2020版一轮复习数学（理）江苏专版学案：第二章第三节函数的奇偶性及周期性

第三节函数的奇偶性及周期性


1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝ －f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2．函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

[小题体验]
1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝________.
答案：－2
2．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________.
答案：－1
3．若函数f(x)＝(a－1)x2＋(a＋1)x＋a2－1是奇函数，则实数a的值是________．
解析：由于函数f(x)的定义域为R，又函数f(x)是奇函数，故f(0)＝0，解得a＝1或a＝－1(舍去)，经检验a＝1时符合题意．
答案：1

1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．
3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．
[小题纠偏]
1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b＝________.
解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝.
答案：
2．函数f(x)＝的奇偶性为________．
解析：因为x≠0，故f(x)的定义域关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，所以f(－x)＝log2x＝f(x)．
当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝log2(－x)＝f(x)．
故f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
答案：偶函数

　
[题组练透]
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝；
(5)(易错题)f(x)＝
解：(1)因为由得x＝±1，
所以f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)因为函数f(x)＝＋的定义域为，不关于坐标原点对称，
所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)因为f(x)的定义域为R，
所以f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(4)因为由得－2≤x≤2且x≠0.
所以f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
所以f(x)＝＝＝，
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，
则当x＜0时，－x＞0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
[谨记通法]
判定函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法

(2)图象法

(3)性质法
①设f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
[提醒]　(1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．
　
[典例引领]
设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)．
解：(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
所以f(x)是周期为4的周期函数．
(2)因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0.
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.
[由题悟法]
1．判断函数周期性的2个方法
(1)定义法．
(2)图象法．
2．周期性3个常用结论
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a.
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a.
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．
[即时应用]
1．(2018·镇江调研)已知f(x)是定义在R上周期为4的函数，且f(－x)＋f(x)＝0，当0＜x＜2时，f(x)＝2x－1，则f(－21)＋f(16)＝________.
解析：由f(－x)＋f(x)＝0，知f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又f(x＋4)＝f(x)，且当0＜x＜2时，f(x)＝2x－1，
∴f(－21)＋f(16)＝f(－1)＋f(0)
＝－f(1)＝－(21－1)＝－1.
答案：－1
2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．
解析：因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，
又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.
故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.
答案：7
　
[锁定考向]
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以填空题形式出现．
常见的命题角度有：
(1)奇偶性的应用；
(2)单调性与奇偶性结合；
(3)周期性与奇偶性结合；
(4)单调性、奇偶性与周期性结合．　　　 　
[题点全练]
角度一：奇偶性的应用
1．(2018·连云港模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x，则当x＞0时，f(x)＝________.
解析：x＞0时，－x＜0，因为x＜0时，f(x)＝2x，所以当x＞0时，f(－x)＝2－x.因为f(x)是R上的奇函数，所以当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.
答案：－2－x
角度二：单调性与奇偶性结合
2．已知函数f(x)＝是奇函数，且函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围为________．
解析：当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－[－(－x)2＋2×(－x)]＝x2＋2x，x＜0，所以m＝2，所以f(x)的单调递增区间为[－1，1]，因此[－1，a－2]⊆[－1,1]⇒－1＜a－2≤1⇒1＜a≤3.
答案：(1,3]
角度三：周期性与奇偶性结合
3．(2019·江阴期中)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当1≤x≤2时f(x)＝x－2，则f(6.5)＝________.
解析：∵f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)，即函数f(x)的周期为4.
∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(6.5)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝－0.5.
答案：－0.5
角度四：单调性、奇偶性与周期性结合
4．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，f(x－1)＝f(x＋1)成立，当x∈(0,1)且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：
①f(1)＝0；
②f(x)在区间[－2,2]上有5个零点；
③点(2 018,0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心；
④直线x＝2 018是函数y＝f(x)图象的一条对称轴．
则正确命题的序号为________．
解析：在f(x－1)＝f(x＋1)中，令x＝0，得f(－1)＝f(1)，又f(－1)＝－f(1)，∴2f(1)＝0，∴f(1)＝0，故①正确；由f(x－1)＝f(x＋1)，得f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期为2的周期函数，∴f(2)＝f(0)＝0，又当x∈(0,1)且x1≠x2时，有＜0，∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，可作出函数f(x)的大致图象如图所示．

