人教A版普通高中数学一轮复习第二章第三节第一课时函数的奇偶性、周期性、对称性学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第二章第三节第一课时函数的奇偶性、周期性、对称性学案，共18页。

第1课时 函数的奇偶性、周期性、对称性
自查自测
知识点一 函数的奇偶性
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．( × )
(2)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0.( × )
(3)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)中心对称．( √ )
2．(多选题)(教材改编题)下列给出的函数是奇函数的是( ABD )
A．y＝1xB．y＝x2+1x
C．y＝x3＋1D．y＝sin x
3．函数f(x)＝(x＋1)x-1x+1是 函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
非奇非偶 解析：f(x)的定义域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．
4．已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝－52．
5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b＝13．
核心回扣
1．函数的奇偶性
2.奇偶函数的等价形式
若f(x)≠0，则奇、偶函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f-xfx＝1⇔f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f-xfx＝－1⇔f(x)为奇函数．
自查自测
知识点二 函数的周期性
1．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则f92＝( )
A．12B．2
C．22D．1
B 解析：由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)的周期T＝2，所以f92＝f12＝＝2.
2．若函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2 025)＝ ．
132 解析：因为f(x)f(x＋2)＝13，
所以f(x＋2)＝13fx，
所以f(x＋4)＝13fx+2＝1313fx＝f(x)，
所以f(x)的周期为4，
所以f(2 025)＝f(1)＝13f3＝132．
核心回扣
函数的周期性
自查自测
知识点三 函数的对称性
1．函数y＝lg0.5x与y＝lg2x的图象( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
A 解析：由y＝lg0.5x，得y＝－lg2x，所以函数y＝lg0.5x与y＝lg2x的图象关于x轴对称．
2．若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于( )
A．直线x＝0对称
B．直线y＝0对称
C．直线x＝1对称
D．直线y＝1对称
C 解析：函数f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，f(1－x)＝f(－(x－1))的图象是f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到的．因为f(x)与f(－x)的图象关于y轴(直线x＝0)对称，所以函数y＝ f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选C.
核心回扣
1．(1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
2．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x) 的图象关于x轴对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x) 的图象关于原点对称．
【常用结论】
1．函数奇偶性的2个常用结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性的3个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a>0)．
3．函数对称性的3个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
(3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)或f(3a－x)＝f(x－a)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
应用1 已知函数f(x)＝x3＋x＋m是定义在区间[－2－n，2n]上的奇函数，则m＋n＝( )
A．0B．1
C．2D．4
C 解析：由已知得－2－n＋2n＝0且f(0)＝0，所以n＝2，m＝0，此时f(x)＝x3＋x，x∈[－4，4]是奇函数，满足题意．故m＋n＝2.
应用2 已知奇函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，且f(3)＝2，则f(1)＝( )
A．－1B．2
C．3D．5
B 解析：由奇函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，可得f(x)＋f(2－x)＝0.令x＝3，得f(3)＋f(－1)＝0.又f(3)＝2，所以f(－1)＝－2，所以f(1)＝－f(－1)＝2.
应用3 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－1fx，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，则f(9)＝ ．
1 解析：因为f(x＋2)＝－1fx，所以T＝4为函数f(x)的一个周期，故f(9)＝f(2×4＋1)＝f(1)＝2×1－1＝1.
