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2021高考数学一轮复习学案：第二章2.3函数的奇偶性与周期性
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§2.3 函数的奇偶性与周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
概念方法微思考
1．如果函数f (x)是奇函数或偶函数，则f (x)的定义域关于原点对称．
2．已知函数f (x)满足下列条件，你能否得到函数f (x)的周期？
(1)f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)．
(2)f (x＋a)＝(a≠0)．
(3)f (x＋a)＝f (x＋b)(a≠b)．
提示 (1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|.
3．若f (x)对于定义域中任意x，均有f (x)＝f (2a－x)，或f (a＋x)＝f (a－x)，则函数f (x)关于直线x＝a对称．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( × )
(2)如果函数f (x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f (x)＋g(x)是偶函数．( √ )
(3)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)关于直线x＝a对称．( √ )
(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( √ )
题组二 教材改编
2．下列函数中为奇函数的是________．(填序号)
①f (x)＝2x4＋3x2；
②f (x)＝x3－2x；
③f (x)＝；
④f (x)＝x3＋1.
答案 ②③
3．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x(1＋x)，则f (－1)＝________.
答案 －2
解析 f (1)＝1×2＝2，又f (x)为奇函数，
∴f (－1)＝－f (1)＝－2.
4.设奇函数f (x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f (x)的图象如图所示，则不等式f (x)<0的解集为________．
答案 (－2,0)∪(2,5]
解析 由图象可知，当00；当20.
综上，f (x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
题组三 易错自纠
5．函数f (x)＝是________函数．(填“奇”“偶”“非奇非偶”)
答案 奇
解析 由得－1
∴f (x)＝，∴f (－x)＝＝－f (x)，
∴f (x)为奇函数．
6．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋3)＝f (x)，且当x∈时，f (x)＝－x3，则f ＝________.
答案
解析 由f (x＋3)＝f (x)知函数f (x)的周期为3，
又函数f (x)为奇函数，
所以f ＝f ＝－f ＝3＝.
7．若函数f (x)＝为奇函数，则实数a的值为________，且当x≥4时，f (x)的最大值为________．
答案 2
解析 由f (x)为奇函数易知a＝2，
当x≥4时，f (x)＝在[4，＋∞)上单调递减，
∴当x＝4时，f (x)max＝.
函数的奇偶性
命题点1 判断函数的奇偶性
例1 (2020·日照模拟)判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝x3＋x，x∈[－1,4]；
(2)f (x)＝ln ；
(3)f (x)＝＋(a>0，且a≠1)；
(4)f (x)＝
解 (1)∵f (x)＝x3＋x，x∈[－1,4]的定义域不关于原点对称，∴f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f (x)的定义域为(－2,2)，
f (－x)＝ln ＝－ln ＝－f (x)，
∴函数f (x)为奇函数．
(3)∵f (x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，
其定义域关于原点对称，并且有
f (－x)＝＋＝＋
＝＋＝－＋
＝－1＋＋
＝－＝－f (x)．
即f (－x)＝－f (x)，∴f (x)为奇函数．
(4)显然函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f (－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f (x)；
当x>0时，－x<0，
则f (－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f (x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f (－x)＝－f (x)，
∴函数f (x)为奇函数．
命题点2 函数奇偶性的应用
例2 (1)(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x)＝ln(－x)＋1，f (a)＝4，则f (－a)＝________.
答案 －2
解析 ∵f (x)＋f (－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
∴f (a)＋f (－a)＝2，∴f (－a)＝－2.
(2)已知函数f (x)＝asin x＋b＋4，若f (lg 3)＝3，则f ＝________.
答案 5
解析 由f (lg 3)＝asin(lg 3)＋b＋4＝3得asin(lg 3)＋b＝－1，而f ＝f (－lg 3)＝－asin(lg 3)－b＋4＝－[asin(lg 3)＋b]＋4＝1＋4＝5.
