新教材2023版高中数学第五章一元函数的导数及其应用章末过关检测新人教A版选择性必修第二册

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章末过关检测(二)　一元函数的导数及其应用一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)＝x2－3x，则f′(1)＝(　　)A．－1 B．0 C．1 D．22．函数f(x)＝(x－1)ex的单调递减区间为(　　)A．(－∞，0) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)3．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能为(　　)　　4．已知曲线f(x)＝(x＋a)ex在点(－1，f(－1))处的切线与直线2x＋y－1＝0垂直，则实数a的值为(　　)A．－2eB．2eC．－eq \f(e,2)D．eq \f(e,2)5．已知y＝x－1与曲线y＝ln (x－a)相切，则a的值为(　　)A．－1B．0C．1D．26．已知a为函数f(x)＝x3－4x2－3x－5的极大值点，则a＝(　　)A．3B．－eq \f(1,3)C．－23D．－eq \f(121,27)7．若a＝eq \f(ln3,3)，b＝eq \f(1,e)，c＝eq \f(3ln2,8)，则(　　)A．b>a>cB．b>c>aC．c>b>aD．c>a>b8．若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)<0，则(　　)A．2f(3)>3f(2) B．2f(3)<3f(2) C．3f(3)>2f(2) D．3f(3)<2f(2)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．下列求导运算正确的是(　　)A．若f(x)＝sin (2x－1)，则f′(x)＝2cos (2x－1)B．若f(x)＝e－0.05x＋1，则f′(x)＝e－0.05x＋1C．若f(x)＝eq \f(x,ex)，则f′(x)＝eq \f(1＋x,ex)D．若f(x)＝xlnx，则f′(x)＝lnx＋110．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是(　　)A.函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减B．函数f(x)在x＝2处取得极大值C．函数f(x)在x＝－4处取得极小值D．函数f(x)只有一个极值点11．设b为实数，直线y＝3x＋b能作为曲线f(x)的切线，则曲线f(x)的方程可以为(　　)A．f(x)＝－eq \f(1,x) B．f(x)＝eq \f(1,2)x2＋4lnxC．f(x)＝x3 D．f(x)＝ex12．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则(　　)A．当a＝1时，f(x)的极小值为f(0)B．当a＝－1时，函数f(x)有一个极值点C．当a≤0时，零点个数为1个D．当a>0时，零点个数为2个三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．若函数f(x)满足f(x)＝4lnx－xf′(2)，则f′(2)＝____________．14．曲线f(x)＝x2cosx在x＝eq \f(π,2)处的切线斜率为____________．15．同时满足性质：①f(x)－f(－x)＝0；②f(xy)＝f(x)f(y)；③当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0的函数f(x)的一个解析式为____________．16．已知函数f(x)＝ex2－aex有三个零点，则实数a的取值范围是____________.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f(x)＝－eq \f(1,3)x3＋x2.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．18．(12分)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝－1处取得极小值．(1)求c的值；(2)求f(x)在区间[－4，0]上的最值．19．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋4x2的图象经过点A(1，5).(1)求曲线y＝f(x)在点A处的切线方程；(2)曲线y＝f(x)是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．