高三数学一轮复习第二章函数第三课时函数的奇偶性、周期性与对称性学案

这是一份高三数学一轮复习第二章函数第三课时函数的奇偶性、周期性与对称性学案，共16页。

考点一 函数的奇偶性
提醒：定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑函数定义域．
[典例1] (1)下列函数中，是偶函数的是( )
A．f (x)＝x3 B．f (x)＝|x－1|
C．f (x)＝1 D．f (x)＝xx2+1
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln 2x-12x+1为偶函数，则a＝( )
A．－1 B．0
C．12 D．1
(3)(2024·广州阶段练习)函数f (x)＝x1-x2的图象大致是( )
A B
C D
(1)C (2)B (3)C [(1)对于A，函数f (x)＝x3的定义域为R，
f (－x)＝(－x)3＝－x3＝－f (x)，f (x)不是偶函数，A不正确；
对于B，函数f (x)＝|x－1|的定义域为R，
f (－x)＝|－x－1|＝|x＋1|≠f (x)，f (x)不是偶函数，B不正确；
对于C，函数f (x)＝1的定义域为R，
f (－x)＝1＝f (x)，f (x)是偶函数，C正确；
对于D，函数f (x)＝xx2+1的定义域为R，
f (－x)＝-x-x2+1＝－f (x)，f (x)不是偶函数，D不正确．
故选C．
(2)由2x-12x+1＞0，得x＞12或x＜－12，
由f (x)是偶函数，所以f (－x)＝f (x)，
得(－x＋a)ln -2x-1-2x+1＝(x＋a)ln 2x-12x+1，
又(－x＋a)ln 2x+12x-1＝(－x＋a)ln 2x-12x+1-1，
所以(x－a)ln 2x-12x+1＝(x＋a)ln 2x-12x+1，
所以x－a＝x＋a，得－a＝a，得a＝0．故选B．
(3)f (x)＝x1-x2的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．
又f (－x)＝-x1-x2＝－f (x)，则f (x)为奇函数，排除选项A；而f 12＝121-122＝23>0，排除选项B；当x>1时，1－x2<0，则f (x)＝x1-x2<0，排除选项D．故选C．]
本例(1)判断函数的奇偶性，首先考虑函数f (x)的定义域是否关于原点对称，其次再根据f (－x)与f (x)关系来判断；本例(2)借助偶函数f (x)＝f (－x)来解决；本例(3)中，在考虑函数的定义域、值域和奇偶性等函数的性质的前提下，还应考虑函数的特殊值，利用排除法选出正确选项．
跟进训练1 (1)(2023·广州二模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝12x B．y＝|x|－x2
C．y＝|x|－1 D．y＝x－1x
(2)(2020·天津卷)函数y＝4xx2+1的图象大致为( )
A B
C D
(3)(2020·江苏卷)已知y＝f (x)是奇函数，当x≥0时， f (x)＝x23，则f (－8)的值是________．
(1)C (2)A (3)－4 [(1)对A：易知y＝12x是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，故错误；
对B：易知y＝|x|－x2是偶函数，当x>0时，y＝x－x2，
其在0，12单调递增，在12，+∞单调递减，故错误；
对C：易知y＝|x|－1是偶函数，当x>0时，y＝x－1单调递增，故正确；
对D：易知y＝x－1x是奇函数，故错误．
故选C．
(2)法一：令f (x)＝4xx2+1，显然f (－x)＝－f (x)，f (x)为奇函数，排除C，D，由f (1)>0，排除B，故选A．
法二：令f (x)＝4xx2+1，由f (1)>0，f (－1)<0，故选A．
(3)f (8)＝823＝4，因为f (x)为奇函数，
所以f (－8)＝－f (8)＝－4，故答案为－4．]
考点二 函数的周期性
1．周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f (x＋T)＝f (x)，那么函数y＝f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
2．最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
[常用结论]
对f (x)定义域内任一自变量的值x：
(1)f (x＋a)＝f (x－a)，则函数的周期为2a；
(2)f (x＋a)＝－f (x)，则函数的周期为2a；
(3)f (x＋a)＝－1fx(f (x)≠0)，则函数的周期为2a．
[典例2] (1)若函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，则f (x)可以是( )
A．f (x)＝(x－1)2 B．f (x)＝|x－2|
