2025届新高考数学考点全复习讲义2.3函数的奇偶性、周期性与对称性

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2.能够通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式及推论.
3.会依据函数的性质进行简单的应用.
基础知识
1.函数的奇偶性
提醒 函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称.
2.函数的周期性
（1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且 ，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；
（2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.
3.函数的对称性
（1）函数y＝f（x）与y＝－f（x）关于 对称；
（2）函数y＝f（x）与y＝f（－x）关于 对称；
（3）函数y＝f（x）与y＝－f（－x）关于 对称；
（4）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）的图象关于直线 对称；
（5）若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝－f（a＋x），则函数的图象关于点 对称.
课前自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝x2在x∈（0，＋∞）上是偶函数.（ ）
（2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0.（ ）
（3）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期.（ ）
（4）若函数f（x）满足f（x－1）＋f（x＋1）＝0，则f（x）的图象关于y轴对称.（ ）
2.（多选）下列函数中为偶函数的是（ ）
A.y＝x2sin xB.y＝x2cs x
C.y＝ln ｜x｜D.y＝2－x
3.（2024·咸阳一模）定义在R上的函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1）时，f（x）＝x，则f（32）＝（ ）
A.22 B.12
C.－22 D.－12
4.（2024·张家界一模）已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b＝ .
5.已知函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝x2＋4，则f（2 024）＝ .
常用结论
1.函数奇偶性常用结论
（1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）；
（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
2.函数周期性常用结论
对f（x）定义域内任一自变量x：
（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）；
（2）若f（x＋a）＝1f（x），则T＝2a（a＞0）；
（3）若f（x＋a）＝－1f（x），则T＝2a（a＞0）.
3.函数图象的对称性
（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称；
（2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.
结论应用
1.已知函数f（x＋1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x1）－f（x2）]（x1－x2）＞0恒成立，设a＝f（－12），b＝f（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A.b＜a＜c B.c＜b＜a
C.b＜c＜a D.a＜b＜c
2.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝－1f（x），当x∈（0，2]时，f（x）＝2x－1，则f（9）＝ .
3.已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋m，则f（－3）＝ .
第1课时 函数的奇偶性、周期性与对称性
聚焦考点 课堂演练

考点1 函数的奇偶性
考向1 函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x3－1x；
（2）f（x）＝x2－1＋1－x2；
（3）f（x）＝36－x2｜x+3|−3；
（4）f（x）＝x2＋x，x<0，x2－x，x>0.
方法技巧
函数奇偶性的判断方法
（1）定义法
（2）图象法
（3）性质法：设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.
提醒 对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f（－x0）＝－f（x0），不能判定函数f（x）是奇函数.
考向2 利用函数的奇偶性求参数值
【例2】 （2023·全国乙卷4题）已知f（x）＝xexeax－1是偶函数，则a＝（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
方法技巧
利用函数的奇偶性求参数值的解题策略
（1）若定义域含参数，则利用奇（偶）函数f（x）的定义域[a，b]关于原点对称，即利用a＋b＝0求参数；
（2）若解析式含参数，则根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数求解，或者根据等价变形求解，对于在x＝0处有定义的奇函数f（x），也可考虑列等式f（0）＝0求解.
考向3 利用奇偶性求解析式及函数值
【例3】 （1）已知偶函数f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝2sin x，当x∈[2，＋∞）时，f（x）＝lg2x，则f（－π3）＋f（4）＝（ ）
A.－3＋2 B.1
C.3＋2 D.3
（2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2－x＋1，则函数f（x）的解析式为 .
方法技巧
利用函数奇偶性求解析式及函数值的解题策略
（1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f（x）的解析式；
（2）求函数值：利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解.
跟踪训练
1.已知函数f（x）＝x2－ax，x≤0，ax2＋x，x>0为奇函数，则a＝（ ）
A.－1 B.1
C.0 D.±1
2.（多选）下列函数中为非奇非偶函数的是（ ）
A.y＝x＋ex B.y＝x2－xx－1
C.y＝2x＋12x D.y＝1+x2
3.已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）＋g（x）＝2·3x，则函数f（x）＝ .
考点2 函数的周期性
【例4】 （2024·金华调研）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋6）＝f（x），当－3≤x＜－1时，f（x）＝－（x＋2）2，当－1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 025）＝ .
方法技巧
函数周期性的判定与应用
（1）判定：判断函数为周期函数只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）即可，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题；
（2）应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能.在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期.