20．(12分)已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(1,2)x2－ax＋1(a∈R)，在x＝0处切线的斜率为－2.(1)求a的值及f(x)的极小值；(2)讨论方程f(x)＝m(m∈R)的实数解的个数．21．(12分)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋1.(1)求a，b；(2)证明：f′(x)≥1－e－1.22．(12分)现有一批货物从上海洋山深水港运往青岛，已知该船的最大航行速度为35海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成.轮船每小时使用的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y元表示为速度x(海里/小时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大的速度航行？章末过关检测(二)　一元函数的导数及其应用1．解析：由题意得，f′(x)＝2x－3，故f′(1)＝2－3＝－1.故选A.答案：A2．解析：∵f(x)＝(x－1)ex，∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，令f′(x)<0，即xex<0，解得x<0，∴f(x) 的单调递减区间为(－∞，0).故选A.答案：A3．解析：根据导函数的正负可判断，原函数的单调性为先增后减再增，故排除AD；又C选项，递减区间斜率不变，故排除．故选B.答案：B4．解析：由f(x)＝(x＋a)ex，得f′(x)＝ex＋(a＋x)ex＝(x＋a＋1)ex，则f′(－1)＝eq \f(a,e)，因为曲线f(x)＝(x＋a)ex，在点(－1，f(－1))处的切线与直线2x＋y－1＝0垂直，所以eq \f(a,e)＝eq \f(1,2)，故a＝eq \f(e,2).故选D.答案：D5．解析：由题意，设切点为(x0，x0－1)，所以x0－1＝ln (x0－a)，y′＝eq \f(1,x－a)，所以eq \f(1,x0－a)＝1⇒x0－a＝1，所以x0－1＝0⇒x0＝1，则ln (1－a)＝0⇒a＝0.故选B.答案：B6．解析：因为f(x)＝x3－4x2－3x－5，所以f′(x)＝3x2－8x－3＝(3x＋1)(x－3)，所以当x>3或x<－eq \f(1,3)时f′(x)>0，当－eq \f(1,3)0)，则f′(x)＝eq \f(1－lnx,x2)，当00，f(x)递增，当x>e时，f′(x)<0，f(x)递减，当x＝e时，函数取得最大值，由于e<3<8，故eq \f(lne,e)>eq \f(ln3,3)>eq \f(ln8,8)，即b>a>c.故选A.答案：A8．解析：构造函数g(x)＝eq \f(f（x）,x)(x≠0)，∵函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)<0，∴g′(x)＝eq \f(xf′（x）－f（x）,x2)>0，∴x>0时，函数g(x)单调递增，∴g(3)>g(2)，即eq \f(f（2）,2)<eq \f(f（3）,3)，即3f(2)<2f(3).故选A.答案：A9．解析：A，因为f(x)＝sin (2x－1)，所以f′(x)＝2cos (2x－1)，故正确；B，因为f(x)＝e－0.05x＋1，所以f′(x)＝－0.05e－0.05x＋1，故错误；C，因为f(x)＝eq \f(x,ex)，所以f′(x)＝eq \f(1－x,ex)，故错误；D，因为f(x)＝xlnx，所以f′(x)＝lnx＋1，故正确．故选AD.答案：AD10．解析：由导函数f′(x)的图象可知，当x>2时，f′(x)<0；当x<2时，f′(x)≥0，即函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，即函数f(x)在x＝2出取得极大值．故选BD.答案：BD11．解析：因为直线y＝3x＋b能作为曲线f(x)的切线，所以f′(x)＝3有解，对于A，由f(x)＝－eq \f(1,x)，得f′(x)＝eq \f(1,x2)，由f′(x)＝3，得eq \f(1,x2)＝3，解得x＝±eq \f(\r(3),3)，所以直线y＝3x＋b能作为曲线f(x)＝－eq \f(1,x)的切线，所以A正确；对于B，由f(x)＝eq \f(1,2)x2＋4lnx，得f′(x)＝x＋eq \f(4,x)(x>0)，由f′(x)＝3，得x＋eq \f(4,x)＝3，化简得x2－3x＋4＝0，因为Δ＝(－3)2－4×4<0，所以方程无解，所以直线y＝3x＋b不能作为曲线f(x)＝eq \f(1,2)x2＋4lnx的切线，所以B错误；对于C，由f(x)＝x3，得f′(x)＝3x2，由f′(x)＝3，得3x2＝3，解得x＝±1，所以直线y＝3x＋b能作为曲线f(x)＝x3的切线，所以C正确；对于D，由f(x)＝ex，得f′(x)＝ex，由f′(x)＝3，得ex＝3，解得x＝ln3，所以直线y＝3x＋b能作为曲线f(x)＝ex的切线，所以D正确．