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备考2024届高考数学一轮复习讲义第二章函数第3讲函数的奇偶性周期性与对称性
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第二章函数第3讲函数的奇偶性周期性与对称性，共11页。
注意 （1）只有函数在x＝0处有定义时，f（0）＝0才是f（x）为奇函数的必要不充分条件；
（2）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集.
规律总结
1.常见的奇（偶）函数
（1）函数f（x）＝ax＋a－x为偶函数，函数g（x）＝ax－a－x为奇函数；
（2）函数f（x）＝ax－a－xax＋a－x＝a2x－1a2x+1为奇函数，函数g（x）＝lgab－xb＋x为奇函数；
（3）函数f（x）＝lga（x＋x2+1）为奇函数，函数g（x）＝lga（x2+1－x）也为奇函数.
2.函数奇偶性的拓展结论
（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则f（x＋a）＝f（－x＋a），函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.
（2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则f（x＋b）＋f（－x＋b）＝0，函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.
2.函数的周期性
（1）周期函数
一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且⑨ f（x＋T）＝f（x） ，那么函数f（x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做
f（x）的⑩ 最小 正周期.
注意 并不是所有的周期函数都有最小正周期，如f（x）＝5.
常用结论
函数周期性的常用结论
设函数y＝f（x），x∈R，a＞0，a≠b.
（1）若f（x＋a）＝－f（x），则2a是函数f（x）的周期；
（2）若f（x＋a）＝±1f（x），则2a是函数f（x）的周期；
（3）若f（x＋a）＝f（x＋b），则｜a－b｜是函数f（x）的周期.
3.函数图象的对称性
已知函数f（x）是定义在R上的函数，
（1）若f（a＋x）＝f（b－x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线⑪ x＝a＋b2 对称.
（2）若f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则y＝f（x）的图象关于点⑫ （a＋b2，c2） 对称.
注意 （1）奇、偶函数的图象平移之后对应的函数不一定有奇偶性，但其图象一定有对称性.（2）注意区分抽象函数的周期性与对称性的表示，周期性的表示中，括号内x的符号相同，对称性的表示中，括号内x的符号相反.
常用结论
函数f（x）图象的对称性与周期的关系
（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝a与直线x＝b对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜；
（2）若函数f（x）的图象既关于点（a，0）对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜；
（3）若函数f（x）的图象既关于直线x＝a对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为4｜b－a｜.
1.已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2＋1x，则f（－1）＝（ A ）
A.－2B.0C.1D.2
2.函数f（x）＝x+1x图象的对称中心为（ B ）
A.（0，0）B.（0，1）C.（1，0）D.（1，1）
解析 由题知f（x）＝x+1x＝1＋1x，其图象可由y＝1x的图象向上平移一个单位长度得到，又y＝1x的图象关于（0，0）对称，所以f（x）＝1＋1x的图象关于（0，1）对称.
3.[多选]以下函数为偶函数的是（ AC ）
A.f（x）＝x2－1B.f（x）＝x3
C.f（x）＝x2＋cs xD.f（x）＝1x＋｜x｜
4.已知函数f（x）为R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）＝x（x－1），则当x＞0时，
f（x）＝ x（x＋1） .
5.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x－2），当x∈[0，2）时，f（x）＝x2－4x，则当x∈[4，6）时，f（x）＝ x2－12x＋32 .
解析 设x∈[4，6），则x－4∈[0，2），则f（x－4）＝（x－4）2－4（x－4）＝x2－12x＋32.又f（x）＝f（x－2），所以函数f（x）的周期为2，所以f（x－4）＝f（x），所以当x∈[4，6）时，f（x）＝x2－12x＋32.
6.[2024北京市海淀区中国农业大学附属中学模拟]若f（x）＝x＋a，x<0，bx－1，x>0是奇函数，则a＝ 1 ，b＝ 1 .
解析 由f（x）为奇函数，知f（－x）＝－f（x），当x＞0时，可得－x＋a＝－bx＋1，所以b＝1，a＝1.
研透高考 明确方向
命题点1 函数的奇偶性
角度1 判断函数的奇偶性
例1 （1）[全国卷Ⅰ]设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（ B ）
A. f（x）g（x）是偶函数B. f（x）｜g（x）｜是奇函数
C.｜f（x）｜g（x）是奇函数D.｜f（x）g（x）｜是奇函数
解析 因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以f（x）g（x）为奇函数，f（x）·
｜g（x）｜为奇函数，｜f（x）｜g（x）为偶函数，｜f（x）g（x）｜为偶函数，故选B.
（2）[2021全国卷乙]设函数f（x）＝1－x1+x，则下列函数中为奇函数的是（ B ）
A.f（x－1）－1B.f（x－1）＋1
C.f（x＋1）－1D.f（x＋1）＋1
解析 解法一 因为f（x）＝1－x1+x，所以f（x－1）＝1－（x－1）1+（x－1）＝2－xx，f（x＋1）＝1－（x+1）1+（x+1）＝－xx+2.
对于A，F（x）＝f（x－1）－1＝2－xx－1＝2－2xx，定义域关于原点对称，但不满足F（x）＝－F（－x）；
对于B，G（x）＝f（x－1）＋1＝2－xx＋1＝2x，定义域关于原点对称，且满足G（x）＝
－G（－x）；
对于C，f（x＋1）－1＝－xx+2－1，定义域不关于原点对称；
对于D，f（x＋1）＋1＝－xx+2＋1，定义域不关于原点对称.