跟踪训练
1.函数f（x）满足f（x－2）＝f（x＋2），当x∈（0，2）时，f（x）＝x2，则f（2 025）＝ .
2.已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，4]上与x轴的交点有 个.
考点3 函数的对称性
【例5】（多选）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x都有f（2＋x）＝f（2－x），且f（－x）＝f（x），则下列结论正确的是（ ）
A.f（x）的图象关于直线x＝2对称B.f（x）的图象关于点（2，0）对称
C.f（x）的周期为4D.y＝f（x＋4）为偶函数
方法技巧
求解与函数的对称性有关的问题时，先根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心，再结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题.
跟踪训练
1.已知函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）＝f（2－x）成立，且当x≥1时，f（x）＝2x－1，则（ ）
A.f（13）＜f（32）＜f（23）B.f（23）＜f（32）＜f（13）
C.f（23）＜f（13）＜f（32）D.f（32）＜f（23）＜f（13）
2.（多选）关于函数f（x）＝sin x＋1sinx有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A.f（x）的图象关于y轴对称B.f（x）的图象关于原点对称
C.f（x）的图象关于直线x＝π2对称D.f（x）的图象关于点（π，0）对称
第三节 函数的奇偶性、周期性与对称性
课后分层跟踪巩固
基础达标 A
1.（多选）下列函数是奇函数的是（ ）
A.y＝sin x B.y＝cs x
C.y＝x3 D.y＝3x
解析：AC 对于B，因为cs（－x） ＝cs x，所以函数y＝cs x为偶函数，故B不正确；对于A，因为sin（－x）＝－sin x，所以函数y＝sin x为奇函数，故A正确；对于C，因为（－x）3＝－x3，所以函数y＝x3为奇函数，故C正确；对于D，因为3－x＝13x，所以函数y＝3x为非奇非偶函数，故D不正确.综上所述，选AC.
2.已知函数f（x）满足对于任意的实数x，都有f（x＋3）＝1f（x），且f（3）＝13，则f（2 025）＝（ ）
A.－13 B.13 C.－1 D.1
解析：B 由f（x＋3）＝1f（x）得f（x）的周期T＝6，f（2 025）＝f（337×6＋3）＝f（3）＝13.
3.函数f（x）＝9x+13x的图象（ ）
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于坐标原点对称 D.关于直线 y＝x对称
解析：B 由题意知 f（x）的定义域为R，且f（x）＝32x+13x＝3x＋3－x，f（－x）＝3－x＋3x，∴f（－x）＝f（x），故f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称.
4.已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x－ax.若f（2）＋f（0）＝1，则f（－3）＝（ ）
A.－4 B.－3
C.－2 D.1
解析：A 因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0.又因为 f（2）＋f（0）＝1，所以f（2）＝4－a2＝1，解得a＝6，所以f（x）＝2x－6x（x＞0），所以f（－3）＝－f（3）＝－（6－63）＝－4.
5.设定义在R上的函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f（x）＝ln x－1，则f（13），f（23），f（32）的大小关系为（ ）
A.f（13）＜f（23）＜f（32）
B.f（13）＜f（32）＜f（23）
C.f（23）＜f（32）＜f（13）
D.f（32）＜f（13）＜f（23）
解析：C 由题意知，函数f（x）的图象如图所示，f（32）＝f（12），又因为f（x）在（－∞，1）上单调递减，所以f（13）＞f（12）＞f（23），即f（13）＞f（32）＞f（23）.故选C.
6.（多选）（2024·汕头一模）已知f（x）为奇函数，且f（x＋1）为偶函数，若f（1）＝0，则（ ）
A.f（3）＝0
B.f（3）＝f（5）
C.f（x＋3）＝f（x－1）
D.f（x＋2）＋f（x＋1）＝1
解析：ABC 因为函数f（x＋1）为偶函数，所以f（x＋1）＝f（1－x），又因为f（x）是R上的奇函数，所以f（x＋1）＝f（1－x）＝－f（x－1），所以f（x＋2）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）的周期为4，又因为f（1）＝0，f（3）＝f（－1）＝－f（1）＝0，f（5）＝f（1）＝0，故A、B正确；f（x＋3）＝f（x＋3－4）＝f（x－1），所以C正确；f（2）＝f（2－4）＝f（－2），同时根据奇函数的性质得f（2）＝－f（－2），所以f（2），f（－2）既相等又互为相反数，故f（2）＝0，所以f（2）＋f（1）＝0≠1，即f（x＋2）＋f（x＋1）＝1对于x＝0不成立，故D不正确.