C．f (x)＝sin π2x D．f (x)＝tan π2x
(2)设f (x)是定义域为R的偶函数，且f (x)＝f (2－x)．若f 12＝14，则f 112的值是________．
(1)D (2)14 [(1)因为f (x＋2)＝f (x)，
所以函数的周期为2．
A：因为f (1)＝0，f (3)＝4，
所以f (1)≠f (3)，因此函数的周期不可能为2，本选项不符合题意；
B：因为f (2)＝0，f (4)＝2，
所以f (2)≠f (4)，因此函数的周期不可能为2，本选项不符合题意；
C：该函数的最小正周期T＝2ππ2＝4，因此函数的周期不可能为2，本选项不符合题意；
D：该函数的最小正周期T＝ππ2＝2，因此本选项符合题意，故选D．
(2)因为f (x)是定义域为R的偶函数，所以f (x)＝f (－x)，
又f (x)＝f (2－x)，所以f (x)＝f (－x)＝f (2－x)，
所以f (x)是周期为2的函数，
则f 112＝f 112-6＝f -12＝f 12＝14．
故答案为14．]
本例(1)解决的关键是抓住f (x＋2)＝f (x)这个条件，一一验证即可；本例(2)根据f (x)是定义域为R的偶函数，所以f (x)＝f (－x)；再结合f (x)＝f (2－x)得出f (x)是周期为2的函数．
跟进训练2 已知f (x)是定义在R上的奇函数，∀x∈R，都有f (x＋4)＝f (x)，若当x∈[0，1]时，f (x)＝lg2(x＋a)，则f (－7)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
C [∵f (x)是定义在R上的奇函数，
∴f (0)＝0，得a＝1，∴当x∈0，1时，
f (x)＝lg2(x＋1)，∀x∈R，都有f (x＋4)＝f (x)，
∴f (x)是周期为4的周期函数，
∴f (－7)＝f (－7＋8)＝f (1)＝1．故选C．]
考点三 函数的对称性
[常用结论]
(1)f (a－x)＝f (a＋x)⇔f (－x)＝f (2a＋x)⇔f (x)＝f (2a－x)⇔f (x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f (a＋x)＝f (b－x)⇔f (x)的图象关于直线x＝a+b2对称．
(3)f (a＋x)＝－f (b－x)⇔f (x)的图象关于点a+b2，0对称．
(4)f (2a－x)＝－f (x)＋2b⇔f (x)的图象关于点(a，b)对称．
[典例3] (1)(2024·邢台阶段练习)已知f (2－x)＝f (x＋2)，且f (x)在(0，2)上单调递减，则f (1)，f 52，f 72的大小顺序是( )
A．f 52B．f (1)C．f 72D．f 72(2)已知定义在R上的偶函数f (x)满足f (1－x)＝－f (1＋x)，则下列说法正确的是( )
A．f 32＝－f 52
B．函数f (x)的一个周期为2
C．f (2 023)＝0
D．函数f (x)的图象关于直线x＝1对称
(1)A (2)C [(1)因为f (2－x)＝f (x＋2)，所以f (x)的图象关于直线x＝2对称，
所以f 52＝f 32，f 72＝f 12，
因为f (x)在(0，2)上单调递减，
所以f 32＝f 52故选A．
(2)因为f (1－x)＝－f (1＋x)，所以函数f (x)的图象关于点(1，0)中心对称，因此选项D不正确；
又因为函数f (x)为偶函数，所以f (－x)＝f (x)，
由f (1－x)＝－f (1＋x)⇒f (x＋2)＝－f (－x)＝－f (x)⇒f (x＋4)＝f (x)，
所以函数f (x)的周期为4，所以选项B不正确；
因为函数f (x)是周期为4的偶函数，
所以f 32＝f -52＝f 52，因此选项A不正确；
在f (1－x)＝－f (1＋x)中，令x＝0，得f (1)＝0，
因为函数f (x)的周期为4，
所以f (2 023)＝f (3)＝f (－1)＝f (1)＝0，因此选项C正确，故选C．]
(1)函数y＝f (x)满足f (a＋x)＝f (a－x)(a>0)，若f (x)为奇函数，则其周期为T＝4a．若f (x)为偶函数，则其周期为T＝2a．
(2)函数y＝f (x)(x∈R)的图象关于直线x＝a和x＝b(a(3)函数y＝f (x)(x∈R)的图象关于两点A(a，y0)、B(b，y0)(a(4)函数y＝f (x)(x∈R)的图象关于A(a，y0)和直线x＝b(a如在本例(2)中，应用上述技巧(4)可快速确定函数周期．
跟进训练3 (1)已知二次函数f (x)满足f (x＋2)＝f (2－x)，且f (a)A．(0，2) B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(2，＋∞)
(2)(多选)(2024·南平阶段练习)已知f (x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x)＝f (1＋x)，若f (1)＝2，则( )
A．f (x)关于y轴对称
