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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用教学设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用教学设计，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重点，学法与教学用具，教学过程，教学反思等内容，欢迎下载使用。
5.3.1 函数的单调性
一、教学目标
1、通过函数的单调性与导数的正负之间的关系得出利用导数判断函数单调性的方法.
2、熟练掌握利用导数判断函数单调性的方法.
二、教学重点、难点
重点：利用导数判断函数的单调性.
难点：熟练应用导数解决函数单调性的问题.
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【回顾】
【思考】导数的应用只能是解决切线的问题吗？
【情景】
【问题】过山车在设计过程中用到了那些数学知识呢？
（二）阅读精要，研讨新知
布置阅读课本，与同桌交流一下所理解的内容.
【解读】
观察图象可以发现：
（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度随时间的增加而增加，
即单调递增. 相应地，.
（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度随时间的增加而减小，
即单调递减. 相应地，.
【思考】能否由的正负来判断函数的单调性呢?
【发现】
【实例研讨】
【函数的单调性与导数的关系】
一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：
在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增；
在某个区间上，如果，那么函数 在区间上单调递减.
【例题研讨】阅读领悟课本例1、例2（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（1） （2） （3）
解：（1）因为,所以函数在上单调递增，如图所示.
（2）因为，所以,
所以函数在上单调递增，如图所示.
（3）因为，所以
所以在和上单调递增，如图所示.
例2已知导函数的下列信息：当时，;
当，或时，;当,或时，.
试画出函数图象的大致形状.
解：当时，, 可知在区间内单调递增；
当，或时，,可知在区间和上都单调递减；
当,或时，， 这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.
综上，函数图象的大致形状如图所示.
【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
【典型函数研究】形如的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性.
【例题研讨】阅读领悟课本例3、例4（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）
例3求函数的单调区间.
解：函数的定义城为. 所以
令,解得,或.
和把函数定义域划分成三个区间，
在各区间上的正负，以及的单调性如表5.3-1所示，
所以，在和上单调递增，在内单调递减，如图5.3-6所示.
【小结】
例4设，两个函数的图象如图5.3-8所示.判断的图象与之间的对应关系.
解：由已知，，
当时，；
当时，;
当时，.
所以，在上都是增函数. 在区间上，的图象比的图象要 “陡峭”；
在 区间上，的图象比的图象要“平缓”.
所以，的图象依次是图5.3-8中的 .
【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
（三）探索与发现、思考与感悟
1. 函数的单调递增区间是( )
A． B． C． D．
解：由已知，，
令，解得，故选D.
2. 设函数在定义域内可导, 的图象如图所示,则导函数的图象可能为( )
解：由图象可知,在单调递增，所以，当时，先递增，后递减，
再递增，所以先有，再有，然后有，故选D.
3. 对于上的任意函数,若满足,则必有( )
A.B.
C. D.
解：由题意,当时, ,当时, ,
所以函数的单调递增区间是,单调递减区间为,
所以,所以. 故选C.
4. 已知函数，若函数在其定义域内为单调函数，则的取值范围为___________．
解：由已知，，要使函数在定义域内为单调函数，
只需在内恒大于0或恒小于0.
当时，在内恒成立；
当时，要使恒成立，所以，解得.
综上，的取值范围为或.
答案：
（四）归纳小结，回顾重点
（五）作业布置，精炼双基
1.完成课本习题5.3 1、2
2.预习5.3.2 函数的极值与最大（小）值
五、教学反思：（课后补充，教学相长）
导数的几何意义与切线方程
函数在处的切线的斜率
过点的切线方程
过山车呈现的曲线
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.
高台跳水运动员呈现的曲线关系
高台跳水运动员呈现的曲线关系
当时，
函数的图象是“上升”的，函数在内单调递增.
当时，
函数的图象是“下降”的，函数在内单调递减.
函数
图象
导数的正负
单调性
在上
单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上
单调递增
在上单调递减，在上单调递减
判断函数单调性的步骤
第一步
确定函数的定义域
第二步
求出导数的零点
第三步
用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各 区间上的正负，由此得出函数在定义城内的单调性.
A
B
C
D
判断函数单调性的步骤
第一步
确定函数的定义域
第二步
求出导数的零点
第三步
用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各 区间上的正负，由此得出函数在定义城内的单调性.
