人教A版 (2019)第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义教案设计

这是一份人教A版 (2019)第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义教案设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重点，学法与教学用具，教学过程，教学反思等内容，欢迎下载使用。

5.1.1 变化率问题
一、教学目标
1、认知用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，通过认识瞬时速度是平均速度的极限，初步体会极限思想.
2、通过抛物线的割线“逼近”切线的过程，进一步体会极限思想.
3、初步掌握求瞬时速度和切线斜率的方法.
二、教学重点、难点
重点：对物理模型和数学模型中出现的极限思想的理解和瞬时速度的求法.
难点：在瞬时速度和切线斜率的求法中体会极限思想.
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【情景一】阅读关于微积分的小视频1 《牛顿、莱布尼茨与微积分》
【情景二】阅读关于微积分的小视频2 《牛顿对运动的思考。
【情景三】阅读关于微积分的小视频3 《微积分发明之争》
【情景四】阅读关于微积分的小视频4 《你不知道的莱布尼茨》
【问题】如何精确定量地刻画变化速度的快慢？
（二）阅读精要，研讨新知
阅读课本 （预定用时2-3分钟），记忆相关概念.
问题1 高台跳水运动员的速度
【探究】在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 (单 位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系.
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢?
【阅读解析】
【发现】运动员在这段时间里的平均速度为0. 但是这段时间内，运动员仍在运动之中，因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态！
【瞬时速度】为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入物体在某一时刻 的速度，称为瞬时速度(instantaneus velcity).
【探究】瞬时速度与平均速度有什么关系?你能利用这种关系求运动员在 s时的瞬时速度吗?
【具象分析】
【发现】从数据上看，当无限趋近于0时，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于.
由可知，当时，平均速度.
【结论】数学中，我们把上述的叫做“当无限趋近于0时，的极限”，
记为
【物理意义】从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度，因此，运动员在s时的瞬时速度 m/s.
【小组互动】完成课本练习1、2，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
问题2 抛物线的切线的斜率.
借助知识点：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.
以为例进行讨论.
【探究】如何定义抛物线在点处的切线?
【类比】与研究瞬时速度类似，在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况.
【发现】当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线.
【探究】如何求抛物线在点处的切线的斜率?
【具象分析】
【发现】当无限趋近于0时，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线的斜率都无限趋近于2.
由可知，当时，斜率.
【结论】数学中，我们把上述的2叫做“当无限趋近于0时，的极限”，
记为
【几何意义】从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点无限趋近于点时，割线无限趋近于点处的切线，这时，割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率，因此切线的斜率.
【小组互动】完成课本练习1、2，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
【思考与解答】阅读领悟课本思考，与同桌交流并找出正确答案在小组公布.
（三）探索与发现、思考与感悟
1. 已知，则秒时的瞬时速度为____________
解：由题意可知=
=(米/秒).
答案：29.4
2. 已知曲线上一点，则过点处的切线斜率为( )
A．4 B．16 C．8 D．2
解：由已知，过点处的切线斜率为，故选C.
3.已知曲线上一点，则过点的切线的倾斜角为________．
解：由已知，过点的切线的斜率
所以，则切线的倾斜角为.
答案：
4. 过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程为____________．
解：由已知，曲线在点的斜率

所以所求直线方程为，即.
答案：
（四）归纳小结，回顾重点
（五）作业布置，精炼双基
1.完成课本习题5.1 1、2
2.预习5.2 导数的概念及其几何意义
五、教学反思：（课后补充，教学相长）
时间段
平均速度
(m/s)
(m/s)
(m/s)
注意：
(m/s)
当时，在时间段内
当时，在时间段内
当时，在时间段内
当时，在时间段内
……
……
观察：如图,当点沿着抛物线趋近于点时，割线有什么变化趋势?
可以利用几何画板等信息技术工具，或者手绘动态分解图，
演示图中的动态变化趋势.
记，则点，
……
……
对变化率和极限的理解
某一时刻对应的瞬时速度的求法
某一点处的切线的斜率的求法
在（
(或)
的值即为所求的瞬时速度.
的值即为所求的切线斜率.