函数的奇偶性
考向1 判断函数的奇偶性
【例1】(1)(多选题)(2024·威海模拟)下列函数中是偶函数的是( )
A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln |x|
C．f(x)＝sin x+π2D．f(x)＝ex－e－x
BC 解析：对于A，f(x)＝x3＋1，定义域为R，f(1)＝2，f(－1)＝0，故f(x)为非奇非偶函数；对于B，f(x)＝ln |x|，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝ln |－x|＝ln |x|，故f(x)为偶函数；对于C，f(x)＝sin x+π2＝cs x，故f(x)为偶函数；对于D，易知定义域为R，f(x)＝ex－e－x，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
(2)(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝1-x1+x，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋1
B 解析：由题意可得f(x)＝1-x1+x＝－1＋21+x．对于A，f(x－1)－1＝2x－2不是奇函数；对于B，f(x－1)＋1＝2x是奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝2x+2－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝2x+2，定义域不关于原点对称，不是奇函数．
(3)(多选题)设函数f(x)＝ex-e-x2，则下列结论正确的有( )
A．|f(x)|是偶函数
B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数
D．f(|x|)f(x)是偶函数
ABC 解析：因为f(x)＝ex-e-x2，定义域为R，f(－x)＝e-x-ex2＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以|f(x)|为偶函数，－f(x)为奇函数，f(x)·|f(x)|为奇函数．因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数．
(4)已知函数f(x)＝x2+x，x<0，-x2+x，x>0，则该函数的奇偶性是 ．
奇函数 解析：(方法一)当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(方法二)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)为奇函数．
判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法，即根据奇函数、偶函数的定义来判断．
(2)图象法，即利用奇函数、偶函数图象的对称性来判断．
(3)性质法，即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断．考向2 函数奇偶性的简单应用
【例2】(1)若f(x)＝2x，x>0，gx+x2，x<0为奇函数，则g(－2)＝( )
A．－8B．－4
C．－2D．0
A 解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－4.又f(－2)＝g(－2)＋4，可得g(－2)＝－8.故选A.
(2)已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(－2)＝( )
A．4B．3
C．2D．1
C 解析：由f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，得f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2.由函数的奇偶性得f(x)－g(x)＝x2－x－2，联立得f(x)＝x2－2，所以f(－2)＝2.
(3)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin x+π2为偶函数，则a＝ ．
2 解析：(方法一：定义法)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2－ax＋sin -x+π2＝(x－1)2＋ax＋sin x+π2，解得a＝2.
(方法二：特殊值法)因为f(x)为偶函数，所以f-π2＝fπ2，即-π2-12－π2a＝π2-12＋π2a，解得a＝2.
(4)(2024·哈尔滨模拟)若函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为 ．
2 解析：依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，显然函数g(x)的定义域为R，则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，即函数g(x)是奇函数，因此，函数g(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值的和为0.而f(x)＝g(x)＋1，则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，所以M＋N的值为2.
应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法
(1)求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式，先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值，利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得到关于参数的方程(组)，进而得出参数的值．
1．设函数f(x)＝1x2-2x+3，则下列函数中为偶函数的是( )
A．f(x＋1)
B．f(x)＋1
C．f(x－1)
D．f(x)－1
A 解析：f(x)＝1x2-2x+3＝1x-12+2，则f(x＋1)＝1x2+2．
因为y＝1x2+2是偶函数，所以f(x＋1)为偶函数．B，C，D既不是奇函数，也不是偶函数．故选A.
2．(2024·石家庄模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x，则f(x)在R上的解析式为 ．
f(x)＝ex+x，x＞0，0，x=0， -e-x+x，x<0 解析：由已知，得当x＝0时，f(0)＝0.
当x<0时，－x>0，则f(－x)＝e－x－x.
因为f(x)为R上的奇函数，
所以 f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋x，
所以f(x)＝ex+x，x＞0，0，x=0， -e-x+x，x<0.
函数的周期性
【例3】(1)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，fx+12＝fx-12，则f(6)＝( )
A．－2B．－1
C．0D．2
D 解析：当x>12时，由fx+12＝fx-12，得f(x＋1)＝f(x)，即f(x)的周期为1，则f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2.
(2)(2024·湖南六校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋lg2x，则f(2 025)＝( )
A．5B．12
C．2D．－5
C 解析：由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝21＋lg21＝2.
函数周期性问题的求解策略
(1)只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
1．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为( )
A．2B．1
C．－1D．－2
A 解析：因为f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)．又f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0，故f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.所以f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2.故选A.