5.3.1 函数的单调性
一、教学目标
1、通过函数的单调性与导数的正负之间的关系得出利用导数判断函数单调性的方法.
2、熟练掌握利用导数判断函数单调性的方法.
二、教学重点、难点
重点：利用导数判断函数的单调性.
难点：熟练应用导数解决函数单调性的问题.
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【回顾】
【思考】导数的应用只能是解决切线的问题吗？
【情景】
【问题】过山车在设计过程中用到了那些数学知识呢？
（二）阅读精要，研讨新知
布置阅读课本，与同桌交流一下所理解的内容.
【解读】
观察图象可以发现：
（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度随时间的增加而增加，
即单调递增. 相应地，.
（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度随时间的增加而减小，
即单调递减. 相应地，.
【思考】能否由的正负来判断函数的单调性呢?
【发现】
【实例研讨】
【函数的单调性与导数的关系】
一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：
在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增；
在某个区间上，如果，那么函数 在区间上单调递减.
【例题研讨】阅读领悟课本例1、例2（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（1） （2） （3）
解：（1）因为,所以函数在上单调递增，如图所示.
（2）因为，所以,
所以函数在上单调递增，如图所示.
（3）因为，所以
所以在和上单调递增，如图所示.
例2已知导函数的下列信息：当时，;
当，或时，;当,或时，.
试画出函数图象的大致形状.
解：当时，, 可知在区间内单调递增；
当，或时，,可知在区间和上都单调递减；
当,或时，， 这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.
综上，函数图象的大致形状如图所示.
【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
【典型函数研究】形如的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性.
【例题研讨】阅读领悟课本例3、例4（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）
例3求函数的单调区间.
解：函数的定义城为. 所以
令,解得,或.
和把函数定义域划分成三个区间，
在各区间上的正负，以及的单调性如表5.3-1所示，
所以，在和上单调递增，在内单调递减，如图5.3-6所示.
【小结】
例4设，两个函数的图象如图5.3-8所示.判断的图象与之间的对应关系.
解：由已知，，
当时，；
当时，;
当时，.
所以，在上都是增函数. 在区间上，的图象比的图象要 “陡峭”；
在 区间上，的图象比的图象要“平缓”.
所以，的图象依次是图5.3-8中的 .
【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
（三）探索与发现、思考与感悟
1. 函数的单调递增区间是( )
A． B． C． D．
解：由已知，，
令，解得，故选D.
2. 设函数在定义域内可导, 的图象如图所示,则导函数的图象可能为( )
解：由图象可知,在单调递增，所以，当时，先递增，后递减，
再递增，所以先有，再有，然后有，故选D.
3. 对于上的任意函数,若满足,则必有( )
A.B.
C. D.
解：由题意,当时, ,当时, ,
所以函数的单调递增区间是,单调递减区间为,
所以,所以. 故选C.
4. 已知函数，若函数在其定义域内为单调函数，则的取值范围为___________．
解：由已知，，要使函数在定义域内为单调函数，
只需在内恒大于0或恒小于0.
当时，在内恒成立；
当时，要使恒成立，所以，解得.
综上，的取值范围为或.
答案：
（四）归纳小结，回顾重点
（五）作业布置，精炼双基
1.完成课本习题5.3 1、2
2.预习5.3.2 函数的极值与最大（小）值
五、教学反思：（课后补充，教学相长）
导数的几何意义与切线方程
函数在处的切线的斜率
过点的切线方程
过山车呈现的曲线
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.
高台跳水运动员呈现的曲线关系
高台跳水运动员呈现的曲线关系
当时，
函数的图象是“上升”的，函数在内单调递增.
当时，
函数的图象是“下降”的，函数在内单调递减.
函数
图象
导数的正负
单调性
在上
单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上
单调递增
在上单调递减，在上单调递减
判断函数单调性的步骤
第一步
确定函数的定义域
第二步
求出导数的零点
第三步
用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各 区间上的正负，由此得出函数在定义城内的单调性.
A
B
C
D
判断函数单调性的步骤
第一步
确定函数的定义域
第二步
求出导数的零点
第三步
用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各 区间上的正负，由此得出函数在定义城内的单调性.
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