高考数学一轮复习第2章第3课时函数的奇偶性、周期性与对称性学案

这是一份高考数学一轮复习第2章第3课时函数的奇偶性、周期性与对称性学案，共19页。

2．了解函数的最小正周期的含义.
3．会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题．
1．函数的奇偶性
2．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
[常用结论]
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0．如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，
奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a>0)．
3．函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a+b2对称．
f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点a+b2，0对称．
(3)f(2a－x)＝－f(x)＋2b⇔f(x)的图象关于点(a，b)对称．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(2)已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，若f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0.( )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．( )
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)是周期为2a的周期函数．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x)＝2x4＋3x2 B．f(x)＝x3－2x
C．f(x)＝x2+1x D．f(x)＝x3＋1
[答案] BC
2．(人教A版必修第一册P203练习T4改编)若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0，2)时，f(x)＝2－x，则f(2 023)＝________．
12 [∵f(x)的周期为2，∴f(2 023)＝f(1)＝2-1＝12.]
3．(人教A版必修第一册P86习题3.2T11改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝________．
－1 －2－x－2x＋1 [∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，即1＋a＝0，∴a＝－1.
∴当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，
设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝2－x＋2x－1，∴f(x)＝－2－x－2x＋1.]
4．(人教A版必修第一册P85练习T1改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．
(－2，0)∪(2，5] [由题图可知，当00；当20.
综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5].]
考点一 函数的奇偶性
判断函数的奇偶性
[典例1] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3-x2+x2-3；
(2)f(x)＝lg1-x2x-2-2；
(3)f(x)＝x2+x，x<0，-x2+x，x>0；
(4)f(x)＝lg2(x＋x2+1)．
[解] (1)由3-x2≥0，x2-3≥0，得x2＝3，解得x＝±3，
即函数f(x)的定义域为{－3，3}，
从而f(x)＝3-x2+x2-3＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由1-x2>0，x-2≠2，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称．
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝lg1-x2-x.
又∵f(－x)＝lg1--x2x＝－lg1-x2-x＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．
(4)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝lg2[－x＋-x2+1]＝lg2(x2+1－x)＝lg2(x2+1＋x)-1＝－lg2(x2+1＋x)＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
函数奇偶性的应用
[典例2] (1)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
(2)已知函数fx＝sinxx+1x-a为奇函数，则a＝( )
A．－1 B．12
C．－12 D．1
(3)已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为________．
(1)D (2)D (3)(－2，－1)∪(1，2) [(1)∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，
设x＜0，则－x＞0，
∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
故选D.
(2)函数的定义域为xx≠-1且x≠a，因为fx＝sinxx+1x-a为奇函数，所以定义域关于原点对称，则a＝1，所以fx＝sinxx+1x-1＝sinxx2-1，
因为f-x＝sin-x-x2-1＝-sinxx2-1＝－f(x)，满足f(x)为奇函数，故选D.
(3)∵xf(x)<0，
∴x和f(x)异号，
由于f(x)为奇函数，补齐函数的图象如图．
当x∈(－2，－1)∪(0，1)∪(2，＋∞)时，f(x)>0，
当x∈(－∞，－2)∪(－1，0)∪(1，2)时，f(x)<0，
∴不等式xf(x)<0的解集为(－2，－1)∪(1，2)．]
判断函数奇偶性的两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
[跟进训练]
1．(1)(多选)(链接常用结论1)设函数f(x)＝ex-e-x2，则下列结论正确的是( )
A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
(2)(多选)若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex，则( )
A．f(x)＝ex+e-x2 B．g(x)＝ex-e-x2
C．f(－2)(3)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为( )
A．－2 B．0
C．2 D．4
(1)ABC (2)AD (3)C [(1)对于A，B，C用定义验证正确；因为f(x)＝ex-e-x2，则f(－x)＝e-x-ex2＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数，所以D错误．
(2)因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex，①
所以f(－x)＋2g(－x)＝e－x，即f(x)－2g(x)＝e－x.②
联立①②fx+2gx=ex，fx-2gx=e-x，
解得fx=ex+e-x2，gx=ex-e-x4，
所以f(－2)＝e-2+e22，f(－3)＝e-3+e32，g(－1)＝e-1-e4<0，所以g(－1)(3)依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，
显然函数g(x)的定义域为R，
则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，
即函数g(x)是奇函数，
因此，函数g(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，
则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，
于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，
所以M＋N的值为2.]
