP2）>0，所以CM>PN，故B正确.
对于选项C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，得AC⊥平面BDD1B1，即AN⊥平面BDD1B1，
又AN⊂平面PAN，所以平面PAN⊥平面BDD1B1，故C正确.
对于选项D，连接A1C1，在平面A1B1C1D1内作PK∥A1C1，交C1D1于K，连接KC.
在正方体中，A1C1∥AC，所以PK∥AC，PK，AC共面，所以四边形PKCA就是过P，A，C三点的正方体的截面，
AA1=CC1，A1P=C1K，所以AP=CK，即梯形PKCA为等腰梯形.故D正确.
故选：A.
8．如图，四边形为正方形，平面，，，则与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由于平面，所以，
由于，所以平面.
设是的中点，连接，
由于，所以四边形是平行四边形，
所以，
由于，所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
所以是直线与所成角，
设，
所以，
所以.
故选：D
9．已知三棱锥中，，，D是的中点，平面ABC，点P，A，B，C在球心为O的球面上，若三棱锥的体积是，则球O的半径为（ ）
A．B．1C．D．
【解析】三棱锥的体积,则
，则的外接圆的圆心为的中点,
又平面ABC，所以三棱锥的外接球的球心在直线上
如图，三棱锥的外接球的半径为，连接,则,
在直角三角形中，，即，解得
故选：D
10．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】连接交于点，连接，
由，可得为正方形即，
由长方体的性质可知面，面，
所以，且，
∴平面，
则为则与平面所成角，
在中，，，
∴，
即与平面所成角的余弦值为.
故选：C.
11．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）
（1）或 （2）
（3） （4）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】对于（1），由可得或，故（1）正确；
对于（2），由可得，故（2）正确；
对于（3），由可得或异面，故（3）错误；
对于（4），由于，缺少相交的条件，故不一定成立.故（4）错误.
故四个命题中正确的有2个.
故选：C.
12．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）
①
②
③
④
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】对于①，若，由于m，n不一定相交，故也不一定成立，故①错误；
对于②，若，则，故②正确；
对于③，若，则m，n可能平行也可能异面，故③错误；
对于④，若，则或nα，故④错误；.
综上得命题中正确的是②，共1个，
故选：B.
13．设m，n是不同的直线，是平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【解析】对于A，当时，或在平面内，所以A错误，
对于B，当时，可能平行，可能相交，也可能异面，所以B错误，
对于C，当时，或在平面内，所以C错误，
对于D，当时，由垂直于同一平面的两条直线平行，可得，所以D正确．
故选：D
14．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列为假命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，，则
【解析】对于A，，存在直线，使得；又，，，A正确；
对于B，，存在直线，使得，又，，，B正确；
对于C，若，，则或，C错误；
对于D，，，，又，，D正确.
故选：C.
15．已知直线和平面满足：，则（ ）
A．B．或C．D．
【解析】当，时，，故由，可得；
当，，则，
故由，可得或.
故选：B.
16．如图所示，在正方体的棱上任取一点，作与点，则与平面的关系是（ ）
A．平行
B．平面
C．相交但不垂直
D．垂直
【解析】由正方体的结构特征可知，平面平面，
又平面平面，且平面，，
由平面与平面垂直的性质可得，平面．
故与平面的关系是相交且垂直．
故选：D．
17．如图，设分别是长方体棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，有下列结论：
①平面；
②三棱锥体积为定值；
③平面；
④平面平面；
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【解析】与显然不垂直，而，因此与显然不垂直，从而平面是错误的，①错；
，三棱锥中，平面即平面，到平面的距离为是定值，中，的长不变，到的距离不变，面积为定值，因此三棱锥体积是定值，②正确；
平面就是平面，而与平面相交，③错；
长方体中平面，平面，所以平面平面，即平面平面，④正确．
故选：C．
18．如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是( )
A．B．C．D．
【解析】取中点，连接，
由，，可知，则，
∴由知，即.
∵平面ABCD，⊥平面ABCD，∴AC⊥，又AC⊥BD，BD∩＝B，
∴平面，∵平面，∴，
∵，∴平面，
∵，∴平面，平面，
∵在侧面内，∴平面平面，即P在CF上；
∵平面⊥平面ABCD，且交线为BC，
∴P到平面ABCD的距离即为P到BC的距离，
将平面沿BC翻折到与平面ABCD共面，如图：
将B关于CF对称到，过作与E，则即为点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值.
以B为原点，建立如图所示坐标系，则B(0，0)，F(1，0)，C(0，2)，
直线CF方程为，即，
设，则，
∴.