故选B.
解法二 f（x）＝1－x1+x＝2－（x+1）1+x＝21+x－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝
f（x）的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f（x－1）＋1，故选B.
方法技巧
1.（1）函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件；（2）若定义域关于原点对称，则判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，具体运算中，可转化为判断f（x）＋
f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数）是否成立.
2.在公共定义域内有：奇函数±奇函数＝奇函数，偶函数±偶函数＝偶函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函数×偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数.
注意 对于分段函数奇偶性的判断，要分段判断f（－x）＝f（x）或f（－x）＝－f（x）是否成立，只有当所有区间都满足相同关系时，才能判断该分段函数的奇偶性.
角度2 函数奇偶性的应用
例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]若f（x）＝（x＋a）·ln2x－12x+1为偶函数，则a＝（ B ）
A.－1B.0C.12D.1
解析 解法一 设g（x）＝ln 2x－12x+1，易知g（x）的定义域为（－∞，－12）∪（12，
＋∞），且g（－x）＝ln －2x－1－2x+1＝ln 2x+12x－1＝－ln 2x－12x+1＝－g（x），所以g（x）为奇函数.若
f（x）＝（x＋a）ln 2x－12x+1为偶函数，则y＝x＋a应为奇函数，所以a＝0，故选B.
解法二 因为f（x）＝（x＋a）ln 2x－12x+1为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln 3，f（1）＝（a＋1）ln 13＝－（a＋1）ln 3，所以（a－1）ln 3＝－（a＋1）ln 3，解得a＝0，经检验，满足题意，故选B.
（2）[2024江苏南通模拟]已知定义在R上的函数f（x），g（x）分别是奇函数和偶函数，且f（x）＋g（x）＝x2－2x，则f（2）＋g（1）＝ －3 .
解析 由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，得f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），∵f（x）＋g（x）＝x2－2x，∴f（－x）＋g（－x）＝（－x）2－2（－x）＝x2＋2x，即
－f（x）＋g（x）＝x2＋2x，则有f（x）＝－2x，g（x）＝x2，则f（2）＋g（1）＝－4＋1＝－3.
方法技巧
函数奇偶性的应用类型及解题策略
（1）求函数解析式或函数值：借助奇偶性转化为求已知区间上的函数解析式或函数值，或利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组）求解析式.
（2）求参数值：利用定义域关于原点对称或f（x）±f（－x）＝0列方程（组）求解，对于在x＝0处有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解.
注意 利用特殊值法求参数时要检验.
训练1 （1）[2024辽宁鞍山一中模拟]下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（ C ）
A.f（x）＝xlnx
B.f（x）＝ln（－x＋x2+1）
C.f（x）＝ex＋e－x
D.f（x）＝ex－e－x
解析 对于A，因为f（x）＝xlnx的定义域为（0，＋∞），不关于原点对称，所以f（x）＝xlnx不是偶函数，故A选项不符合题意；对于B，因为f（x）＝ln（－x＋x2+1）的定义域为R，关于原点对称，f（x）＋f（－x）＝ln（－x＋x2+1）＋ln（x＋x2+1）＝ln 1＝0，所以f（x）＝ln（－x＋x2+1）是奇函数，故B选项不符合题意；对于C，因为f（x）＝ex＋e－x的定义域为R，关于原点对称，且f（－x）＝e－x＋ex＝f（x），所以
f（x）＝ex＋e－x是偶函数.f'（x）＝ex－e－x，当x∈（0，＋∞）时，有ex＞e0=1>e－x，则f'（x）＝ex－e－x＞0，所以f（x）＝ex＋e－x在（0，＋∞）上单调递增，故C选项符合题意；对于D，因为f（x）＝ex－e－x的定义域为R，关于原点对称，但f（－x）＝e－x－ex＝－（ex－e－x）＝－f（x），所以f（x）＝ex－e－x是奇函数，故D选项不符合题意.故选C.
（2）[2024江苏省扬州中学模拟]定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝2x－a·3－x，当x＜0时，f（x）＝ 3x－2－x .
解析 因为函数f（x）为奇函数，定义域为R，所以f（0）＝20－a×30＝0，解得a＝1.若x＜0，则－x＞0，所以f（－x）＝2－x－3x，又f（x）为奇函数，所以当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝3x－2－x，即当x＜0时，f（x）＝3x－2－x.