2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为 ．
5 解析：当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)＝0，所以函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1，则f(0)＝0.当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.当x5＝4时，f(4)＝f(0)＝0，也符合要求．
函数图象的对称性
【例4】(2024·日照期末)定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)．若f(x)的图象关于直线x＝3对称，则下列选项中一定成立的是( )
A．f(－3)＝1B．f(0)＝0
C．f(3)＝2D．f(5)＝－1
A 解析：因为函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，所以f(3－x)＝f(x＋3)，所以f(0)＝f(6)，f(1)＝f(5)，f(2)＝f(4)．又因为f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)．取x＝1，得f(1)＝2－f(1)，所以f(1)＝1，则f(1)＝f(5)＝1.取x＝5，则f(－3)＝2－f(5)＝1.故选A.
求解与函数图象的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心，大多是结合图象利用对称性解决求值或参数问题．
1．下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A.y＝ln (1－x)
B．y＝ln (2－x)
C．y＝ln (1＋x)
D．y＝ln (2＋x)
B 解析：函数y＝ln x的图象过定点(1，0)，(1，0)关于直线x＝1对称的点还是(1，0)，只有y＝ln (2－x)的图象过此点．
2．已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝x+1x与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 024，y2 024)，则∑(▒) 2 024,i＝1(xi＋yi)＝ ．
2 024 解析：因为f(－x)＝2－f(x)，所以函数f(x)(x∈R)的图象关于点(0，1)对称．又y＝x+1x＝1＋1x的图象关于点(0，1)对称，所以两函数图象的交点也关于点(0，1)对称．对于每一组对称的(xi，yi)和(x′i，y′i)，都有xi＋x′i＝0，yi＋y′i＝2，从而∑(▒) 2 024,i＝1(xi＋yi)＝2 0242×2＝2 024.
课时质量评价(七)

1．若f(x)＝x(x＋1)(x＋a)(a∈R)为奇函数，则a的值为( )
A．－1B．0
C．1D．－1或1
A 解析：由题得f(－1)＋f(1)＝0，故a＝－1.故选A.
2．已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x－1，则f(f(f(1)))＝( )
A．2B．－2
C．1D．－1
B 解析：根据题意可知f(1)＝－2，由奇函数性质可知f(f(1))＝f(－2)＝－f(2)＝1，所以f(f(f(1)))＝f(1)＝－2.故选B.
3．(2024·深圳模拟)f(x)为R上的奇函数，且f(x＋5)＝ f(x)，当x∈-52，0时，f(x)＝2x－1，则f(16)的值为( )
A．12B．－12
C．32D．－32
A 解析：定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋5)＝f(x)，所以f(x)的周期为5.又当x∈-52，0时，f(x)＝2x－1，所以f(16)＝f(5×3＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－(2-1－1)＝12．故选A.
4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝3x2－x＋2a＋1.若f(2)＝13，则a＝( )
A．1B．3
C．－3D．－1
D 解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－2)＝3×(－2)2＋2＋2a＋1＝f(2)＝13，解得a＝－1.
5．函数f(x)＝9x+13x的图象( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝x对称
B 解析：因为f(x)＝9x+13x＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．
6．(2024·济宁模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，则f(2 022)＝( )
A．0B．1
C．－1D．2 022
A 解析：因为f(x－2)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4.又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(2)＝－f(0)＝0，故f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝0.
7．若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足f(x－1)>1e2－e2的x的取值范围是( )
A．(－2，＋∞)B．(－1，＋∞)
C．(2，＋∞)D．(3，＋∞)
B 解析：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝1－a＝0，所以a＝1，所以f(x)＝ex－e－x，所以f(x)为R上的增函数．又f(－2)＝e-2－e2＝1e2－e2，所以原不等式可化为f(x－1)>f(－2)，所以x－1>－2，即x>－1，故x的取值范围是(－1，＋∞)．
8．(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f-13＝13，则f53＝( )
A．－53B．－13 C．13 D．53
C 解析：由题意可得，f53＝f1+23＝f-23＝－f23，而f23＝f1-13＝f13＝－f-13＝－13，故f53＝13．
9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝5且f(x＋3)＝－f(x)，则f(2 022)＋ f(2 023)＝( )
A．－5B．2
C．0D．5
D 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期为6，所以f(2 022)＋f(2 023)＝f(6×337)＋f(6×337＋1)＝f(0)＋f(1)＝0＋5＝5.故选D.