由图知②③正确，④不正确，故正确命题的序号为①②③.
答案：①②③
[通法在握]
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
[演练冲关]
1．(2018·启东中学月考)已知函数f(x)在定义域[2－a,3]上是偶函数，在[0,3]上单调递减，且f＞f(－m2＋2m－2)，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)在定义域[2－a,3]上是偶函数，所以2－a＋3＝0，所以a＝5，所以f＞f(－m2＋2m－2)，即f(－m2－1)＞f(－m2＋2m－2)．由题意知偶函数f(x)在 [－3,0]上单调递增，而－m2－1＜0，－m2＋2m－2＝－(m－1)2－1＜0，所以由f(－m2－1)＞f(－m2＋2m－2)，得解得1－≤m＜.
答案：
2．设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝则f(2 018)＝________.
解析：设0＜x≤2，则－2≤－x＜0，f(－x)＝－ax＋b.f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－ax＋1＝－ax＋b，所以b＝1.而f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，所以 －2a＋1＝2a－1，解得a＝，所以f(2 018)＝f(2)＝2×－1＝0.
答案：0

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1．(2019·南通中学高三测试)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－1)＝2，那么f(0)＋f(1)＝________.
解析：因为函数f(x)是R上的奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
f(1)＝－f(－1)＝－2，f(0)＝0，
所以f(0)＋f(1)＝－2.
答案：－2
2．(2018·南京三模)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2，则不等式f(x－1)≤2的解集是________．
解析：偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝2.
所以f(x－1)≤2，即f(|x－1|)≤f(2)，即|x－1|≤2，所以－1≤x≤3.
答案：[－1,3]
3．函数f(x)＝x＋＋1，f(a)＝3，则f(－a)＝________.
解析：由题意得f(a)＋f(－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2.
所以f(－a)＝2－f(a)＝－1.
答案：－1
4．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
解析：因为f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝＋1，
所以当x＜0时，－x＞0，
f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，
即x＜0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.
答案：－－1
5．(2019·连云港高三测试)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝ x，则f(－2＋log35)＝________.
解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(－2＋log35)＝－f(2－log35)，
由于当x＞0时，f(x)＝x，
故f(－2＋log35)＝－f＝－＝－.
答案：－
6．(2018·南通一调)若函数f(x)＝(a，b∈R)为奇函数，则f(a＋b)＝________.
解析：法一：因为函数f(x)为奇函数，
所以即
解得经验证a＝－1，b＝2满足题设条件，
所以f(a＋b)＝f(1)＝－1.
法二：因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，由题意知，
当x≥0，二次函数的图象顶点坐标为，
当x＜0，二次函数的图象顶点坐标为(－1，－a)，
所以解得a＝－1，b＝2，
经验证a＝－1，b＝2满足题设条件，
所以f(a＋b)＝f(1)＝－1.
答案：－1
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1．(2018·抚顺期末)设f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为________．
解析：∵f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，
∴－2b＋3＋b＝0，
∴b＝3，
∴f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上为增函数，
∴f(x)在[0,6]上为减函数，
∴由f(x－1)≥f(3)，得|x－1|≤3，
解得－2≤x≤4，
∴f(x－1)≥f(3)的解集为{x|－2≤x≤4}．
答案：{x|－2≤x≤4}
2．(2019·常州一中模拟)设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x)＝1，且当x∈[1,2]时，f(x)＝2－x，则f(－2 018.5)＝________.
解析：由f(x＋1)＋f(x)＝1在R上恒成立，得f(x－1)＋f(x)＝1，两式相减得f(x＋1)－f(x－1)＝0，即f(x＋1)＝f(x－1)恒成立，故函数f(x)的周期是2，
∴f(－2 018.5)＝f(－0.5)＝f(1.5)，
又当x∈[1,2]时，f(x)＝2－x，
∴f(－2 018.5)＝f(1.5)＝2－1.5＝0.5.
答案：0.5
3．已知函数f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上是单调减函数．若f(2x＋1)＋f(1)＜0，则x的取值范围是________．
解析：∵函数f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上是单调减函数，
∴函数f(x)在区间[－2,2]上是单调减函数．
∵f(2x＋1)＋f(1)＜0，即f(2x＋1)＜－f(1)，
∴f(2x＋1)＜f(－1)．
则解得－1＜x≤.
∴x的取值范围是.
答案：
4．(2018·泰州期末)设f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x＋ln，记an＝f(n－5)，则数列{an}的前8项和为________．
解析：数列{an}的前8项和为f(－4)＋f(－3)＋…＋f(3)＝f(－4)＋(f(－3)＋f(3))＋(f(－2)＋f(2))＋(f(－1)＋f(1))＋f(0)＝f(－4)＝－f(4)＝－＝－16.
答案：－16
5．(2018·徐州期中)已知函数f(x)＝ex－e－x＋1(e为自然对数的底数)，若f(2x－1)＋f(4－x2)＞2，则实数x的取值范围为________．
解析：令g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x，则g(x)为奇函数，且在R上单调递增．因为f(2x－1)＋f(4－x2)＞2，所以f(2x－1)－1＋f(4－x2)－1＞0，即g(2x－1)＋g(4－x2)＞0，所以g(2x－1)＞g(x2－4)，即2x－1＞x2－4，解得x∈(－1,3)．
答案：(－1,3)
6．(2019·镇江中学测试)已知奇函数f(x)在定义域R上是单调减函数，若实数a满足 f(2|2a－1|)＋f(－2)＞0，则a的取值范围是________．
解析：由f(2|2a－1|)＋f(－2)＞0，可得f(2|2a－1|)＞－f(－2)．因为f(x)为奇函数，所以f(2|2a－1|)＞f(2)．因为f(x)在定义域R上是单调减函数，所以2|2a－1|＜2，即|2a－1|＜，解得－＜a＜.
答案：
7．(2019·苏州调研)已知奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则不等式＞0的解集为________．
解析：由＞0，可得或因为奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝f(－2)＝0，所以当x＞1时，f(x)＞0的解集为(1,2)；当x＜1时，f(x)＜0的解集为(－2,0)．
所以不等式＞0的解集为(－2,0)∪(1,2)．
答案：(－2,0)∪(1,2)
8．函数f(x)在R上满足f(－x)＝－f(x)，当x≥0时，f(x)＝－ex＋1＋mcos(π＋x)，记a＝－πf(－π)，b＝－·f，c＝ef(e)，则a，b，c的大小关系为________．
解析：∵函数f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－ex＋1＋mcos(π＋x)，
∴f(0)＝－1＋1－m＝0，即m＝0，
∴f(x)＝－ex＋1(x≥0)．
令g(x)＝xf(x)，
有g(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝g(x)，
∴函数g(x)为偶函数，
当x≥0时，g(x)＝xf(x)＝x(1－ex)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝1－(1＋x)ex＜0，
∴函数g(x)在[0，＋∞)上为减函数，
∵a＝－πf(－π)＝g(－π)＝g(π)，b＝－f＝g＝g，c＝ef(e)＝g(e)，
又e＜π＜，∴b＜a＜c.
答案：b＜a＜c
9．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(如图所示)知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．