命题点3 函数的对称性
例3 已知函数f (x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，f (x)单调递减，且函数y＝f (x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f (π)
解析 ∵y＝f (x＋2)为偶函数，
∴f (－x＋2)＝f (x＋2)，
∴f (3)＝f (1)，f (π)＝f (4－π)．
∵0<4－π<1<，
当x∈[－2,2]时，f (x)单调递减，
∴f (4－π)>f (1)>f ()，
∴f ()
跟踪训练1 (1)(2019·黄冈模拟)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( )
A．f (x)＝x＋sin 2x B．f (x)＝x2－cos x
C．f (x)＝3x－ D．f (x)＝x2＋tan x
答案 D
解析 对于选项A，函数的定义域为R，f (－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f (x)，所以f (x)＝x＋sin 2x为奇函数；对于选项B，函数的定义域为R，f (－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f (x)，所以f (x)＝x2－cos x为偶函数；对于选项C，函数的定义域为R，f (－x)＝
3－x－＝－＝－f (x)，所以f (x)＝3x－为奇函数；只有f (x)＝x2＋tan x既不是奇函数也不是偶函数．故选D.
(2)设f (x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f (x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是( )
A．|g(x)|是偶函数 B．f (x)g(x)是奇函数
C．f (x)|g(x)|是偶函数 D．f (x)＋g(x)是奇函数
答案 D
解析 f (－x)＝e－x＋ex＝f (x)，f (x)为偶函数．
g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数．
|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；
f (－x)g(－x)＝f (x)[－g(x)]＝－f (x)g(x)，
所以f (x)g(x)为奇函数，B正确；
f (－x)|g(－x)|＝f (x)|g(x)|，
所以f (x)|g(x)|是偶函数，C正确；
f (x)＋g(x)＝2ex，
f (－x)＋g(－x)＝2e－x≠－[f (x)＋g(x)]，
所以f (x)＋g(x)不是奇函数，D错误，故选D.
(3)设函数f (x)在[1，＋∞)上为增函数，f (3)＝0，且g(x)＝f (x＋1)为偶函数，则不等式g(2－2x)<0的解集为________．
答案 (0,2)
解析 由已知g(x)在[0，＋∞)上为增函数，g(2)＝0，
又g(x)为偶函数，
∴g(2－2x)<0可化为g(2－2x)
1．设f (x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f (x)＝则f ＝______.
答案 1
解析 f ＝f ＝－4×2＋2＝1.
2．已知定义在R上的函数f (x)满足f (2)＝2－，且对任意的x都有f (x＋2)＝，则
f (2 020)＝________.
答案 －2－
解析 由f (x＋2)＝，得f (x＋4)＝＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4，所以
f (2 020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝，所以f (4)＝－＝－＝－2－.故f (2 020)＝－2－.
3．(2019·石家庄模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且满足f (x)＝f (2－x)，当x∈[0,1]时，f (x)＝4x－1，则f ＝________.
答案 －1
解析 因为f (x)＝f (2－x)，所以f ＝f ，
又f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f ＝f ＝－f .
因为当x∈[0,1]时，f (x)＝4x－1，
所以f ＝－1＝1，则f ＝－1.
4．设定义在R上的函数f (x)同时满足以下条件：①f (x)＋f (－x)＝0；②f (x)＝f (x＋2)；③当0≤x<1时，f (x)＝2x－1，则f ＋f (1)＋f ＋f (2)＋f ＝________.
答案 －1
解析 依题意知：函数f (x)为奇函数且周期为2，
则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0.
∴f ＋f (1)＋f ＋f (2)＋f
＝f ＋0＋f ＋f (0)＋f
＝f －f ＋f (0)＋f
＝f ＋f (0)＝－1＋20－1＝－1.
思维升华 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
函数性质的综合应用
命题点1 函数的奇偶性与单调性相结合
例4 (2017·全国Ⅰ改编)函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围是________．
答案 [1,3]
解析 因为函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且f (1)＝－1，所以f (－1)＝－f (1)＝1，由－1≤f (x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3.
命题点2 函数的奇偶性与周期性相结合
例5 设f (x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x)＝则f (2 019)＝________.
答案
解析 设0
命题点3 函数的奇偶性与对称性相结合
例6 已知定义在R上的函数f (x)，对任意实数x有f (x＋4)＝－f (x)，若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，f (－2)＝2，则f (2 018)＝________.
