2.5函数的对称性与周期性学案-2024届高三数学一轮复习

2.4　函数的对称性与周期性

【考试要求】1、了解函数的周期性及其几何意义2、能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.3会利用对称性和周期性解决问题．

【再现型题组】

1、判断下列结论正确是           

①函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．

②函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．

③若函数f(x)满足f(x)＋f(1-x) ＝2，则f(x)的图象关于（0,1）对称．

④若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称

⑤若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期．

⑥对f(x)定义域内任一自变量的值x，若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)

⑦若函数f(x)关于和对称，则是函数f(x)的周期

2、函数f(x)＝图象的对称中心为(　　)

A．(0,0)   B．(0,1)    C．(1,0)   D．(1,1)

3．(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是(　　)

A．f(x)＝f(－x) B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0 C．f(－x)＝－f(x＋4) D．f(x＋2)＝f(x－2)

4、已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝________.

5、若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)＝x－1，则     

【巩固型题组】

1、(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2，则(　　)

A．f(2 023)＝0                B．f(x)的值域为[－1,2]

C．f(x)在[4,6]上单调递减       D．f(x)在[－6,6]上有8个零点

2、已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2 023)等于(　　)

A．－2  B．2  C．0  D．－4

【变式】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(x－1)>f(1)的解集为________．

3、已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　)

A．关于直线x＝1对称       B．关于直线x＝3对称

C．关于直线y＝3对称       D．关于点(3,0)对称

【变式】设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)的图象与y＝f(1－x)的图象(　　)

A．关于y轴对称            B．关于x轴对称

C．关于直线x＝1对称       D．关于直线y＝1对称

【提高型题组】

1、已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝＋1，y＝f(x)与y＝g(x)有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________．

【变式】已知函数f(x)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝|x2－4x－5|与函数y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝________.

【反馈型题组】

1．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于(　　)

A．1  B．2  C．0  D．－2

2、若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f ＋f(2)等于(　　)

A．0  B．2  C．4  D．－2

3．已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2 025)等于(　　)

A．－1  B．1  C．0  D．3

4．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则下列关于f(x)的结论中正确的有(　　)

A．f(x)的图象关于直线x＝1对称     B．f(x)在[0,1]上单调递增

C．f(x)在[1,2]上单调递减            D．f(2)＝f(0)

5、已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为________．

6．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________.

7．写出一个定义域为R，周期为π的偶函数f(x)＝________.

8、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)．