命题点2 函数的周期性
例3 （1）已知f（x＋1）是定义在R上且周期为2的函数，当x∈[－1，1）时，f（x）＝－2x2+4,－1≤x<0，sinπx，0≤x<1，则f（3）·f（－103）＝（ A ）
A.3B.－3C.－32D.32
解析 因为f（x＋1）是定义在R上且周期为2的函数，
所以f（x）也是周期为2的函数，（解题关键：由f（x＋1）的周期得到f（x）的周期）
则f（3）＝f（－1）＝－2＋4＝2，f（－103）＝f（23）＝sin 2π3＝32，可得f（3）·f（－103）＝2×32＝3，故选A.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]已知函数f（x）的定义域为R，且f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）·
f（y），f（1）＝1，则∑k=122f（k）＝（ A ）
A.－3B.－2C.0D.1
解析 因为f（1）＝1，所以在f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令y＝1，得
f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）f（1），所以f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x） ①，所以f（x＋2）＋f（x）＝f（x＋1） ②.由①②相加，得f（x＋2）＋f（x－1）＝0，故f（x＋3）＋f（x）＝0，所以f（x＋3）＝－f（x），所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），所以函数
f（x）的一个周期为6.在f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令x＝1，y＝0，得
f（1）＋f（1）＝f（1）f（0），所以f（0）＝2，再令x＝0，代入f（x＋3）＋f（x）＝0，得f（3）＝－2.令x＝1，y＝1，得f（2）＋f（0）＝f（1）f（1），所以f（2）＝－1.由
f（x＋3）＋f（x）＝0，得f（1）＋f（4）＝0，f（2）＋f（5）＝0，f（3）＋f（6）＝0，所以f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝0，根据函数的周期性知，∑k=122f（k）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝f（2）＋f（3）＝－1－2＝－3，故选A.
方法技巧
（1）利用函数的周期性可以将局部的函数性质扩展到整体.（2）判断抽象函数的周期一般需要对变量进行赋值.
训练2 （1）[2024广东梅州模拟]已知函数f（x）＝ex+1，x≤1，－f（x－1),x>1，则f（2 024－
ln 2）＝（ A ）
A.－e22B.－e2C.e2D.e22
解析 当x＞1时，f（x）＝－f（x－1），则f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），所以x＞1时，f（x）是周期为2的函数.因为2 024－ln 2＝2 022＋2－ln 2，且2＞2－ln 2＞2－ln e＝1，所以f（2 024－ln 2）＝f（2－ln 2）＝－f（1－ln 2）＝－e1－ln 2＋1＝－e2eln2＝－e22.故选A.
（2）[2024云南部分名校联考]已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）＋f（4－x）＝0，当0≤x≤2时，f（x）＝a·2x＋x2，则f（2 024）＝ －1 .
解析 因为f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）＋f（4－x）＝0，所以f（x）＝－f（4－x）＝－f（x－4），f（x－4）＝－f（x－8），所以f（x）＝f（x－8），故f（x）是以8为周期的函数，则f（2 024）＝f（0）.令x＝2，则f（2）＋f（4－2）＝2f（2）＝8a＋8＝0，则a＝－1，所以f（0）＝－20＝－1，即f（2 024）＝－1.
命题点3 函数图象的对称性
例4 （1）已知函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝2－f（x），若函数y＝x+1x与y＝
f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则∑i=1m（xi＋yi）＝（ B ）
A.0B.mC.2mD.4m
解析 由f（－x）＝2－f（x）知f（x）的图象关于点（0，1）对称，而y＝x+1x＝1＋1x的图象也关于点（0，1）对称，因此两个函数图象的交点也关于点（0，1）对称，且成对出现，则x1＋xm＝x2＋xm－1＝…＝0，y1＋ym＝y2＋ym－1＝…＝2，所以∑i=1m（xi＋yi）＝0×m2＋2×m2＝m.
（2）函数f（x）＝（x2－1）（ex－e－x）＋x＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为 2 .
解析 设g（x）＝（x2－1）（ex－e－x）＋x，则f（x）＝g（x）＋1.
因为g（－x）＝（x2－1）（e－x－ex）－x＝－g（x），且g（x）的定义域关于原点对称，所以g（x）是奇函数.
由奇函数图象的对称性知g（x）max＋g（x）min＝0，
故M＋N＝[g（x）＋1]max＋[g（x）＋1]min＝2＋g（x）max＋g（x）min＝2.
方法技巧
1.解决与函数图象的对称性有关的问题，应结合题设条件的结构特征及对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心，进而利用对称性解决求值或参数问题.
2.常用结论：三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象的对称中心为（－b3a，
f（－b3a））.
训练3 （1）[多选]关于函数f（x）＝sin x＋1sinx，下列结论正确的是（ BC ）
A.f（x）的图象关于y轴对称
B.f（x）的图象关于原点对称
C.f（x）的图象关于直线x＝π2对称
D.f（x）的最小值为2
解析 由题意知f（x）的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称.又f（－x）＝
sin（－x）＋1sin（－x）＝－（sin x＋1sinx）＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，所以A错误，B正确.因为f（π－x）＝sin（π－x）＋1sin（π－x）＝sin x＋1sinx＝
f（x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝π2对称，C正确.当sin x＜0时，f（x）＜0，所以D错误.故选BC.
（2）已知函数f（x）＝x3－3x2＋x＋1＋sin（x－1），则函数f（x）在（0，2）上的最大值与最小值的和为 0 .
解析 由三次函数图象的对称性可得，y＝x3－3x2＋x＋1的图象的对称中心为（1，0），因为y＝sin（x－1）的图象也关于（1，0）对称，所以函数f（x）在（0，2）上的图象关于（1，0）对称，所以f（x）在（0，2）上的最大值与最小值的和为0.