答案 2
解析 由函数y＝f (x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f (x)的图象关于y轴对称，故f (x)为偶函数．
由f (x＋4)＝－f (x)，得f (x＋4＋4)＝－f (x＋4)＝f (x)，所以f (x)是周期T＝8的偶函数，所以f (2 018)＝f (2＋252×8)＝f (2)＝2.
命题点4 函数的周期性与对称性相结合
例7 已知f (x)的定义域为R，其函数图象关于x＝－1对称，且f (x＋4)＝f (x－2)．若当x∈
[－4，－1]时，f (x)＝6－x，则f (919)＝________.
答案 216
解析 由f (x＋4)＝f (x－2)，得f (x＋6)＝f (x)．
故f (x)是周期为6的函数．
所以f (919)＝f (6×153＋1)＝f (1)．
因为f (x)的图象关于x＝－1对称，所以f (1)＝f (－3)．
又x∈[－4，－1]时，f (x)＝6－x，
所以f (－3)＝6－(－3)＝216.
从而f (1)＝216，故f (919)＝216.
思维升华 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
跟踪训练2 (1)定义在R上的函数f (x)满足f (x)＝f (－x)，且f (x)＝f (x＋6)，当x∈[0,3]时，f (x)单调递增，则f (x)在下列哪个区间上单调递减( )
A．[3,7] B．[4,5] C．[5,8] D．[6,10]
答案 B
解析 依题意知，f (x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x∈[0,3]时，f (x)单调递增，所以f (x)在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f (x)在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]⊆[3,6]，所以函数f (x)在[4,5]上单调递减．
(2)(2018·全国Ⅱ)已知f (x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x)＝f (1＋x)．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
答案 C
解析 ∵f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，
∴f (1－x)＝－f (x－1)．∵f (1－x)＝f (1＋x)，
∴－f (x－1)＝f (x＋1)，∴f (x＋2)＝－f (x)，
∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝－[－f (x)]＝f (x)，
∴函数f (x)是周期为4的周期函数．
由f (x)为奇函数且定义域为R得f (0)＝0，
又∵f (1－x)＝f (1＋x)，
∴f (x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0.
又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)
＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.
故选C.
(3)(多选)已知函数y＝f (x)是R上的奇函数，对任意x∈R，都有f (2－x)＝f (x)＋f (2)成立，当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，都有＞0，则下列结论正确的有( )
A．f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝0
B．直线x＝－5是函数y＝f (x)图象的一条对称轴
C．函数y＝f (x)在[－7,7]上有5个零点
D．函数y＝f (x)在[－7，－5]上为减函数
答案 ABD
解析 根据题意，函数y＝f (x)是R上的奇函数，
则f (0)＝0；
对任意x∈R，都有f (2－x)＝f (x)＋f (2)成立，
当x＝2时，有f (0)＝2f (2)＝0，则有f (2)＝0，
则有f (2－x)＝f (x)，
即x＝1是函数f (x)的一条对称轴；
又由f (x)为奇函数，则f (2－x)＝－f (－x)，
变形可得f (x＋2)＝－f (x)，
则有f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，
故函数f (x)是周期为4的周期函数，
当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，都有＞0，则函数f (x)在区间[0,1]上为增函数，
又由y＝f (x)是R上的奇函数，
则f (x)在区间[－1,1]上为增函数；
据此分析选项：
对于A，f (x＋2)＝－f (x)，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝[f (1)＋f (3)]＋[f (2)＋f (4)]＝0，
f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝505×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0，A正确；
对于B，x＝1是函数f (x)的一条对称轴，且函数f (x)是周期为4的周期函数，则x＝5是函数f (x)的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线x＝－5是函数y＝f (x)图象的一条对称轴，B正确；
对于C，函数y＝f (x)在[－7,7]上有7个零点：分别为－6，－4，－2,0,2,4,6，C错误；
对于D，f (x)在区间[－1,1]上为增函数且其周期为4，函数y＝f (x)在[－5，－3]上为增函数，
又由x＝－5为函数f (x)图象的一条对称轴，则函数y＝f (x)在[－7，－5]上为减函数，D正确．
§2.3 函数的奇偶性与周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
概念方法微思考
1．如果函数f (x)是奇函数或偶函数，则f (x)的定义域关于原点对称．
2．已知函数f (x)满足下列条件，你能否得到函数f (x)的周期？
(1)f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)．
(2)f (x＋a)＝(a≠0)．
(3)f (x＋a)＝f (x＋b)(a≠b)．
提示 (1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|.
