高中5.3 导数在研究函数中的应用教案

课程目标

学科素养

A.掌握利用导数判断函数的单调性的一般步骤．

B．探究函数增减的快慢与导数的关系．

C.学会处理含参函数的单调性问题

1.数学抽象：导数与函数单调性的关系

2.逻辑推理：运用导数正负判断函数单调性

3.数学运算：函数单调区间的求解

4.直观想象：函数增减的快慢与导数的关系

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    温故知新

1.函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系

定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：

增 ;减

2．判断函数y＝f (x)的单调性

第1步：确定函数的______；

第2步：求出导数f ′(x)的____；

第3步：用f ′(x)的____将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的____，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．

定义域 ;零点 ;零点 ;正负

探究1. 形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性。

例3. 求函数的单调区间.

解：函数 的定义域为R，对f(x)求导，得

令0,解得：

，

在各区间上的正负，以及单调性如表所示。

所以，f(x)在在 上单调递增，

在 单调递减。如图所示

如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？

用解不等式法求单调区间的步骤

1确定函数fx的定义域；

2求导函数f′x；

3解不等式f′x＞0或f′x＜0，并写出解集；

4根据3的结果确定函数fx的单调区间.

跟踪训练1.求下列函数的单调区间：

(1)f (x)＝3x2－2ln x；(2)f (x)＝x2e－x.

 [解]　(1)f (x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，

f ′(x)＝6x－＝＝，

由x＞0，f ′(x)＞0，解得x＞.

由x＞0，f ′(x)＜0，解得0＜x＜.

∴函数f (x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为，

单调递减区间为.

(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．

∵f ′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f ′(x)＝0，

由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表：

∴f (x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，

单调递增区间为(0，2)．

探究2：

分析

分析

函数图象的变化趋势与导数值大小的关系

一般地，设函数y＝f (x)，在区间(a，b)上：

快;陡峭 ;慢;平缓

例4.设

解：因为

所以, ,

当x=1时，

当0<x<1时,

当x>1时，

所以，f(x),g(x)在 上都是增函数。在区间（0,1）上，

g(x)的函数图象比f(x)的图像要“陡峭”；在区间 ，

g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓”。

所以，f(x),g(x)的图象依次是图中的C2,C1。

例5. 设g(x)＝ln x－ax2＋(a－2)x，a＜0，试讨论函数g(x)的单调性．

[思路探究]　先对原函数求导得g′(x)＝－(x＞0)，再对a分类讨论得函数g(x)的单调性．

(1)当a＜－2时，∵－＜，

∴g′(x)＝－＞0等价于(2x－1)＞0，

易得函数g(x)在和上单调递增，

同理可得在上单调递减；

(2)当a＝－2时，g′(x)＝≥0恒成立，

∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；

(3)当－2＜a＜0时，∵－＞，∴g′(x)＝－＞0等价于(2x－1)＞0，易得函数g(x)在和上单调递增，同理可得在上单调递减．

利用导数研究含参函数fx的单调区间的一般步骤

1确定函数fx的定义域；

2求导数f′x；

3分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；

4在不同的参数范围内，解不等式f′x＞0和f′x＜0，确定函数fx的单调区间.

跟踪训练2．试求函数f (x)＝kx－ln x的单调区间．

[解]　函数f (x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝k－＝.

当k≤0时，kx－1＜0，

∴f ′(x)＜0，则f (x)在(0，＋∞)上单调递减．

当k＞0时，由f ′(x)＜0，得＜0，解得0＜x＜；

由f ′(x)＞0，得＞0，解得x＞.

∴当k＞0时，f (x)的单调递减区间为，

单调递增区间为.

综上所述，当k≤0时，f (x)的单调递减区间为(0，＋∞)；

当k＞0时，f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为.

温故知新，提出问题，，引导学生探究运用导数研究函数的单调性。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心素养。

通过特例，体会函数增长快慢与导数之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。

通过典型例题的分析和解决，帮助学生体会含参函数的求导问题，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。

三、达标检测

1．求函数f(x)＝的单调区间．

解：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．

f′(x)＝＝.

因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.

由f′(x)>0得x>3，

所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；

由f′(x)<0得x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，

所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．

2.已知函数f (x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．

[解]　由已知得f ′(x)＝3x2－a，

因为f (x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，

所以f ′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，

即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.

又因为a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，

f (x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.

3．已知函数f (x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，讨论f (x)的单调性．

[解]　f (x)的定义域为(－∞，＋∞)，

f ′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．

①若a≤0，则f ′(x)＜0，所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减．

②若a＞0，则由f ′(x)＝0，得x＝－ln a.

当x∈(－∞，－ln a)时，f ′(x)＜0；

当x∈(－ln a，＋∞)时，f ′(x)＞0.

所以f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，

在(－ln a，＋∞)上单调递增．

综上，当a≤0时，f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减；

当a＞0时，f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，

在(－ln a，＋∞)上单调递增．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

1．判断或证明函数的单调性，首先确定函数的定义域，然后求得函数的导数，根据导数的正负得到不等式的解集，从而确定函数的单调性．

2．利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到三种情况：

(1)区间端点大小不确定型

由于函数导数不等式中的区间端点大小不定，因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分类讨论函数的单调区间．

(2)区间端点与定义域关系不确定型

此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论．

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。