命题点4 函数性质的综合应用
例5 （1）[2021全国卷甲]设函数f（x）的定义域为R，f（x＋1）为奇函数，f（x＋2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2＋b.若f（0）＋f（3）＝6，则f（92）＝（ D ）
A.－94B.－32C.74D.52
解析 因为f（x＋1）为奇函数，所以函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，即有f（x）＋f（2－x）＝0，令x＝1，得f（1）＝0，即a＋b＝0 ①，令x＝0，得f（0）＝－f（2）.因为f（x＋2）为偶函数，所以函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，即有f（x）－f（4－x）＝0，令x＝1，得f（3）＝f（1），所以f（0）＋f（3）＝－f（2）＋f（1）＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6 ②.根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f（x）＝－2x2＋2.根据函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，且关于点（1，0）对称，可得函数f（x）的周期为4，所以f（92）＝f（12）＝－f（32）＝2×（32）2－2＝52.
（2）[2024平许济洛第一次质检]定义在R上的偶函数f（x）满足f（2－x）＋f（x）＝0，且f（x）在[－2，0]上单调递增.若a＝f（tan5π18），b＝f（3），c＝f（lg43），则（ A ）
A.a＜b＜cB.a＜c＜b
C.c＜b＜aD.c＜a＜b
解析 由f（2－x）＋f（x）＝0可得f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，由f（x）为偶函数可得f（x）的图象关于y轴对称，根据函数周期性结论可得函数f（x）的周期为4，所以f（3）＝f（3－4）＝f（－1）＝f（1），因为0＜lg43＜1，1＝tanπ4＜tan5π18＜tanπ3＝3＜2，所以0＜lg43＜1＜tan5π18＜2，因为偶函数f（x）在[－2，0]上单调递增，所以函数f（x）在（0，2]上单调递减，所以f（tan5π18）＜f（1）＝f（3）＜f（lg43），即a＜b＜c.故选A.
方法技巧
1.对于函数单调性与奇偶性的综合问题，常利用奇、偶函数的图象的对称性，以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性求解.
2.对于函数周期性与奇偶性的综合问题，常利用奇偶性及周期性将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的自变量的取值范围内求解.
3.函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，在解题时，往往需要先借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.
训练4 （1）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝ex＋x2＋x，则不等式f（2－a）＋f（2a－3）＞0的解集为（ B ）
A.（－1，＋∞）B.（1，＋∞）
C.（－∞，－1）D.（－∞，1）
解析 易知f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且在（0，＋∞）上，f（x）＞1.因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0，f（x）在（－∞，0）上单调递增，且在（－∞，0）上f（x）＜－1，故f（x）在R上单调递增.原不等式可化为f（2－a）＞－f（2a－3），即
f（2－a）＞f（3－2a），所以2－a＞3－2a，故a＞1，选B.
（2）[2024湖北部分重点中学联考]已知函数y＝f（x）是
R上的奇函数，∀x∈R，都有f（2－x）＝f（x）＋f（2）成立，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 024）＝ 0 .
解析 因为函数f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0.因为∀x∈R，都有f（2－x）＝
f（x）＋f（2），所以令x＝2，得f（0）＝2f（2），得f（2）＝0，所以f（2－x）＝
f（x），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称.因为函数f（x）的图象关于原点对称，所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，且函数f（x）的图象关于点（2，0）中心对称，则f（1）＋f（3）＝0，又f（2）＝0，f（4）＝f（0）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 024）＝506[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）]＝0.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.了解奇偶性的概念和几何意义.
2.了解周期性的概念和几何意义.
函数的奇偶性
2023新高考卷ⅠT11；2023新高考卷ⅡT4；2023全国卷乙T4；2023全国卷甲T13；2022新高考卷ⅠT12；2022全国卷乙T16；2021全国卷乙T4；2021全国卷甲T12；2021新高考卷ⅠT13；2021新高考卷ⅡT8；2021新高考卷ⅡT14；2020全国卷ⅡT9；2020新高考卷ⅠT8；2019全国卷ⅡT14；2019全国卷ⅢT11
本讲为高考命题重点，命题热点有函数奇偶性的判断，利用函数的奇偶性求解析式、求函数值、解不等式等，函数周期性的判断及应用.题型以选择题、填空题为主，函数性质综合命题时难度中等偏大.预计2025年高考命题稳定，备考时注重常规题型训练的同时，关注命题角度创新试题及抽象函数性质的灵活运用.
函数的周期性
2022新高考卷ⅠT12；2022新高考卷ⅡT8；2022全国卷乙T12
函数图象的对称性
2022全国卷乙T12
函数性质的综合应用
2022新高考卷ⅠT12；2022全国卷乙T12；2021新高考卷ⅡT8；2021全国卷甲T12；2020新高考卷ⅠT8；2019全国卷ⅢT11
奇偶性
定义
图象特征
特性
单调性
奇函数
一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x
∈D，且①f（－x）＝－f（x） ，那么函数f（x）就叫做奇函数.
关于②原点对称.
（1）如果定义域中包含0，那么f（0）＝③ 0 .
（2）若函数在关于原点对称的区间上有最值，则f（x）max＋
f（x）min＝④ 0 .
在关于原点对称的区间上单调性⑤ 相同 .
偶函数
一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x
∈D，且⑥ f（－x）＝f（x） ，那么函数f（x）就叫做偶函数.
关于⑦ y轴 对称.
f（x）＝f（｜x｜）.