3．若f (x)对于定义域中任意x，均有f (x)＝f (2a－x)，或f (a＋x)＝f (a－x)，则函数f (x)关于直线x＝a对称．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( × )
(2)如果函数f (x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f (x)＋g(x)是偶函数．( √ )
(3)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)关于直线x＝a对称．( √ )
(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( √ )
题组二 教材改编
2．下列函数中为奇函数的是________．(填序号)
①f (x)＝2x4＋3x2；
②f (x)＝x3－2x；
③f (x)＝；
④f (x)＝x3＋1.
答案 ②③
3．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x(1＋x)，则f (－1)＝________.
答案 －2
解析 f (1)＝1×2＝2，又f (x)为奇函数，
∴f (－1)＝－f (1)＝－2.
4.设奇函数f (x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f (x)的图象如图所示，则不等式f (x)<0的解集为________．
答案 (－2,0)∪(2,5]
解析 由图象可知，当0
综上，f (x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
题组三 易错自纠
5．函数f (x)＝是________函数．(填“奇”“偶”“非奇非偶”)
答案 奇
解析 由得－1
∴f (x)＝，∴f (－x)＝＝－f (x)，
∴f (x)为奇函数．
6．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋3)＝f (x)，且当x∈时，f (x)＝－x3，则f ＝________.
答案
解析 由f (x＋3)＝f (x)知函数f (x)的周期为3，
又函数f (x)为奇函数，
所以f ＝f ＝－f ＝3＝.
7．若函数f (x)＝为奇函数，则实数a的值为________，且当x≥4时，f (x)的最大值为________．
答案 2
解析 由f (x)为奇函数易知a＝2，
当x≥4时，f (x)＝在[4，＋∞)上单调递减，
∴当x＝4时，f (x)max＝.
函数的奇偶性
命题点1 判断函数的奇偶性
例1 (2020·日照模拟)判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝x3＋x，x∈[－1,4]；
(2)f (x)＝ln ；
(3)f (x)＝＋(a>0，且a≠1)；
(4)f (x)＝
解 (1)∵f (x)＝x3＋x，x∈[－1,4]的定义域不关于原点对称，∴f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f (x)的定义域为(－2,2)，
f (－x)＝ln ＝－ln ＝－f (x)，
∴函数f (x)为奇函数．
(3)∵f (x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，
其定义域关于原点对称，并且有
f (－x)＝＋＝＋
＝＋＝－＋
＝－1＋＋
＝－＝－f (x)．
即f (－x)＝－f (x)，∴f (x)为奇函数．
(4)显然函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f (－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f (x)；
当x>0时，－x<0，
则f (－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f (x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f (－x)＝－f (x)，
∴函数f (x)为奇函数．
命题点2 函数奇偶性的应用
例2 (1)(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x)＝ln(－x)＋1，f (a)＝4，则f (－a)＝________.
答案 －2
解析 ∵f (x)＋f (－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
∴f (a)＋f (－a)＝2，∴f (－a)＝－2.
(2)已知函数f (x)＝asin x＋b＋4，若f (lg 3)＝3，则f ＝________.
答案 5
解析 由f (lg 3)＝asin(lg 3)＋b＋4＝3得asin(lg 3)＋b＝－1，而f ＝f (－lg 3)＝－asin(lg 3)－b＋4＝－[asin(lg 3)＋b]＋4＝1＋4＝5.