故选：A﹒
19．如图，平行四边形的边⊥平面，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为四边形为平行四边形，所以，
且．因为⊥平面，所以⊥平面，
所以⊥．因为，所以．
又，所以．
故选：D
20．在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则（ ）
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直
D．B1B与l相交但不垂直
【解析】
因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以，l∥B1B．故选：B
21．在四棱锥PABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
【解析】已知PA⊥底面ABCD，可得，又底面ABCD为矩形
而
平面，平面
平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD
又
平面，平面PBC⊥平面PAB
选项A，B，D可证明
故选：C
22．如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（ ）
A．AH⊥△EFH所在平面
B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
【解析】原图中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，FH∩EH＝H，
又FH平面EFH，EH平面EFH，所以AH⊥△EFH所在平面．故A正确，B错误；
由上知，，故D错误；由原图知与不垂直，故C错误.
故选：A.
23．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（ ）
A．20°B．70°
C．90°D．110°
【解析】∵l∥m，
∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，
又直线l与平面α所成的角为70°，
∴m与α所成的角为70°
故选：B
24．已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是（ ）
A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ
C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b
D．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α
【解析】A中α，γ可以相交.
如图所示:
设直线a⊥平面β，过a任作两平面和，则，，而直线a，故A错误；
对于B,由β⊥γ，设,在内作a的垂线b,如图所示：
由面面垂直的性质定理可得，
由于α∥β,∴，
又∵，∴,
故B正确.
C中如图：
a与b不一定垂直,直线a,b可能垂直，也可能不垂直，甚至平行，故C错误；
D中当时，才能利用面面垂直的性质定理得到，没有此条件，则b可能与成任意的角度，甚至在内，不能判定b⊥α，
如图所示：
故D错误.
故选：B.
二、多选题
25．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）
A．直线与为异面直线
B．平面
C．
D．三棱锥的体积为
【解析】对于A，直线平面，平面，直线，则易得直线与为异面直线，故A正确；
对于B，因为平面平面，所以平面，故B正确；
对于C，连接，因为正方体中，，所以平面，所以，故C正确；
对于D，三棱锥的体积，故D错误．
故选:ABC.
26．如图，在直三棱柱中，△ABC是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．平面ABM
B．三棱锥的体积的取值范围是
C．存在点P，使得BP与平面所成的角为60°
D．存在点P，使得AP与BM垂直
【解析】由题意得．则， ，
所以与不垂直．故A错误；，点B到平面的距离为，
由，所以，所以，又，
则，故B正确；
BP与平面所成的角即为BP与平面ABC所成的角，设为，易知当点P与M重合时，最小，此时，当点P与重合时，最大，此时，，此时，故存在点P，使得BP与平面所成的角为60°，故C正确；
若，设中点为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，则平面，因为平面，所以，因为，，故与不垂直，故不合题意，故D错误．
故选：BC
27．在正方体中，点Р在线段上运动，则下列结论正确的有（ ）
A．直线平面
B．三棱锥体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【解析】对A，连接，由正方体可得，且平面，则，又，所以平面，故，同理，连接，因为平面，所以，又因为，，所以，且，所以平面，故，又，所以平面，故A正确；对B，，因为点Р在线段上运动，所以，面积为定值，又到平面的距离即到平面的距离，也为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；对C，当点Р与重合时，与所成角分别为，此时与所成角最小，因为为正三角形，所以与所成角的最小值为，故C错误；对D，因为平面，所以当与平面所成角的正弦值最大时，与所成角的余弦值最大，此时所成角为，设棱长为，在中，，故D正确.
故选：ABD
28．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中正确的是（ ）
A．EF平面ABC1D1
B．EF⊥B1C
C．EF与AD1所成角为60°
D．EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为
【解析】对于A，连结BD1，在DD1B中，E、F分别为D1D、DB的中点，则EFD1B，
又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1 ，
∴EF平面ABC1D1，
故A正确；
对于B，∵平面，且平面，平面，
∴B1C⊥AB，又B1C⊥BC1
又AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B
∴B1C⊥平面ABC1D1
又∵BD1平面ABC1D1
∴B1C⊥BD1，而EFBD1
∴EF⊥B1C，故B正确；
对于C，由选项A，可知，在中，可知，
所以，所以EF与AD1所成角不为60°，故C不正确；
对于D，由选项A，可知，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角，在中，可知，
所以，故D正确.