B．f (x)有一条对称轴x＝1
C．f (x)是周期函数
D．f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝2
(1)C (2)BCD [(1)由已知，二次函数f (x)对称轴为x＝2，
所以有f (0)＝f (4)．
又f (0)当a<2时，由f (a)当a≥2时，由f (a)又f (x)在(2，＋∞)上单调递减，所以a>4．
所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
故选C．
(2)∵f (x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1)＝2≠0，可知函数f (x)不可能同时为偶函数，故A错误；
∵f (1－x)＝f (1＋x)，∴f (x)有一条对称轴x＝1，故B正确；
由f (1－x)＝f (1＋x)将x换成x＋1得到f (－x)＝f (2＋x)，
∵f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，
∴f (2＋x)＝－f (x)，
∴f (x＋4)＝f ((x＋2)＋2)＝－f (x＋2)＝f (x)．
∴f (x)的周期为4，故C正确；
∵f (x)为奇函数，∴f (0)＝0．
∵f (2)＝f (1＋1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，
f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (0)，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0．
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (50)＝f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故D正确．
故选BCD．]
课后习题(七) 函数的奇偶性、周期性与对称性
1．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)给定四个函数，其中是奇函数的有( )
A．f (x)＝x3 B．f (x)＝x|x|
C．f (x)＝x3＋1 D．f (x)＝x2+1x
ABD [A：f (－x)＝(－x)3＝－x3＝－f (x)且定义域为R，所以f (x)是奇函数；
B：f (－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f (x)且定义域为R，所以f (x)是奇函数；
C：f (－x)＝－x3＋1≠－f (x)，所以f (x)不是奇函数；
D：f (－x)＝-x2+1-x＝－x2+1x＝－f (x)且定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f (x)是奇函数．
故选ABD．]
2．(人教A版必修第一册P203练习T4改编)已知f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x＋4)＝f (x)，当x∈(0，2)时，f (x)＝2x，则f (2 023)＝( )
A．－2 B．－98
C．2 D．98
C [因为f (x＋4)＝f (x)，所以4是f (x)的一个周期，f (2 023)＝f (－1＋4×506)＝f (－1)＝f (1)＝21＝2，
故选C．]
3．(人教A版必修第一册P85练习T1改编)设奇函数f (x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f (x)的图象如图所示，则不等式f (x)<0的解集为________．
(－2，0)∪(2，5] [由题图可知，当00；当20．
综上，f (x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5]．]
4．(人教A版必修第一册P86习题3.2T11改编)已知函数y＝f (x)是定义在R上的奇函数，x>0时，f (x)＝x4－2x，则函数f (x)在(－∞，0)上的解析式为________．
f (x)＝－x4－2x [因为函数y＝f (x)是定义在R上的奇函数，
设x<0，有－x>0，
则f (－x)＝(－x)4－2(－x)＝x4＋2x，
又由函数f (x)为奇函数，则f (x)＝－f (－x)＝-x4－2x，
则f (x)＝－x4－2x．
故答案为f (x)＝－x4－2x．]
5．(2024·江西上饶高三校考阶段练习)函数f (x)＝x2lg42+x2-x的大致图象是( )
A B
C D
D [因为2+x2-x>0，即(x＋2)·(x－2)<0，所以－2所以函数f (x)＝x2lg42+x2-x的定义域为(－2，2)，关于原点对称，又f (－x)＝(－x)2lg42-x2+x＝－f (x)，所以函数f (x)是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，C；