考点二 函数的周期性
[典例3] (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0，2)时，f(x)＝x2，则f132＝( )
A．－94 B．－14
C．14 D．94
(2)(2023·武汉模拟)定义在R上的函数fx满足fx+1＝fx－2，则下列是周期函数的是( )
A．y＝fx－x B．y＝fx＋x
C．y＝fx－2x D．y＝fx＋2x
(3)(链接常用结论2)已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－1fx，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1．则f(17)＝________．
(1)A (2)D (3)1 [(1)由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4，
又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f132＝f8-32＝f-32＝－f32＝－94.
(2)依题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期为1的周期函数．故选D.
(3)因为f(x＋2)＝－1fx，
所以f(x＋4)＝－1fx+2＝f(x)，
所以函数y＝f(x)的周期T＝4.
f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.]
【教师备选题】
若函数f(x)＝2-x，x≤0， fx-1-fx-2，x＞0，则f(2 023)＝________．
－1 [当x>0时，
f(x)＝f(x－1)－f(x－2)， ①
∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)， ②
①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，
∴f(x)的周期为6，∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.]
1．求函数周期的三种方法
(1)定义法：即f(x＋T)＝f(x)，其中T是非零常数；
(2)递推法：如：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f((x＋a)＋a)＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期；
(3)换元法：如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，则x＝t＋a，则f(t＋2a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期．
2．利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
[跟进训练]
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)f(x)的最小正周期是________；
(2)当x∈[2，4]时，f(x)＝________；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝________．
(1)4 (2)x2－6x＋8 (3)0 [(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得
f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
即当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，
且f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝0.]
考点三 函数的对称性
[典例4] (1)(多选)(2023·南京一中模拟)对于定义在R上的函数fx，下列说法正确的是( )
A．若fx是奇函数，则fx-1的图象关于点1，0对称
B．若对x∈R，有fx+1＝fx-1，则fx的图象关于直线x＝1对称
C．若函数fx+1的图象关于直线x＝－1对称，则fx为偶函数
D．若fx+1＋f1-x＝2，则fx的图象关于点1，1对称
(2)(2023·潍坊模拟)已知函数fx满足：对任意的x∈R，fx＋f5-x＝－1，若函数y＝f(x)与y＝1-x2x-5图象的交点为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，则i=1 nxi+yi值为( )
A．0 B．n
C．2n D．3n
(1)ACD (2)C [(1)对于A，fx是奇函数，故图象关于原点对称，将fx的图象向右平移1个单位长度得到fx-1的图象，故fx-1的图象关于点(1，0)对称，正确；对于B，若对x∈R，有fx+1＝fx-1，
得fx+2＝fx，所以fx是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线x＝1对称，错误；
对于C，若函数fx+1的图象关于直线x＝－1对称，
则fx的图象关于y轴对称，故为偶函数，正确；
对于D，由fx+1＋f1-x＝2得
fx的图象关于点(1，1)对称，正确．故选ACD.
(2)由对任意的x∈R，fx＋f5-x＝－1，
可知函数的图象关于点52，-12对称，
又y＝1-x2x-5＝-x+12x-5＝－12-322x-5，
所以函数y＝1-x2x-5的中心对称点为52，-12，
所以两个函数图象的交点成对出现，
且每对交点都关于点52，-12对称，
则x1＋xn＝x2＋xn－1＝…＝52×2＝5，y1＋yn＝y2＋yn－1＝…＝－12×2＝－1，
所以i=1nxi+yi＝5×n2+-1×n2＝2n.故选C.]