7.已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8（a，b是常数），且f（－3）＝5，则f（3）＝ －21 .
解析：令g（x）＝x5＋ax3＋bx，则g（－x）＝（－x）5＋a（－x）3＋b（－x）＝－g（x），即g（x）是奇函数，依题意，g（x）＝f（x）＋8，而g（－3）＋g（3）＝0，则 f（－3）＋8＋f（3）＋8＝0，又f（－3）＝5，所以f（3）＝－21.
8.函数f（x）＝lg｜2x－1｜图象的对称轴方程为 x＝ 12 .
解析：内层函数t＝｜2x—1｜的对称轴是直线x＝12，所以函数f（x）＝lg｜2x－1｜图象的对称轴方程是x＝12.
9.写出一个同时具有性质①②③的函数f（x）＝ 2sinπx2（答案不唯一） .
①f（x）是定义域为R的奇函数；
②f（1＋x）＝f（1－x）；
③f（1）＝2.
解析：由题意可知，函数f（x）图象的对称轴为直线x＝1，又f（x）是定义域为R的奇函数，f（1）＝2，所以f（x）＝2sinπx2符合.
10.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x）.当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2.
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式.
解：（1）证明：因为f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）.所以f（x）是周期为4的周期函数.
（2）因为x∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]，所以4－x∈[0，2]，所以f（4－x）＝2（4－x）－（4－x）2＝－x2＋6x－8.因为f（4－x）＝f（－x）＝－f（x），所以－f（x）＝－x2＋6x－8，即f（x）＝x2－6x＋8，x∈[2，4].
综合应用 B
巩固
11.函数y＝f（x）的图象关于原点对称的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数.给定函数f（x）＝x3＋3x2，则函数f（x）的图象的对称中心是（ ）
A.点（1，－2） B.点（－2，1）
C.点（1，2） D.点（－1，2）
解析：D f（x）＝x3＋3x2＝（x＋1）3－3x－1＝（x＋1）3－3（x＋1）＋2，易知y＝f（x－1）－2＝x3－3x为奇函数，故y＝f（x－1）－2的图象关于点（0，0）对称，所以f（x）的图象的对称中心是点（－1，2）.故选D.
12.（多选）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x＋4）－f（x）＝2f（2），若y＝f（x－1）的图象关于直线x＝1对称，且对任意的x1，x2∈（0，2），且x1≠x2 ，都有f（x1)−f（x2）x1－x2＞0，则下列结论中正确的是（ ）
A.f（x）是偶函数
B.f（x＋4）＝f（x）
C.f（22）＝0
D.f（x）在（－4，－2）上单调递减
解析：ABC 由y＝f（x－1）的图象关于直线x＝1对称，则f（1＋x－1）＝f（1－x－1），即f（－x）＝f（x），故f（x）是偶函数，故选项A正确；由f（x＋4）－f（x）＝2f（2），令x＝－2，可得f（2）＝0，则f（x＋4）＝f（x），则f（x）的周期T＝4，故选项B正确；f（22）＝f（4×5＋2）＝f（2）＝0，故选项C正确；又f（x）在（0，2）上单调递增，在（－2，0）上单调递减，因为周期T＝4，则f（x）在（－4，－2）上单调递增，故选项D错误.故选A、B、C.
13.设f（x）是R上的奇函数，f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x.
（1）求f（π）的值；
（2）当－4≤x≤4时，求 f（x）的图象与x轴所围成图形的面积.
解：（1）由f（x＋2）＝－f（x）得，f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）＝f（x），
所以f（x）是以4为周期的周期函数，
所以f（π）＝f（－1×4＋π）＝f（π－4）＝－f（4－π）＝－（4－π）＝π－4.
（2）由f（x）是奇函数且f（x＋2）＝－f（x），得f[（x－1）＋2]＝－f（x－1）＝f[－（x－1）]，即f（1＋x）＝f（1－x）.
故函数y＝f（x）的图象关于直线 x＝1对称.
又当0≤x≤1时，f（x）＝x，且f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）的图象如图所示.
当－4≤x≤4时，设f（x）的图象与x轴所围成图形的面积为S，则S＝4S△OAB＝4×（12×2×1）＝4.
14.已知函数f（x）的定义域为R，若f（x＋1）－2为奇函数，且f（1－x）＝f（3＋x），则f（2 023）＝ 2 .