故选：ABD
29．下列说法，正确的有（ ）
A．a//b，b//α，则a//αB．aα，bα，则a//b
C．a//α，b//α，则a//bD．α//， //，则α//
【解析】选项A，由a//b，b//α，则或，错误；
选项B，由线面垂直的性质，正确；
选项C，a//α，b//α，则可能平行、相交、异面，错误；
选项D，由面面平行的性质，正确
故选：BD
30．是两条不同的直线，是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】对于A：由、，可得，又，所以，故A正确；
对于B：由、，可得，又，则或，故B错误；
对于C：由，则或，又，则或或与相交（不垂直）或，故C错误；
对于D：由、，可得，又，所以，故D正确；
故选：AD
31．已知，是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【解析】对于A，若，，则或，故A不正确；
对于B，若，，则，故B正确；
对于C，若，，过的平面与相交，设交线为，
，，，则，
，则，，故，故C正确；
对于D，若，，则与不一定垂直，故D不正确；
故选：BC．
32．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．平面
C．与平面所成角是D．与所成的角等于与所成的角
【解析】A选项，为正方形，，又平面，，又，平面，，A选项正确；
B选项，为正方形，，又平面，且平面，平面，B选项正确；
C选项，底面，与平面所成角是，C选项错误；
D选项，为正方形，则与所成的角，又底面，则，所以与所成的角，D选项错误；
故选：AB.
三、填空题
33．在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，，则___________.
【解析】因为底面，底面，所以，设，则，，.故.
故答案为：
34．，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是__________.①如果，，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么.
【解析】对于①：如果，，那么或.因为，那么可能相交，也可能平行.故①错误.
对于②：如果，所以过n的平面，.因为根据线面垂直的性质可得，所以.故②正确；
对于③：如果，，那么m、n没有公共点，所以或m、n异面.故③错误；
对于④：如果，，根据线面垂直的性质可得：.故④正确.
故答案为：②④
35．三棱锥D-ABC中，△BCD是边长为2的正三角形，△BCD与△ABC所在平面互相垂直，且AC=1，.则AD=___________.
【解析】取中点，连接，
是正三角形，则，
平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
，则，又，所以，，
所以，所以．
故答案为：2．
36．如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，且，，，，分别是，的中点，是线段上的动点，给出下列四个结论：
①；
②；
③直线与底面所成角的正弦值为；
④面积的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是_________．
【解析】
由， 得平面，因为平面，所以，①正确
计算可得,，，
所以，②不正确；
由线面角定义知，就是直线与底面所成的角，，③不正确；
由得，，
， 时最小，④正确．
故答案为：①④
37．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起．下列说法正确的是________（填上所有正确的序号）．
①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.
【解析】连接MN交AE于点P，则MP∥DE，NP∥AB，
∵AB∥CD，∴NP∥CD.
对于①，由题意可得平面MNP∥平面DEC，∴MN∥平面DEC，故①正确；
对于②，∵AE⊥MP，AE⊥NP，∴AE⊥平面MNP，∴AE⊥MN，故②正确；
对于③，∵NP∥AB，∴不论D折至何位置（不在平面ABC内）都不可能有MN∥AB，故③不正确；
对于④，由题意知EC⊥AE，故在折起的过程中，当EC⊥DE时，EC⊥平面ADE，∴EC⊥AD，故④正确．
故答案为：①②④.
38．如图，在棱长为1的正方体中，点E、F、G分别为棱、、的中点，P是底面ABCD上的一点，若平面GEF，则下面的4个判断
①点P的轨迹是一段长度为的线段；
②线段的最小值为；
③；
④与一定异面．
其中正确判断的序号为__________．
【解析】分别连接，所以，又因为，则，
同理，，故平面平面，
又因为平面GEF，且P是底面ABCD上的一点，所以点在上．
所以点P的轨迹是一段长度为，故①正确；
当为中点时，线段最小，最小值为，故②错；
因为在正方体中，平面，又平面，
则，故③正确；
当与重合时，与平行，则④错．
故答案为：①③
39．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是_______（填写序号）
①平面 ②三棱锥的体积的取值范围为
③与为异面直线 ④存在点P，使得与垂直
【解析】由题意得．则， ，
所以与不垂直．故①错误；
，点B到平面的距离为，
由，所以，所以，
又，则，
故②正确；
P为线段上的点（不包括端点），故与为异面直线，故③正确；
若，设中点为N，所以，又平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，
又，则平面，即平面，
又因为平面，故点P与点重合，不合题意，故④错误．
故答案为：②③
40．如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________．
【解析】因为DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，
所以DE∥PA．又DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC．
故答案为：平行
41．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
【解析】设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.
又2×＝h ，所以h＝，DE＝.
在Rt△DB1E中，B1E＝.
在Rt△DB1F中，由面积相等得：，
解得：x＝.