10．(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝ ．
1 解析：设g(x)＝a·2x－2－x.因为f(x)为偶函数，所以g(x)是奇函数，所以g(0)＝a－1＝0，解得a＝1.
11．(2024·苏州模拟)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝ ．
①f(x)是定义域为R的奇函数；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2.
2sin π2x(答案不唯一) 解析：由条件①②③可知函数是对称轴为直线x＝1，定义域为R的奇函数，可写出满足条件的函数f(x)＝2sin π2x.
12．已知函数f(x)对任意实数x满足f(－x)＋f(x)＝2，若函数y＝f(x)的图象与直线y＝x＋1有三个交点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则y1＋y2＋y3＝ ．
3 解析：因为f(－x)＋f(x)＝2，所以f(x)的图象关于点(0，1)对称，y＝f(x)与y＝x＋1有三个交点，则(0，1)是其中一个交点，另外两个交点关于点(0，1)对称，则y1＋y2＋y3＝2＋1＝3.
13．(2024·湛江模拟)已知函数g(x)＝f(2x)－x2为奇函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝( )
A．－2B．－1
C．1D．2
C 解析：因为g(x)为奇函数，所以g(－1)＝－g(1)，即f(－2)－1＝－f(2)＋1＝－1＋1＝0，所以f(－2)＝1.故选C.
14．定义函数D(x)＝1，x为有理数，-1，x为无理数，则下列命题中正确的是( )
A．D(x)不是周期函数
B．D(x)是奇函数
C．D(x)的图象存在对称轴
D．D(x)是周期函数，且有最小正周期
C 解析：当m为有理数时，D(x＋m)＝1，x为有理数，-1，x为无理数，所以D(x＋m)＝D(x)，所以任何一个有理数m都是D(x)的周期，所以D(x)是周期函数，但无最小正周期，所以选项A，D错误．若x为有理数，则－x也为有理数，所以D(x)＝D(－x)；若x为无理数，则－x也为无理数，所以D(x)＝D(－x)．故总有D(－x)＝D(x)，所以函数D(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以选项B错误，选项C正确．
15．(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)＝f(x＋2)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是周期函数
C．f992＝－1
D．x∈[－1，0)时，f(x)＝x
AB 解析：因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A正确；又f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，故B正确；设x∈[－1，0)，则－x∈(0，1]，所以f(－x)＝－x，又f(x)是偶函数，则f(x)＝－x，即当x∈[－1，0)时，f(x)＝－x，f992＝f50-12＝f-12＝－-12＝12，故C，D错误．故选AB.
16．(多选题)已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝ f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论成立的是( )
A．f(0)＝2
B．f(x)为偶函数
C．f(x)为奇函数
D．f(2)＝－1
ABD 解析：因为∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，取x＝1，y＝0，可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，又f(1)＝1，所以f(0)＝2，A正确；取x＝0，y＝x，可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)，因为f(0)＝2，所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)为偶函数，C错误，B正确；取x＝1，y＝1，可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，又f(1)＝1，f(0)＝2，所以f(2)＝－1，D正确．故选ABD.
17．设函数f(x)＝sinxx2+1，若函数f(x)在R上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝ ．
0 解析：因为f(x)＝sinxx2+1，其定义域为R，又f(－x)＝－sinxx2+1＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故M＋m＝0.
18．已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)＋22，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(1)＝3，则f(2 025)＝ ．
3 解析：由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．由f(x＋4)＝－f(x)＋22，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋22＝f(x)，所以f(x)是周期为8的偶函数，所以f(2 025)＝f(1＋253×8)＝f(1)＝3.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于
y轴对称
奇函数
设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于
原点对称
周期
函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期
最小正
周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期