解析：因为f（x＋1）－2为奇函数，所以f（－x＋1）－2＝－[f（x＋1）－2]，即f（1＋x）＋f（1－x）＝4，在该式中，令x＝0，可得2f（1）＝4，则f（1）＝2.又f（1－x）＝f（3＋x），所以f（1＋x）＋f（3＋x）＝4，①.所以f（x＋3）＋f（x＋5）＝4，②.由①②可得f（x＋5）＝f（x＋1），即f（x＋4）＝f（x），所以函数f（x）为周期函数，且该函数的周期为4.所以f（2 023）＝f（4×505＋3）＝f（3）＝4－f（1）＝2.
15.我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x＋a）－b为奇函数.
（1）判断函数f（x）＝2x－12x+1的奇偶性，并求函数g（x）＝－22x－1+1的图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数y＝f（x）的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为偶函数”的一个推广结论.
解：（1）f（x）＝2x－12x+1为奇函数，
证明如下，首先f（x）定义域为R，关于原点对称，
又f（－x）＝2－x－12－x+1＝1－2x1+2x＝－2x－12x+1＝－f（x），故f（x）为奇函数，
1＋g（x）＝1－22x－1+1＝2x－1+1－22x－1+1＝2x－1－12x－1+1＝f（x－1），
故g（x）＝f（x－1）－1，于是g（x＋1）＋1＝f（x）是奇函数，
由题意知，g（x）对称中心是（1，－1）.
函数y＝f（x）的图象关于x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f（x＋a）为偶函数
第2课时 函数性质的综合应用
聚焦考点 课堂演练

考点1 函数的单调性与奇偶性
【例1】 已知函数f（x）＝4｜x｜1+｜x｜，则不等式f（2x－3）＜2的解集是（ ）
A.（1，2）B.（12，52）
C.（－∞，1）∪（2，＋∞） D.（－∞，12）∪（52，＋∞）
方法技巧
综合应用奇偶性与单调性解题的技巧
（1）比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；
（2）对于抽象函数不等式的求解，应变形为f（x1）＞f（x2）的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1＜x2（或x1＞x2）求解.
跟踪训练
已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）.若a＝g（－lg25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为 （ ）
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
考点2 函数的奇偶性与周期性
【例2】 （1）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（1）＝2，f（1＋x）＝f（1－x），则f（2 023）＋f（2 024）＝（ ）
A.4 B.0
C.－2 D.－4
（2）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），当x∈[0，1]时，f（x）单调递增，则（ ）
A.f（6）＜f（－7）＜f（112）B.f（6）＜f（112）＜f（－7）
C.f（－7）＜f（112）＜f（6）D.f（112）＜f（－7）＜f（6）
方法技巧
综合应用奇偶性与周期性解题的技巧
（1）根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期；
（2）利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化；
（3）代入已知的解析式求解即得要求的函数值.
跟踪训练
（多选）函数f（x）的定义域为R，若f（x＋1）与f（x－1）都是偶函数，则（ ）
A.f（x）是偶函数 B.f（x）是奇函数
C.f（x＋3）是偶函数 D.f（x）＝f（x＋4）
考点3 函数的对称性与周期性
【例3】（多选）（2024·苏北四市调研）设函数f（x）的定义域为R，f（2x＋1）为奇函数，f（x＋2）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝ax＋b.若f（0）＋f（3）＝－1，则（ ）
A.b＝－2B.f（2 023） ＝－1
C.f（x）为偶函数D.f（x）的图象关于点（12，0）对称
方法技巧
综合应用对称性与周期性解题的技巧
函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b－x）表明的是函数图象的对称性，函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b＋x）（a≠b）表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
跟踪训练
1.已知定义在R上的函数f（x），对任意实数x都有f（x＋4）＝－f（x），若函数y＝f（x－1）的图象关于直线x＝1对称，f（－1）＝2，则f（2 025）＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.（多选）已知f（x）的定义域为R，函数f（x）的图象关于直线x＝－3对称，且f（x＋3）＝f（x－3），若当x∈[0，3]时，f（x）＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是（ ）
A.f（x）为偶函数B.f（x）在[－6，－3]上单调递减
C.f（x）的图象关于直线x＝3对称D.f（100）＝9偶函数
奇函数
定义
一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有 ∈D
且f（－x）＝ ，那么函数f（x）就叫做偶函数
且f（－x）＝ ，那么函数f（x）就叫做奇函数
图象特征
关于 对称
关于 对称