即线段B1F的长为.
故答案为：
42．如图所示，在正方体中，分别是棱和上的点，若是直角，则等于________．
【解析】因为C1B1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN.
又因为MN⊥MB1，MB1，C1B1⊂平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1，
又面，所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°.
故答案为：90°.
43．已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离为________．
【解析】设AC∩BD＝O，则翻折后AO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠AOC即为二面角的平面角，
则∠AOC＝120°，且AO＝1.
∴d＝1·sin 60°＝.
故答案为：
四、解答题
44．如图，在三棱柱中，侧面为矩形， ，D是的中点，与交于点O，且平面
(1)证明：；
(2)若，求三棱柱的高.
【解析】（1）证明：由题意
且 ,
,所以,
又侧面， ,又与交于点 ，所以,平面
又因为 平面,所以．
(2)在矩形中，由平面几何知识可知
∵，∴，
∴
设三棱柱的高为，即三棱锥的高为
又，由得
，∴
45．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角.
【解析】因为D、E分别是VB、VC的中点，
所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，
又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，
所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，
于是∠ABC＝45°，
故异面直线DE与AB所成的角为45°.
46．如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，，，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求直线与平面所成角的余弦值.
【解析】（1）证明：设，连接，，
因为，分别为，的中点，则，，
因为为的中点，
所以，且，
所以，，
则四边形为平行四边形，
故，因为平面，平面，
故平面；
（2）证明：因为，，，
所以，即，
因为平面平面，且平面底面，
所以平面，又平面，
故；
（3）解：因为，，
又，，平面，
故平面，
连接，则为在平面内的射影，
所以为与平面所成的角，
因为，，且，
所以，
在中，，
所以，则，
所以，
故，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
47．如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，，是上的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
【解析】(1)证明：如图，设与交于点，连接，
因为底面是正方形，所以是中点，
因为是侧棱上的动点，所以，
因为平面，平面，所以平面
(2)证明：因为，，，
所以，，
同理可得，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为底面是正方形，所以，
因为，平面，
所以平面
48．如图，三棱柱中，底面ABC，，且．
(1)求直线与平面ABC所成角的大小；
(2)求证：平面．
【解析】(1)因为底面，底面，所以，所以为在底面的射影，所以为直线与平面所成角，又，所以，即直线与平面所成角为；
(2)证明：因为底面，底面，所以，又，且，平面，所以平面；
49．如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：
(1)CD⊥AA1；
(2)AB1⊥平面CED.
【解析】(1)由题意知AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
所以CD⊥AA1.
(2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.
又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB⊂平面A1B1BA，A1A⊂平面A1B1BA，
所以CD⊥平面A1B1BA.
因为AB1⊂平面A1B1BA，
所以CD⊥AB1.
又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，CD⊂平面CED，CE⊂平面CED，
所以AB1⊥平面CED.
50．如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成角的大小．
【解析】如图所示，取AC的中点E，连接BE，DE，
由题意知：AB⊥平面BCD，故AB⊥CD，
又由BD是底面圆的直径，所以∠BCD＝90°，即CD⊥BC，
因为AB∩BC＝B，AB，BC平面ABC，所以CD⊥平面ABC，
又因为BE⊂平面ABC，所以CD⊥BE，
因为AB＝BC＝2，AB⊥BC，所以BE⊥AC且 ，
又因为ACCD＝C，AC，CD⊂平面ACD，所以BE⊥平面ACD，
所以∠BDE即为BD与平面ACD所成的角，
又由，所以，
因为，所以，即BD与平面ACD所成的角为.
51．如图，已知三棱锥PABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且是正三角形，PA⊥PC.求证：
(1)PA⊥平面PBC；
(2)平面PAC⊥平面ABC.
【解析】(1)因为是正三角形，
所以∠BPD＝60°，
因为D是AB的中点，
所以AD＝BD＝PD.
又∠ADP＝120°，所以∠DPA＝30°，
所以∠DPA＋∠BPD＝90°，
所以PA⊥PB.又PA⊥PC，PB∩PC＝P，PB平面PBC，PC平面PBC.
所以PA⊥平面PBC.
(2)由（1）知PA⊥平面PBC，BC平面PBC
所以PA⊥BC.
因为∠ACB＝90°，
所以AC⊥BC.又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC.
所以BC⊥平面PAC.
因为BC⊂平面ABC，
所以平面PAC⊥平面ABC.
52．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：
(1)AB∥平面A1B1C；
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
【解析】(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB∥A1B1.
因为AB平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.
(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，
四边形ABB1A1为平行四边形.
又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.
因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.
因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.
因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
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