函数图象的对称性的判断
(1)若函数y＝f(x)为奇函数(或偶函数)，则函数y＝f(x＋a)的图象关于点(－a，0)对称(或关于直线x＝－a对称)．
(2)若函数y＝f(x＋a)为奇函数(或偶函数)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称(或关于直线x＝a对称)．
(3)函数y＝f(x)的图象关于点A(a，b)对称的充要条件是f(x)＋f(2a－x)＝2b.
[跟进训练]
3．(1)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝x2-4x-5与函数y＝fx图象的交点为x1，y1，x2，y2，…，xn，yn，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝( )
A．4n B．2n
C．n D．2
(2)(链接常用结论3)(2022·福州三模)定义在R上的函数fx满足f2-x＝2－fx.若fx的图象关于直线x＝3对称，则下列选项中一定成立的是( )
A．f-3＝1 B．f0＝0
C．f3＝2 D．f5＝－1
(3)(举例问题)写出一个对称中心为π4，0的函数f(x)＝________．
(1)B (2)A (3)sinx-π4(答案不唯一，任何奇函数向右平移π4个单位长度均可) [(1)由fx+2是偶函数，知函数fx的图象关于直线x＝2对称，函数y＝x2-4x-5＝x-22-9，其图象也关于直线x＝2对称，所以函数y＝x2-4x-5与函数y＝fx图象的交点也关于直线x＝2对称，
当n为偶数时，其和为4×n2＝2n；当n为奇数时，
其和为4×n-12＋2＝2n.故选B.
(2)函数fx的图象关于直线x＝3对称，则必有f(3－x)＝f(x＋3)，所以，f(0)＝f(6)，
f(1)＝f(5)，f(2)＝f(4)，又因为fx满足f2-x＝2－fx，取x＝1，所以，f(1)＝2－f(1)，f(1)＝1，则f(1)＝f(5)＝1，取x＝5，则f(－3)＝2－f(5)＝1，A正确．故选A.
(3)要使对称中心为π4，0，可将任何奇函数向右平移π4个单位长度即可，如将y＝sin x向右平移π4个单位长度可得f(x)＝sin x-π4.]
课时分层作业(七) 函数的奇偶性、周期性与对称性
一、选择题
1．下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cs x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
B [根据偶函数的定义知，偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数．]
2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝( )
A．－3 B．－54
C．54 D．3
A [由题意得f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，
则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.]
3．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝1-x1+x，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
B [f(x)＝1-x1+x＝2-x+11+x＝21+x－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1，故选B.]
4．已知函数f(x)＝x3＋sin x＋2，若f(m)＝3，则f(－m)＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
B [法一：由题意知，f(m)＝m3＋sin m＋2，f(－m)＝－m3－sin m＋2，两式相加得，f(m)＋f(－m)＝4，所以f(－m)＝4－f(m)＝4－3＝1．故选B.
法二：由y＝x3＋sin x是奇函数，得f(m)＋f(－m)＝4，所以f(－m)＝1.]
5．(2022·安阳模拟)设函数fx＝ax3－x-3＋a，若函数fx-1的图象关于点1，0对称，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
B [因为函数fx-1的图象关于点1，0对称，故函数fx的图象关于点0，0对称，即fx为奇函数，故f-x＋fx＝a-x3－-x-3＋a＋ax3－x-3＋a＝2a＝0，所以a＝0．故选B.]
6．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)等于( )
A．336 B．338
C．337 D．339
B [因为f(x＋6)＝f(x)，所以函数的周期T＝6，
于是f(1)＝1，f(2)＝2，
f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，
f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，
f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，
而2 023＝6×337＋1，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝337×1＋1＝338.]