在关于原点对称的区间上单调性⑧ 相反 .
注意 （1）只有函数在x＝0处有定义时，f（0）＝0才是f（x）为奇函数的必要不充分条件；
（2）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集.
规律总结
1.常见的奇（偶）函数
（1）函数f（x）＝ax＋a－x为偶函数，函数g（x）＝ax－a－x为奇函数；
（2）函数f（x）＝ax－a－xax＋a－x＝a2x－1a2x+1为奇函数，函数g（x）＝lgab－xb＋x为奇函数；
（3）函数f（x）＝lga（x＋x2+1）为奇函数，函数g（x）＝lga（x2+1－x）也为奇函数.
2.函数奇偶性的拓展结论
（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则f（x＋a）＝f（－x＋a），函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.
（2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则f（x＋b）＋f（－x＋b）＝0，函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.
2.函数的周期性
（1）周期函数
一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且⑨ f（x＋T）＝f（x） ，那么函数f（x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做
f（x）的⑩ 最小 正周期.
注意 并不是所有的周期函数都有最小正周期，如f（x）＝5.
常用结论
函数周期性的常用结论
设函数y＝f（x），x∈R，a＞0，a≠b.
（1）若f（x＋a）＝－f（x），则2a是函数f（x）的周期；
（2）若f（x＋a）＝±1f（x），则2a是函数f（x）的周期；
（3）若f（x＋a）＝f（x＋b），则｜a－b｜是函数f（x）的周期.
3.函数图象的对称性
已知函数f（x）是定义在R上的函数，
（1）若f（a＋x）＝f（b－x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线⑪ x＝a＋b2 对称.
（2）若f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则y＝f（x）的图象关于点⑫ （a＋b2，c2） 对称.
注意 （1）奇、偶函数的图象平移之后对应的函数不一定有奇偶性，但其图象一定有对称性.（2）注意区分抽象函数的周期性与对称性的表示，周期性的表示中，括号内x的符号相同，对称性的表示中，括号内x的符号相反.
常用结论
函数f（x）图象的对称性与周期的关系
（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝a与直线x＝b对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜；
（2）若函数f（x）的图象既关于点（a，0）对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜；
（3）若函数f（x）的图象既关于直线x＝a对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为4｜b－a｜.
1.已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2＋1x，则f（－1）＝（ A ）
A.－2B.0C.1D.2
2.函数f（x）＝x+1x图象的对称中心为（ B ）
A.（0，0）B.（0，1）C.（1，0）D.（1，1）
解析 由题知f（x）＝x+1x＝1＋1x，其图象可由y＝1x的图象向上平移一个单位长度得到，又y＝1x的图象关于（0，0）对称，所以f（x）＝1＋1x的图象关于（0，1）对称.
3.[多选]以下函数为偶函数的是（ AC ）
A.f（x）＝x2－1B.f（x）＝x3
C.f（x）＝x2＋cs xD.f（x）＝1x＋｜x｜
4.已知函数f（x）为R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）＝x（x－1），则当x＞0时，
f（x）＝ x（x＋1） .
5.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x－2），当x∈[0，2）时，f（x）＝x2－4x，则当x∈[4，6）时，f（x）＝ x2－12x＋32 .
解析 设x∈[4，6），则x－4∈[0，2），则f（x－4）＝（x－4）2－4（x－4）＝x2－12x＋32.又f（x）＝f（x－2），所以函数f（x）的周期为2，所以f（x－4）＝f（x），所以当x∈[4，6）时，f（x）＝x2－12x＋32.
6.[2024北京市海淀区中国农业大学附属中学模拟]若f（x）＝x＋a，x<0，bx－1，x>0是奇函数，则a＝ 1 ，b＝ 1 .
解析 由f（x）为奇函数，知f（－x）＝－f（x），当x＞0时，可得－x＋a＝－bx＋1，所以b＝1，a＝1.
研透高考 明确方向
命题点1 函数的奇偶性
角度1 判断函数的奇偶性
例1 （1）[全国卷Ⅰ]设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（ B ）
A. f（x）g（x）是偶函数B. f（x）｜g（x）｜是奇函数
C.｜f（x）｜g（x）是奇函数D.｜f（x）g（x）｜是奇函数
解析 因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以f（x）g（x）为奇函数，f（x）·
｜g（x）｜为奇函数，｜f（x）｜g（x）为偶函数，｜f（x）g（x）｜为偶函数，故选B.
（2）[2021全国卷乙]设函数f（x）＝1－x1+x，则下列函数中为奇函数的是（ B ）
A.f（x－1）－1B.f（x－1）＋1
C.f（x＋1）－1D.f（x＋1）＋1
解析 解法一 因为f（x）＝1－x1+x，所以f（x－1）＝1－（x－1）1+（x－1）＝2－xx，f（x＋1）＝1－（x+1）1+（x+1）＝－xx+2.
对于A，F（x）＝f（x－1）－1＝2－xx－1＝2－2xx，定义域关于原点对称，但不满足F（x）＝－F（－x）；
对于B，G（x）＝f（x－1）＋1＝2－xx＋1＝2x，定义域关于原点对称，且满足G（x）＝
－G（－x）；
对于C，f（x＋1）－1＝－xx+2－1，定义域不关于原点对称；
对于D，f（x＋1）＋1＝－xx+2＋1，定义域不关于原点对称.
