2025版高考数学全程一轮复习学案第二章函数第三节函数的奇偶性周期性

这是一份2025版高考数学全程一轮复习学案第二章函数第三节函数的奇偶性周期性，共4页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

1.函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有______________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______________，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期．
【常用结论】
1．函数奇偶性的五个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
(5)只有f(x)＝0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数．
2．周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x(a，b为非零常数)：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝±1fx，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝f(x－b)，则T＝a＋b.
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．( )
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )
(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )
(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( )
2．(教材改编)(多选)下列函数为奇函数的是( )
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5
C．f(x)＝x＋1x D．f(x)＝1x2
3．(教材改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．
4．(易错)关于函数f(x)＝x2-4+4-x2与h(x)＝x-4+4-x的奇偶性，下列说法正确的是( )
A．两函数均为偶函数
B．两函数都既是奇函数又是偶函数
C．函数f(x)是偶函数，h(x)是非奇非偶函数
D．函数f(x)既是奇函数又是偶函数，h(x)是非奇非偶函数
5．(易错)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(x)的解析式为________．
第三节 函数的奇偶性、周期性
必备知识
1．f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) y轴 原点
2．(1)f(x＋T)＝f(x) (2)最小的正数 最小正数
夯实基础
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：由奇函数的定义可知BC为奇函数．故选BC.
答案：BC
3．解析：由奇函数的图象特征可知f(x)在[－5，5]上的图象，如图，
∴f(x)<0的解集为(－2，0)∪2，5.
答案：(－2，0)∪2，5
4．解析：函数f(x)＝x2-4+4-x2的定义域满足x2-4≥0，4-x2≥0，即x2＝4，因此函数f(x)的定义域为{－2，2}，关于原点对称，此时f(x)＝0，满足f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．而函数h(x)＝x-4+4-x的定义域为{4}，不关于原点对称，因此函数h(x)是非奇非偶函数．故选D.
答案：D
5．解析：当x<0时，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)(1－x)＝－x(1－x)，
又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x(1－x)，即f(x)＝x(1－x)．
答案：f(x)＝x1+x，x≥0x1-x，x<0偶函数
奇函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有________，那么函数f(x)就叫做偶函数
都有________，那么函数f(x)就叫做奇函数
图象特征
关于________对称
关于________对称