人教版（2024）九年级上册22.2二次函数与一元二次方程优秀学案

这是一份人教版（2024）九年级上册22.2二次函数与一元二次方程优秀学案，共3页。学案主要包含了二次函数与一元二次方程的联系，利用函数的图象解一元二次方程，实际问题与二次函数等内容，欢迎下载使用。

知识点梳理
知识点练习
知识点一 二次函数与一元二次方程的联系
1.小兰画了一个函数 y=x²+ax+b的图象如图所示，则关于x的方程 x²+ax+b=0的解是( )
A.无解 B. x=1
C. x=-4 D.x=-1或 x=4
2.已知二次函数 y=x2-x+14m-1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 ( )
A. m≤5 B. m≥2 C. m<5 D. m>2
3.二次函数 y=x²-4x+3的图象交x轴于A，B两点，交 y轴于点C，则△ABC的面积为 ( )
A.1 B.3 C.4 D.6
4.已知二次函数 y=-x-h²(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为 ( )
A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6
知识点二 利用函数的图象解一元二次方程
5.如图是二次函数 y=ax²+bx+c的图象，图象上有两点分别为 A(2.18，-0.61),B(2.68,0.44),则方程 ax²+bx+c=0的一个解只可能是 ( )
C.-0.51
6.如图，已知二次函数 y=ax²+bx+c的部分图象，由图可知关于x的一元二次方程 ax²+bx+c=0的两个根分别是x₁=1.6,x₂= ( )
A. -1.6 B.3.2
C.4.4 D.以上都不对
7.如图是二次函数 y=ax²+bx+c(a,bc是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A 在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1.对于下列说法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m为实数);⑤当-10,其中正确的是 ( )
A.①②④ B.①②⑤ C.②③① D.③④⑤
知识点三 实际问题与二次函数
8.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式 h=-t²+24t+1.则下列说法中正确的是( )
A.点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B.点火后24s火箭落于地面
C.点火后10s的升空高度为 139m
D.火箭升空的最大高度为145m
9.一件工艺品进价为 100元，标价 135 元销售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为 ( )
A.4元 B.5元
C.8元 D.10元
10.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2m，则水面宽度增加 m.
11.某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50m)，中间用两道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占 地面积的最大值为 m².
12.小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各 50盆.售后统计，盆景的平均每盆利润是 160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变.
小明计划第二期培植盆景与花卉共100 盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W₁，W₂(单位：元).
(1)用含x的代数式分别表示 W₁,W₂;
(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少?
1. D
2. A 解析：若该二次函数的图象与x轴有交点，则关于x的一元二次方程 x2-x+14m-1=0有实数根，即 Δ=-12-414m-1≥0,解得 m≤5.故选 A.
3. B
4. B 解析：由二次函数的解析式易得当x=h时，二次函数的函数值y取得最大值0，又因为当x满足2≤x≤5时,对应的函数值y的最大值为-1,所以h<2或h>5,当h<2时,由已知得当x=2时,y=- 2-h²-1,解得h=1(h=3不满足h<2,舍去);当h>5时,由已知得当x=5时, y=-5-h²--1,解得h=6(h=4不满足h>5,舍去).综上所述,h的值为1或6,故选B.
5. D
6. C 解析：由图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图形，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程 ax²+bx+c=0的两个根分别是 x₁，x₂，那么两根满足 2×3-x₁+x₂,而 x₁-1.6,∴x₂-4,4.故选C.
7. A
8. D 解析:A.当t=9s时,h=-9²+24×9+1=-81+216+1=136m,当t=13s时,h=-13²+24×13+1=-169+312+1=144m,136≠144,故此选项错误;B.当t=24s时,h=-24²+24×24+1=1≠0,故此选项错误;C.当t=10s时, h=-10²+24×10+1-141m,故此选项错误;D. h=-t²+24t+1= -t-12²+145.:.当t=12s时,h有最大值,为 145m,故此选项正确.所以选 D.
9. B
10.42-4 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax².易得点(2,-2)在该抛物线上,∴4a =-2,解得 a=-12,故抛物线的解析式为 y=-12x2.令y =-4,1则 -12x2=-4.解得 x=±22,故此时的水面宽度为( 42m,故水面宽度增加( 42-4m本周知识点
概念、基本性质、判定及定理
名师点睛
二次函数与一元二次方程的联系
1.如果抛物线y=ax²+bx+c.与x轴有公共点，公共点的横坐标是x₀,那么当x=x₀时,函数值是0,因此x=x₀是方程ax²+bx+c=0的一个根.
2.二次函数.y=ax²+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax²+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.
由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系。
利用函数的图象解一元二次方程
利用图象法求一元二次方程的实数根，先根据抛物线与x轴的交点，确定实数根的大致范围，然后利用取平均数的方法缩小实数根所在的范围，从而确定一元二次方程的近似实数根.
通过画函数的图象解一元二次方程是数的直观化的体现.但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的根一般是近似的.
实际问题与二次函数
1.一般地,当a>0(a<0)时,抛物线y=ax²+bx+c的顶点是最低(高)点，也就是说，当x=-b/2a时,二次函数y=ax²+bx+c有最小(大)值Aac-b².
2.求某种图形的面积最大时，可以利用二次函数的图象和性质，把面积最大问题转化为二次函数的最大值问题.
3.利润问题反映的是销售额与单
价、销售量与利润之间的关系，在
解决商品获利最大的问题时，要通
过“利润=售价-进价”“利润率=
利润
进价×100%”等公式建立函数模
型，把利润问题转化为函数问题来
解决.
4.解决抛物线形建筑物问题的关键是根据已知条件选择合理的位置建立直角坐标系，结合问题中的数据求出函数解析式，然后利用函数解析式，解决问题.
对于实际问题中的最值，要注意有时并不是抛物线顶点的纵坐标.原因是顶点的横坐标可能不在自变量的取值范围之内.
11.144 解析:如图,设总占地面积为Sm²,CD的长度为xm.由题意知AB=CD=EF=GH=xm,∴BH=(48-4x)m∴ S=AB·BH=x(48-4x)=-4(x-6)²+144. ∵0m0m,∴012.解:(1)W₁=(50+x)(160-2x)=-2x²+60x+8000,W₂=(50-x)×19=-19x+950.
2W-W1+W2=-2x2+4L+8>50=-2x-4142+732818由题意可得，x取整数，结合二次函数的性质，得当x=10时，总利润W 最大，最大总利润是9160元.