故选B.
解法二 f（x）＝1－x1+x＝2－（x+1）1+x＝21+x－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝
f（x）的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f（x－1）＋1，故选B.
方法技巧
1.（1）函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件；（2）若定义域关于原点对称，则判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，具体运算中，可转化为判断f（x）＋
f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数）是否成立.
2.在公共定义域内有：奇函数±奇函数＝奇函数，偶函数±偶函数＝偶函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函数×偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数.
注意 对于分段函数奇偶性的判断，要分段判断f（－x）＝f（x）或f（－x）＝－f（x）是否成立，只有当所有区间都满足相同关系时，才能判断该分段函数的奇偶性.
角度2 函数奇偶性的应用
例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]若f（x）＝（x＋a）·ln2x－12x+1为偶函数，则a＝（ B ）
A.－1B.0C.12D.1
解析 解法一 设g（x）＝ln 2x－12x+1，易知g（x）的定义域为（－∞，－12）∪（12，
＋∞），且g（－x）＝ln －2x－1－2x+1＝ln 2x+12x－1＝－ln 2x－12x+1＝－g（x），所以g（x）为奇函数.若
f（x）＝（x＋a）ln 2x－12x+1为偶函数，则y＝x＋a应为奇函数，所以a＝0，故选B.
解法二 因为f（x）＝（x＋a）ln 2x－12x+1为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln 3，f（1）＝（a＋1）ln 13＝－（a＋1）ln 3，所以（a－1）ln 3＝－（a＋1）ln 3，解得a＝0，经检验，满足题意，故选B.
（2）[2024江苏南通模拟]已知定义在R上的函数f（x），g（x）分别是奇函数和偶函数，且f（x）＋g（x）＝x2－2x，则f（2）＋g（1）＝ －3 .
解析 由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，得f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），∵f（x）＋g（x）＝x2－2x，∴f（－x）＋g（－x）＝（－x）2－2（－x）＝x2＋2x，即
－f（x）＋g（x）＝x2＋2x，则有f（x）＝－2x，g（x）＝x2，则f（2）＋g（1）＝－4＋1＝－3.
方法技巧
函数奇偶性的应用类型及解题策略
（1）求函数解析式或函数值：借助奇偶性转化为求已知区间上的函数解析式或函数值，或利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组）求解析式.
（2）求参数值：利用定义域关于原点对称或f（x）±f（－x）＝0列方程（组）求解，对于在x＝0处有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解.
注意 利用特殊值法求参数时要检验.
训练1 （1）[2024辽宁鞍山一中模拟]下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（ C ）
A.f（x）＝xlnx
B.f（x）＝ln（－x＋x2+1）
C.f（x）＝ex＋e－x
D.f（x）＝ex－e－x
解析 对于A，因为f（x）＝xlnx的定义域为（0，＋∞），不关于原点对称，所以f（x）＝xlnx不是偶函数，故A选项不符合题意；对于B，因为f（x）＝ln（－x＋x2+1）的定义域为R，关于原点对称，f（x）＋f（－x）＝ln（－x＋x2+1）＋ln（x＋x2+1）＝ln 1＝0，所以f（x）＝ln（－x＋x2+1）是奇函数，故B选项不符合题意；对于C，因为f（x）＝ex＋e－x的定义域为R，关于原点对称，且f（－x）＝e－x＋ex＝f（x），所以
f（x）＝ex＋e－x是偶函数.f'（x）＝ex－e－x，当x∈（0，＋∞）时，有ex＞e0=1>e－x，则f'（x）＝ex－e－x＞0，所以f（x）＝ex＋e－x在（0，＋∞）上单调递增，故C选项符合题意；对于D，因为f（x）＝ex－e－x的定义域为R，关于原点对称，但f（－x）＝e－x－ex＝－（ex－e－x）＝－f（x），所以f（x）＝ex－e－x是奇函数，故D选项不符合题意.故选C.
（2）[2024江苏省扬州中学模拟]定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝2x－a·3－x，当x＜0时，f（x）＝ 3x－2－x .
解析 因为函数f（x）为奇函数，定义域为R，所以f（0）＝20－a×30＝0，解得a＝1.若x＜0，则－x＞0，所以f（－x）＝2－x－3x，又f（x）为奇函数，所以当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝3x－2－x，即当x＜0时，f（x）＝3x－2－x.