10．(2018·大同期末)已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)，其中a＞0，a≠1.
(1)求函数F(x)＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)判断F(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)当a＞1时，求使F(x)＞0成立的x的取值范围．
解：(1)∵F(x)＝f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
∴解得－1＜x＜1，
∴函数F(x)的定义域为(－1,1)．
(2)F(x)为(－1,1)上的奇函数．理由如下：
由(1)知F(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，F(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝ －[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－F(x)，
∴函数F(x)为(－1,1)上的奇函数．
(3)根据题意，F(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
当a＞1时，由F(x)＞0，得loga(x＋1)＞loga(1－x)，
即
解得0＜x＜1，
故x的取值范围为(0,1)．
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1．(2019·南通模拟)已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x＜0时，f(x)＝2x，若an＝f(n)(n∈N*)，则a2 018＝________.
解析：∵f(2＋x)＝f(2－x)，以2＋x代替上式中的x，得f(4＋x)＝f(－x)，
又函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(4＋x)＝f(－x)＝－f(x)，
再以4＋x代替上式中的x，得f(8＋x)＝－f(4＋x)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为8.
∴a2 018＝f(2 018)＝f(252×8＋2)＝f(2)，
而f(2)＝－f(－2)＝－，
∴a2 018＝－.
答案：－
2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；
(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值．
解：(1)由f＝－f，
且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＝
－f＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，
所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
(3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，
且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数．
故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，
即g(－x)＝g(x)恒成立，
于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立．
于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.