当x∈(0，2)时，2+x2-x>1，即lg42+x2-x>0，
因此f (x)>0，故排除A．
故选D．]
6．(2024·禹州市高级中学校考阶段练习)已知函数f (x)是偶函数，且f (x)在[0，＋∞)上单调递增，若f 12＝0，则不等式f (lg4x)>0的解集为( )
A．{x|x>2}
B．x│0C．x│02
D．x│122
C [依题意，不等式f (lg4x)>0⇔f (|lg4x|)> f 12，
又f (x)在[0，＋∞)上单调递增，所以|lg4x|>12，
即lg4x<－12或lg4x>12，
解得02．
故选C．]
7．已知偶函数f (x)在(－∞，0]上单调递增，则f (3－2x)>f (1)的解集是( )
A．(－1，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，2) D．(1，2)
D [由偶函数的对称性知：f (x)在(－∞，0]上单调递增，则在(0，＋∞)上单调递减，
所以|3－2x|<1，故－1<3－2x<1，可得1所以不等式解集为(1，2)．
故选D．]
8．(2024·江西宜春高三校考)定义在R上的不恒为零的偶函数f (x)满足xf (x＋2)＝(x＋2)f (x)，且f (2)＝4．则f2k+f-2k＝( )
A．30 B．60
C．90 D．120
D [由题意可知，fx+2x+2＝fxx，且f22＝2，
则f22＝f44＝f66＝f88＝f1010＝2，
所以f (2)＋f (4)＋f (6)＋f (8)＋f (10)＝2(2＋4＋6＋8＋10)＝60，
因为函数f (x)为偶函数，所以f (－2)＋f (－4)＋f (－6)＋f (－8)＋f (－10)＝60，
则f2k+f-2k＝60＋60＝120．
故选D．]
9．(2024·四川绵阳统考模拟预测)设函数f (x)在定义域R上满足f (－x)＋f (x)＝0，若f (x)在(－∞，0)上单调递减，且f (－1)＝0，则不等式f (ex)<0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－1，0) D．1e，1
A [∵f (－x)＋f (x)＝0，即f (x)＝－f (－x)，
故函数f (x)在定义域R上是奇函数，
若f (x)在(－∞，0)上单调递减，则f (x)在(0，＋∞)上单调递减，
∵ex>0，且f (1)＝－f (－1)＝0，
若f (ex)<0，则ex>1，解得x>0，
故不等式f (ex)<0的解集为(0，＋∞)．
故选A．]
10．(2024·烟台模拟)已知f (x)为定义在R上的奇函数，且f (x)＋f (2－x)＝0，当－1＜x＜0时，f (x)＝2x，则f (2＋lg25)的值为________．
－45 [因为f (2－x)＝－f (x)＝f (－x)，
所以f (2＋x)＝f (x)，
所以f (x)的周期为2，
所以f (2＋lg25)＝f 2×2+lg254
＝f lg254＝－f lg245，
又－1＜lg245＜0，
所以f (2＋lg25)＝－f lg245＝-2lg245＝－45．]
11．已知定义在R上的函数f (x)，g(x)分别是奇函数和偶函数，且f (x)＋g(x)＝x2－2x，则f (2)＋g(1)＝________．
－3 [∵f (x)＋g(x)＝x2－2x，
∴f (－x)＋g(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x．
由f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，得f (－x)＝－f (x)，g(－x)＝g(x)，
代入上式，－f (x)＋g(x)＝x2＋2x，
则有f (x)＝－2x，g(x)＝x2；
则f (2)＋g(1)＝－4＋1＝－3．
故答案为－3．]
12．(2024·河南周口统考模拟预测)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，f (x)在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式fx-2x<0的解集为________．
(－1，0)∪(5，＋∞) [因为函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
所以f (x)在(－∞，0]上单调递增，
由f (3)＝0，得f (－3)＝0，
fx-2x<0，当x<0时，f (x－2)>0＝f (－3)，
有x-2<0x-2>-3，解得－1当x>0时，f (x－2)<0＝f (3)，
有x-2>0x-2>3，解得x>5，
综上，不等式fx-2x<0的解集为(－1，0)∪(5，＋∞)．
故答案为(－1，0)∪(5，＋∞)．]
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数
关于原点对称