命题点2 函数的周期性
例3 （1）已知f（x＋1）是定义在R上且周期为2的函数，当x∈[－1，1）时，f（x）＝－2x2+4,－1≤x<0，sinπx，0≤x<1，则f（3）·f（－103）＝（ A ）
A.3B.－3C.－32D.32
解析 因为f（x＋1）是定义在R上且周期为2的函数，
所以f（x）也是周期为2的函数，（解题关键：由f（x＋1）的周期得到f（x）的周期）
则f（3）＝f（－1）＝－2＋4＝2，f（－103）＝f（23）＝sin 2π3＝32，可得f（3）·f（－103）＝2×32＝3，故选A.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]已知函数f（x）的定义域为R，且f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）·
f（y），f（1）＝1，则∑k=122f（k）＝（ A ）
A.－3B.－2C.0D.1
解析 因为f（1）＝1，所以在f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令y＝1，得
f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）f（1），所以f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x） ①，所以f（x＋2）＋f（x）＝f（x＋1） ②.由①②相加，得f（x＋2）＋f（x－1）＝0，故f（x＋3）＋f（x）＝0，所以f（x＋3）＝－f（x），所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），所以函数
f（x）的一个周期为6.在f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令x＝1，y＝0，得
f（1）＋f（1）＝f（1）f（0），所以f（0）＝2，再令x＝0，代入f（x＋3）＋f（x）＝0，得f（3）＝－2.令x＝1，y＝1，得f（2）＋f（0）＝f（1）f（1），所以f（2）＝－1.由
f（x＋3）＋f（x）＝0，得f（1）＋f（4）＝0，f（2）＋f（5）＝0，f（3）＋f（6）＝0，所以f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝0，根据函数的周期性知，∑k=122f（k）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝f（2）＋f（3）＝－1－2＝－3，故选A.
方法技巧
（1）利用函数的周期性可以将局部的函数性质扩展到整体.（2）判断抽象函数的周期一般需要对变量进行赋值.
训练2 （1）[2024广东梅州模拟]已知函数f（x）＝ex+1，x≤1，－f（x－1),x>1，则f（2 024－
ln 2）＝（ A ）
A.－e22B.－e2C.e2D.e22
解析 当x＞1时，f（x）＝－f（x－1），则f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），所以x＞1时，f（x）是周期为2的函数.因为2 024－ln 2＝2 022＋2－ln 2，且2＞2－ln 2＞2－ln e＝1，所以f（2 024－ln 2）＝f（2－ln 2）＝－f（1－ln 2）＝－e1－ln 2＋1＝－e2eln2＝－e22.故选A.
（2）[2024云南部分名校联考]已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）＋f（4－x）＝0，当0≤x≤2时，f（x）＝a·2x＋x2，则f（2 024）＝ －1 .
解析 因为f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）＋f（4－x）＝0，所以f（x）＝－f（4－x）＝－f（x－4），f（x－4）＝－f（x－8），所以f（x）＝f（x－8），故f（x）是以8为周期的函数，则f（2 024）＝f（0）.令x＝2，则f（2）＋f（4－2）＝2f（2）＝8a＋8＝0，则a＝－1，所以f（0）＝－20＝－1，即f（2 024）＝－1.
命题点3 函数图象的对称性
例4 （1）已知函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝2－f（x），若函数y＝x+1x与y＝
f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则∑i=1m（xi＋yi）＝（ B ）
A.0B.mC.2mD.4m
解析 由f（－x）＝2－f（x）知f（x）的图象关于点（0，1）对称，而y＝x+1x＝1＋1x的图象也关于点（0，1）对称，因此两个函数图象的交点也关于点（0，1）对称，且成对出现，则x1＋xm＝x2＋xm－1＝…＝0，y1＋ym＝y2＋ym－1＝…＝2，所以∑i=1m（xi＋yi）＝0×m2＋2×m2＝m.
（2）函数f（x）＝（x2－1）（ex－e－x）＋x＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为 2 .
解析 设g（x）＝（x2－1）（ex－e－x）＋x，则f（x）＝g（x）＋1.
因为g（－x）＝（x2－1）（e－x－ex）－x＝－g（x），且g（x）的定义域关于原点对称，所以g（x）是奇函数.
由奇函数图象的对称性知g（x）max＋g（x）min＝0，
故M＋N＝[g（x）＋1]max＋[g（x）＋1]min＝2＋g（x）max＋g（x）min＝2.
方法技巧
1.解决与函数图象的对称性有关的问题，应结合题设条件的结构特征及对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心，进而利用对称性解决求值或参数问题.
2.常用结论：三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象的对称中心为（－b3a，
f（－b3a））.
训练3 （1）[多选]关于函数f（x）＝sin x＋1sinx，下列结论正确的是（ BC ）
A.f（x）的图象关于y轴对称
B.f（x）的图象关于原点对称
C.f（x）的图象关于直线x＝π2对称
D.f（x）的最小值为2
解析 由题意知f（x）的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称.又f（－x）＝
sin（－x）＋1sin（－x）＝－（sin x＋1sinx）＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，所以A错误，B正确.因为f（π－x）＝sin（π－x）＋1sin（π－x）＝sin x＋1sinx＝
f（x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝π2对称，C正确.当sin x＜0时，f（x）＜0，所以D错误.故选BC.
（2）已知函数f（x）＝x3－3x2＋x＋1＋sin（x－1），则函数f（x）在（0，2）上的最大值与最小值的和为 0 .
解析 由三次函数图象的对称性可得，y＝x3－3x2＋x＋1的图象的对称中心为（1，0），因为y＝sin（x－1）的图象也关于（1，0）对称，所以函数f（x）在（0，2）上的图象关于（1，0）对称，所以f（x）在（0，2）上的最大值与最小值的和为0.