命题点3 函数的对称性
例3 已知函数f (x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，f (x)单调递减，且函数y＝f (x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f (π)
解析 ∵y＝f (x＋2)为偶函数，
∴f (－x＋2)＝f (x＋2)，
∴f (3)＝f (1)，f (π)＝f (4－π)．
∵0<4－π<1<，
当x∈[－2,2]时，f (x)单调递减，
∴f (4－π)>f (1)>f ()，
∴f ()
跟踪训练1 (1)(2019·黄冈模拟)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( )
A．f (x)＝x＋sin 2x B．f (x)＝x2－cos x
C．f (x)＝3x－ D．f (x)＝x2＋tan x
答案 D
解析 对于选项A，函数的定义域为R，f (－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f (x)，所以f (x)＝x＋sin 2x为奇函数；对于选项B，函数的定义域为R，f (－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f (x)，所以f (x)＝x2－cos x为偶函数；对于选项C，函数的定义域为R，f (－x)＝
3－x－＝－＝－f (x)，所以f (x)＝3x－为奇函数；只有f (x)＝x2＋tan x既不是奇函数也不是偶函数．故选D.
(2)设f (x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f (x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是( )
A．|g(x)|是偶函数 B．f (x)g(x)是奇函数
C．f (x)|g(x)|是偶函数 D．f (x)＋g(x)是奇函数
答案 D
解析 f (－x)＝e－x＋ex＝f (x)，f (x)为偶函数．
g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数．
|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；
f (－x)g(－x)＝f (x)[－g(x)]＝－f (x)g(x)，
所以f (x)g(x)为奇函数，B正确；
f (－x)|g(－x)|＝f (x)|g(x)|，
所以f (x)|g(x)|是偶函数，C正确；
f (x)＋g(x)＝2ex，
f (－x)＋g(－x)＝2e－x≠－[f (x)＋g(x)]，
所以f (x)＋g(x)不是奇函数，D错误，故选D.
(3)设函数f (x)在[1，＋∞)上为增函数，f (3)＝0，且g(x)＝f (x＋1)为偶函数，则不等式g(2－2x)<0的解集为________．
答案 (0,2)
解析 由已知g(x)在[0，＋∞)上为增函数，g(2)＝0，
又g(x)为偶函数，
∴g(2－2x)<0可化为g(2－2x)
1．设f (x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f (x)＝则f ＝______.
答案 1
解析 f ＝f ＝－4×2＋2＝1.
2．已知定义在R上的函数f (x)满足f (2)＝2－，且对任意的x都有f (x＋2)＝，则
f (2 020)＝________.
答案 －2－
解析 由f (x＋2)＝，得f (x＋4)＝＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4，所以
f (2 020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝，所以f (4)＝－＝－＝－2－.故f (2 020)＝－2－.
3．(2019·石家庄模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且满足f (x)＝f (2－x)，当x∈[0,1]时，f (x)＝4x－1，则f ＝________.
答案 －1
解析 因为f (x)＝f (2－x)，所以f ＝f ，
又f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f ＝f ＝－f .
因为当x∈[0,1]时，f (x)＝4x－1，
所以f ＝－1＝1，则f ＝－1.
4．设定义在R上的函数f (x)同时满足以下条件：①f (x)＋f (－x)＝0；②f (x)＝f (x＋2)；③当0≤x<1时，f (x)＝2x－1，则f ＋f (1)＋f ＋f (2)＋f ＝________.
答案 －1
解析 依题意知：函数f (x)为奇函数且周期为2，
则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0.
∴f ＋f (1)＋f ＋f (2)＋f
＝f ＋0＋f ＋f (0)＋f
＝f －f ＋f (0)＋f
＝f ＋f (0)＝－1＋20－1＝－1.
思维升华 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
函数性质的综合应用
命题点1 函数的奇偶性与单调性相结合
例4 (2017·全国Ⅰ改编)函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围是________．
答案 [1,3]
解析 因为函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且f (1)＝－1，所以f (－1)＝－f (1)＝1，由－1≤f (x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3.
命题点2 函数的奇偶性与周期性相结合
例5 设f (x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x)＝则f (2 019)＝________.
答案
解析 设0
命题点3 函数的奇偶性与对称性相结合
例6 已知定义在R上的函数f (x)，对任意实数x有f (x＋4)＝－f (x)，若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，f (－2)＝2，则f (2 018)＝________.
