高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列精品测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列精品测试题，共6页。

4．2．2等差数列的前n项和公式


1.（2019·吉林长春市实验中学高一期中）已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋eq \f(1,2)(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的前9项和等于( )


A．27 B.eq \f(63,2) C．45 D．－9


【答案】A


【解析】由已知数列{an}是以1为首项，以eq \f(1,2)为公差的等差数列，∴S9＝9×1＋eq \f(9×8,2)×eq \f(1,2)＝9＋18＝27.


2.（2020·辽宁高一期末） 在等差数列{an}中，aeq \\al(2,3)＋aeq \\al(2,8)＋2a3a8＝9，且an<0，则S10等于( )


A．－9 B．－11 C．－13 D．－15


【答案】D


【解析】由aeq \\al(2,3)＋aeq \\al(2,8)＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，


∵an<0，∴a3＋a8＝－3，


∴S10＝eq \f(10a1＋a10,2)＝eq \f(10a3＋a8,2)＝eq \f(10×－3,2)＝－15.


3．（2019·山东师范大学附中高一月考）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于( )


A．36 B．35 C．34 D．33


【答案】C


【解析】方法一 a2＝S2－S1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，


a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.


∴a2＋a18＝34.


方法二 易知{an}为等差数列．∴a2＋a18＝a1＋a19，S19＝eq \f(19a1＋a19,2)＝192－2×19，


∴a1＋a19＝34，即a2＋a18＝34.


4.（2020黑龙江建三江分局第一中学高一期末）等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为( )


A．160 B．180 C．200 D．220


【答案】B


【解析】由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，


由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，于是S20＝10(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×(－8＋26)＝180.


5.（2020漠河高级中学高一月考）已知等差数列{an}中，a1 009＝4，S2 018＝2 018，则S2 019等于( )


A．－2 019 B．2 019


C．－4 038 D．4 038


【答案】C


【解析】因为{an}是等差数列，


所以S2 018＝1 009(a1＋a2 018)＝1 009(a1 009＋a1 010)＝2 018，


则a1 009＋a1 010＝2.又a1 009＝4，所以a1 010＝－2，


则S2 019＝eq \f(2 019a1＋a2 019,2)＝2 019a1 010＝－4 038.


6.（2019·山东滕州市第一中学新校高一期中）一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是( )


A.3 B.－3 C.－2 D.－1


【答案】B


【解析】


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a3＋…＋a2n－1＝na1＋\f(nn－1,2)×2d＝90，,a2＋a4＋…＋a2n＝na2＋\f(nn－1,2)×2d＝72，))


得nd＝－18.


又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.


因为k∈N*，所以k＝7.故满足条件的n的值为7.


7.（2020广东深圳中学高一期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于( )


A.3 B.4 C.5 D.6


【答案】C


【解析】am＝2，am＋1＝3，故d＝1，


因为Sm＝0，故ma1＋eq \f(mm－1,2)d＝0，


故a1＝－eq \f(m－1,2)，


因为am＋am＋1＝5，


故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d


＝－(m－1)＋2m－1＝5，


即m＝5.


8.（2019·山东省实验中学高二月考）含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )


A.eq \f(2n＋1,n) B.eq \f(n＋1,n) C.eq \f(n－1,n) D.eq \f(n＋1,2n)


【答案】B


【解析】S奇＝eq \f(n＋1a1＋a2n＋1,2)，S偶＝eq \f(na2＋a2n,2)，


∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n＋1,n).


9.【多选题】（2020·山东高二期末）设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（ ）


A．数列是递增数列 B．


C． D．中最大的是


【答案】BCD


【解析】A选项：因为，则将.代入，，化简求得，即，数列是递减数列，不正确；


B选项：因为，正确；


C选项：因为，则将.


代入，，


化简求得，正确；


D选项：由可知.则在中存在自然数，使得.


则就是 中的最大值.


,解得.


故中最大的是，正确，故选BCD


10.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________.


【答案】10


【解析】 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.


∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(nn＋1,2).


当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.


∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根.


11.（2019·吉林长春市实验中学高一期中）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq \f(S3,S6)＝eq \f(1,3)，则eq \f(S6,S12)＝________.


【答案】eq \f(3,10)


【解析】方法一 eq \f(S3,S6)＝eq \f(3a1＋3d,6a1＋15d)＝eq \f(1,3)，


∴a1＝2d，


eq \f(S6,S12)＝eq \f(6a1＋15d,12a1＋66d)＝eq \f(12d＋15d,24d＋66d)＝eq \f(3,10).


方法二 由eq \f(S3,S6)＝eq \f(1,3)，


得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，


公差为(S6－S3)－S3＝S3，


从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3⇒S9＝6S3，


S12－S9＝S3＋3S3＝4S3⇒S12＝10S3，


∴eq \f(S6,S12)＝eq \f(3,10).


12.（2019·河南郑州一中高一期中）若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 013＋a2 014＞0，a2 013·a2 014＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是________.


【答案】4026


【解析】由条件可知数列单调递减，


故知a2 013＞0，a2 014＜0，


故S4 026＝eq \f(4 026a1＋a4 026,2)＝2 013(a2 013＋a2 014)＞0，


S4 027＝eq \f(4 027a1＋a4 027,2)＝4 027×a2 014＜0，


故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是4 026.


13.（2019·晋江市子江中学高一期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若eq \(OB,\s\up6(→))＝a1eq \(OA,\s\up6(→))＋a200·eq \(OC,\s\up6(→))，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝ .


【答案】100


【解析】 因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，


所以a1＋a200＝1，所以S200＝eq \f(200a1＋a200,2)＝100.


12．（2020·广西田阳高中高一月考）已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.


(1)求数列{an}的通项公式an；


(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝eq \f(Sn,n＋c)，求非零常数c.


【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.


∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117，


∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．


又公差d>0，∴a3

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝9，,a1＋3d＝13，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝4，))∴an＝4n－3，n∈N*.


(2)由(1)知，Sn＝n×1＋eq \f(nn－1,2)×4＝2n2－n，


∴bn＝eq \f(Sn,n＋c)＝eq \f(2n2－n,n＋c).


∴b1＝eq \f(1,1＋c)，b2＝eq \f(6,2＋c)，b3＝eq \f(15,3＋c).


∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，


∴2c2＋c＝0，∴c＝－eq \f(1,2) (c＝0舍去)．


经检验，c＝－eq \f(1,2)符合题意，∴c＝－eq \f(1,2).


13.（2019·宣威市民族中学高一月考）数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*).


(1)求数列{an}的通项公式；


(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.


解 (1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0.∴an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.


∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.


(2)∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.


当n>5时，an<0；


当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.


∴当n>5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)


＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，


当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|


＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.


∴Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9n－n2， n≤5，,n2－9n＋40， n>5.))