故选ACD.答案：ACD12．解析：由题意，函数f(x)＝xex－ax－1，可得f′(x)＝(x＋1)ex－a，当a＝1时，f′(x)＝(x＋1)ex－1，且f′(0)＝0，当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x＝0时，函数f(x)取得极小值f(0)，所以A正确；当a＝－1时，f′(x)＝(x＋1)ex＋1，令g(x)＝(x＋1)ex＋1，可得g′(x)＝(x＋2)ex，当x<－2时，g′(x)<0，f(x)单调递减；当x>－2时，g′(x)>0，f(x)单调递增，又由g(－2)＝－e－2＋1>0，所以g(x)>0，即f′(x)>0，所以f(x)单调递增，所以f(x)没有极值点，所以B错误；由函数f(x)＝xex－ax－1，则f(0)＝－1，所以0不是f(x)的零点，令f(x)＝0，即xex－ax－1＝0，所以a＝ex－eq \f(1,x)，所以函数f(x)的零点，即为函数y＝a与h(x)＝ex－eq \f(1,x)的交点横坐标，又由h′(x)＝ex＋eq \f(1,x2)>0，可得函数h(x)单调递增，当x<0时，h(x)>0；当x→0时，h(x)→－∞；当x→＋∞时，h(x)→＋∞；在直角坐标系中画出函数y＝a与h(x)＝ex－eq \f(1,x)的图象，结合图象得：当a≤0时，函数f(x)有一个零点，这个零点为正数；当a>0时，函数f(x)有两个零点，其中一个是正数一个是负数．故选ACD.答案：ACD13．解析：∵f(x)＝4lnx－xf′(2)，∴f′(x)＝eq \f(4,x)－f′(2)，令x＝2，则f′(2)＝eq \f(4,2)－f′(2)，∴f′(2)＝1.答案：114．解析：因为函数f(x)＝x2cosx的导数为f′(x)＝2xcosx－x2sinx，所以可得在x＝eq \f(π,2)处的切线斜率k＝f′(eq \f(π,2))＝2×eq \f(π,2)coseq \f(π,2)－(eq \f(π,2))2sineq \f(π,2)＝－eq \f(π2,4).答案：－eq \f(π2,4)15．解析：由①f(x)－f(－x)＝0，即f(x)＝f(－x)，则f(x)是偶函数，由②f(xy)＝f(x)f(y)，可得f(x)可以是幂的形式，由③当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0可得f(x)在(0，＋∞)单调递减，综上，可得f(x)的一个解析式可以为f(x)＝－x2.答案：f(x)＝－x2(答案不唯一)16．解析：由ex2－aex＝0，得a＝x2e1－x.设g(x)＝x2e1－x，则g′(x)＝e1－xx(2－x).当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，当x∈(0，2)时，g′(x)>0，当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，2)上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，又g(0)＝0，g(2)＝eq \f(4,e)，故函数g(x)＝x2e1－x的图象如图所示：故当00，可得x>－1或x<－3，令f(x)<0，可得－30，可得x>－eq \f(1,3)或x<－1，令f(x)<0，可得－1eq \f(13,3)或m<－eq \f(1,6)时，方程f(x)＝m有1个实数解；当m＝eq \f(13,3)或m＝－eq \f(1,6)时，方程f(x)＝m有2个实数解，当－eq \f(1,6)2时g′(x)>0，当x<2时g′(x)<0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，所以g(x)min＝g(2)＝1－e－1，即g(x)≥1－e－1，即f′(x)≥1－e－1.22．解析：(1)依题意，速度是x(海里/时)，轮船每小时的燃料费0.6x2，总共行驶eq \f(500,x)(小时)，所以全程运输成本y＝eq \f(500,x)(960＋0.6x2)＝eq \f(480000,x)＋300x，由题意知，函数的定义域为(0，35]，即全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数为y＝eq \f(480000,x)＋300x(0