命题点4 函数性质的综合应用
例5 （1）[2021全国卷甲]设函数f（x）的定义域为R，f（x＋1）为奇函数，f（x＋2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2＋b.若f（0）＋f（3）＝6，则f（92）＝（ D ）
A.－94B.－32C.74D.52
解析 因为f（x＋1）为奇函数，所以函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，即有f（x）＋f（2－x）＝0，令x＝1，得f（1）＝0，即a＋b＝0 ①，令x＝0，得f（0）＝－f（2）.因为f（x＋2）为偶函数，所以函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，即有f（x）－f（4－x）＝0，令x＝1，得f（3）＝f（1），所以f（0）＋f（3）＝－f（2）＋f（1）＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6 ②.根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f（x）＝－2x2＋2.根据函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，且关于点（1，0）对称，可得函数f（x）的周期为4，所以f（92）＝f（12）＝－f（32）＝2×（32）2－2＝52.
（2）[2024平许济洛第一次质检]定义在R上的偶函数f（x）满足f（2－x）＋f（x）＝0，且f（x）在[－2，0]上单调递增.若a＝f（tan5π18），b＝f（3），c＝f（lg43），则（ A ）
A.a＜b＜cB.a＜c＜b
C.c＜b＜aD.c＜a＜b
解析 由f（2－x）＋f（x）＝0可得f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，由f（x）为偶函数可得f（x）的图象关于y轴对称，根据函数周期性结论可得函数f（x）的周期为4，所以f（3）＝f（3－4）＝f（－1）＝f（1），因为0＜lg43＜1，1＝tanπ4＜tan5π18＜tanπ3＝3＜2，所以0＜lg43＜1＜tan5π18＜2，因为偶函数f（x）在[－2，0]上单调递增，所以函数f（x）在（0，2]上单调递减，所以f（tan5π18）＜f（1）＝f（3）＜f（lg43），即a＜b＜c.故选A.
方法技巧
1.对于函数单调性与奇偶性的综合问题，常利用奇、偶函数的图象的对称性，以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性求解.
2.对于函数周期性与奇偶性的综合问题，常利用奇偶性及周期性将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的自变量的取值范围内求解.
3.函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，在解题时，往往需要先借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.
训练4 （1）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝ex＋x2＋x，则不等式f（2－a）＋f（2a－3）＞0的解集为（ B ）
A.（－1，＋∞）B.（1，＋∞）
C.（－∞，－1）D.（－∞，1）
解析 易知f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且在（0，＋∞）上，f（x）＞1.因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0，f（x）在（－∞，0）上单调递增，且在（－∞，0）上f（x）＜－1，故f（x）在R上单调递增.原不等式可化为f（2－a）＞－f（2a－3），即
f（2－a）＞f（3－2a），所以2－a＞3－2a，故a＞1，选B.
（2）[2024湖北部分重点中学联考]已知函数y＝f（x）是
R上的奇函数，∀x∈R，都有f（2－x）＝f（x）＋f（2）成立，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 024）＝ 0 .
解析 因为函数f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0.因为∀x∈R，都有f（2－x）＝
f（x）＋f（2），所以令x＝2，得f（0）＝2f（2），得f（2）＝0，所以f（2－x）＝
f（x），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称.因为函数f（x）的图象关于原点对称，所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，且函数f（x）的图象关于点（2，0）中心对称，则f（1）＋f（3）＝0，又f（2）＝0，f（4）＝f（0）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 024）＝506[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）]＝0.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.了解奇偶性的概念和几何意义.
2.了解周期性的概念和几何意义.
函数的奇偶性
2023新高考卷ⅠT11；2023新高考卷ⅡT4；2023全国卷乙T4；2023全国卷甲T13；2022新高考卷ⅠT12；2022全国卷乙T16；2021全国卷乙T4；2021全国卷甲T12；2021新高考卷ⅠT13；2021新高考卷ⅡT8；2021新高考卷ⅡT14；2020全国卷ⅡT9；2020新高考卷ⅠT8；2019全国卷ⅡT14；2019全国卷ⅢT11
本讲为高考命题重点，命题热点有函数奇偶性的判断，利用函数的奇偶性求解析式、求函数值、解不等式等，函数周期性的判断及应用.题型以选择题、填空题为主，函数性质综合命题时难度中等偏大.预计2025年高考命题稳定，备考时注重常规题型训练的同时，关注命题角度创新试题及抽象函数性质的灵活运用.
函数的周期性
2022新高考卷ⅠT12；2022新高考卷ⅡT8；2022全国卷乙T12
函数图象的对称性
2022全国卷乙T12
函数性质的综合应用
2022新高考卷ⅠT12；2022全国卷乙T12；2021新高考卷ⅡT8；2021全国卷甲T12；2020新高考卷ⅠT8；2019全国卷ⅢT11
奇偶性
定义
图象特征
特性
单调性
奇函数
一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x
∈D，且①f（－x）＝－f（x） ，那么函数f（x）就叫做奇函数.
关于②原点对称.
（1）如果定义域中包含0，那么f（0）＝③ 0 .
（2）若函数在关于原点对称的区间上有最值，则f（x）max＋
f（x）min＝④ 0 .
在关于原点对称的区间上单调性⑤ 相同 .
偶函数
一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x
∈D，且⑥ f（－x）＝f（x） ，那么函数f（x）就叫做偶函数.
关于⑦ y轴 对称.
f（x）＝f（｜x｜）.
在关于原点对称的区间上单调性⑧ 相反 .
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