7．(多选)若函数f(x＋3)为R上的偶函数，则下列各式成立的是( )
A．f(－x＋3)＝f(x＋3)
B．f(－x－3)＝f(x＋3)
C．函数f(x)的图象关于直线x＝3对称
D．函数f(x)的图象关于直线x＝－3对称
AC [设g(x)＝f(x＋3)，由题意可知g(－x)＝f(－x＋3)＝g(x)＝f(x＋3)，即f(－x＋3)＝f(x＋3)，故A正确；由函数f(x＋3)为R上的偶函数可知，f(x＋3)的图象关于直线x＝0对称，又知把f(x＋3)的图象向右平移3个单位长度得到f(x)的图象，所以函数f(x)的图象关于直线x＝3对称．]
8．(多选)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则下列结论正确的是( )
A．|f(x)|≥2
B．当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3
C．直线x＝1是f(x)图象的一条对称轴
D．f(x)在(－∞，－1)上单调递增
ABD [当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，所以f(x)＝x2-2x+3，x>0，-x2-2x-3，x<0，作出f(x)的图象如图所示，
由图可知f(x)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以|f(x)|≥2，故A正确；当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3，故B正确；由图象可知直线x＝1显然不是f(x)的对称轴，故C错误；由图象可知f(x)在(－∞，－1)上单调递增，故D正确．]
二、填空题
9．设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，且f(1)＝2，则f(2)＋f(3)的值为________．
－2 [因为函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－x)＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x)，所以f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(3)＝f(0)＝0，所以f(2)＋f(3)＝－2.]
10．(2023·福州模拟)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝________．
已知函数满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数在0，12上单调递减．
2sin π2x+5π4(答案不唯一) [对于①，若f(3－x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于点32，0中心对称，
对于②，若f(x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝12对称，设f(x)＝2sin (ωx＋φ)，则T＝4×32-12＝4，ω＝π2，
又f(x)的图象关于直线x＝12对称，且函数在0，12上单调递减，则ω2＋φ＝3π2＋2kπ，k∈Z，得φ＝5π4＋2kπ， k∈Z.]
11．已知函数y＝f(x)－2为奇函数，g(x)＝2x+1x，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则y1＋y2＋…＋y6＝________．
12 [∵函数y＝f(x)－2为奇函数，
∴函数y＝f(x)的图象关于点(0，2)对称，
又g(x)＝2x+1x＝1x＋2，其图象也关于点(0，2)对称，
∴两函数图象交点关于点(0，2)对称，
则y1＋y2＋…＋y6＝3×4＝12.]
12．已知函数f(x)＝lg2(x2+a－x)是奇函数，则a＝________，若g(x)＝fx，x≤0，2x-1，x＞0，则g(g(－1))＝______．
1 2 [法一：由f(x)＝lg2(x2+a－x)得x2+a－x＞0，则a＞0，所以函数f(x)的定义域为R.因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝lg2a＝0，解得a＝1．所以g(－1)＝f(－1)＝lg2(2＋1)＞0，g(g(－1))＝2lg2(2＋1)－1＝2.
法二：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝lg2(-x2+a＋x)＋lg2(x2+a－x)＝lg2[(x2+a＋x)(x2+a－x)]＝lg2a＝0，得a＝1．经检验a＝1符合题意．所以g(－1)＝f(－1)＝lg2(2＋1)＞0，g(g(－1))＝2lg2(2＋1)－1＝2.]
13．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)是偶函数，f(2x＋1)是奇函数，则( )
A．f-12＝0 B．f(－1)＝0
C．f(2)＝0 D．f(4)＝0
B [∵f(x＋2)是偶函数，则f(－x＋2)＝f(x＋2)，
∵f(2x＋1)是奇函数，则f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，
且由F(x)＝f(2x＋1)是奇函数，可得F(0)＝f(1)＝0，
∴f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0，且易知函数f(x)的周期为4，其他几个不一定为0，故选B.]
14．已知函数fx的定义域为R，且满足fx+1＝fx-1，f1-x＋fx＝1，则fx的最小正周期为________，fx的一个解析式可以为________.
2 fx＝12＋cs πx (答案不唯一) [因为f(x＋1)＝f(x－1)，
所以fx＝fx-2，fx的最小正周期为2.
因为f1-x＋fx＝1，
所以函数fx关于点12，12对称，
满足关于点12，12对称以及最小正周期为2的方程可以为fx＝12＋cs πx.]
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称