答案 2
解析 由函数y＝f (x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f (x)的图象关于y轴对称，故f (x)为偶函数．
由f (x＋4)＝－f (x)，得f (x＋4＋4)＝－f (x＋4)＝f (x)，所以f (x)是周期T＝8的偶函数，所以f (2 018)＝f (2＋252×8)＝f (2)＝2.
命题点4 函数的周期性与对称性相结合
例7 已知f (x)的定义域为R，其函数图象关于x＝－1对称，且f (x＋4)＝f (x－2)．若当x∈
[－4，－1]时，f (x)＝6－x，则f (919)＝________.
答案 216
解析 由f (x＋4)＝f (x－2)，得f (x＋6)＝f (x)．
故f (x)是周期为6的函数．
所以f (919)＝f (6×153＋1)＝f (1)．
因为f (x)的图象关于x＝－1对称，所以f (1)＝f (－3)．
又x∈[－4，－1]时，f (x)＝6－x，
所以f (－3)＝6－(－3)＝216.
从而f (1)＝216，故f (919)＝216.
思维升华 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
跟踪训练2 (1)定义在R上的函数f (x)满足f (x)＝f (－x)，且f (x)＝f (x＋6)，当x∈[0,3]时，f (x)单调递增，则f (x)在下列哪个区间上单调递减( )
A．[3,7] B．[4,5] C．[5,8] D．[6,10]
答案 B
解析 依题意知，f (x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x∈[0,3]时，f (x)单调递增，所以f (x)在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f (x)在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]⊆[3,6]，所以函数f (x)在[4,5]上单调递减．
(2)(2018·全国Ⅱ)已知f (x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x)＝f (1＋x)．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
答案 C
解析 ∵f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，
∴f (1－x)＝－f (x－1)．∵f (1－x)＝f (1＋x)，
∴－f (x－1)＝f (x＋1)，∴f (x＋2)＝－f (x)，
∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝－[－f (x)]＝f (x)，
∴函数f (x)是周期为4的周期函数．
由f (x)为奇函数且定义域为R得f (0)＝0，
又∵f (1－x)＝f (1＋x)，
∴f (x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0.
又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)
＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.
故选C.
(3)(多选)已知函数y＝f (x)是R上的奇函数，对任意x∈R，都有f (2－x)＝f (x)＋f (2)成立，当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，都有＞0，则下列结论正确的有( )
A．f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝0
B．直线x＝－5是函数y＝f (x)图象的一条对称轴
C．函数y＝f (x)在[－7,7]上有5个零点
D．函数y＝f (x)在[－7，－5]上为减函数
答案 ABD
解析 根据题意，函数y＝f (x)是R上的奇函数，
则f (0)＝0；
对任意x∈R，都有f (2－x)＝f (x)＋f (2)成立，
当x＝2时，有f (0)＝2f (2)＝0，则有f (2)＝0，
则有f (2－x)＝f (x)，
即x＝1是函数f (x)的一条对称轴；
又由f (x)为奇函数，则f (2－x)＝－f (－x)，
变形可得f (x＋2)＝－f (x)，
则有f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，
故函数f (x)是周期为4的周期函数，
当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，都有＞0，则函数f (x)在区间[0,1]上为增函数，
又由y＝f (x)是R上的奇函数，
则f (x)在区间[－1,1]上为增函数；
据此分析选项：
对于A，f (x＋2)＝－f (x)，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝[f (1)＋f (3)]＋[f (2)＋f (4)]＝0，
f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝505×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0，A正确；
对于B，x＝1是函数f (x)的一条对称轴，且函数f (x)是周期为4的周期函数，则x＝5是函数f (x)的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线x＝－5是函数y＝f (x)图象的一条对称轴，B正确；
对于C，函数y＝f (x)在[－7,7]上有7个零点：分别为－6，－4，－2,0,2,4,6，C错误；
对于D，f (x)在区间[－1,1]上为增函数且其周期为4，函数y＝f (x)在[－5，－3]上为增函数，
又由x＝－5为函数f (x)图象的一条对称轴，则函数y＝f (x)在[－7，－5]上为减函数，D正确．
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