初中数学人教版（2024）九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系优秀学案设计

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系优秀学案设计，共4页。学案主要包含了直线和圆的位置关系，切线的判定定理和性质定理等内容，欢迎下载使用。

知识点梳理
知识点练习
知识点一 点和圆的位置关系
1.已知⊙O的半径r=10cm,圆心到直线l的距离( OM=8cm,在直线l上有一点 P,且PM=6cm,则点 P ( )
A.在⊙O外
B.在⊙O上
C.在⊙O内
D.可能在⊙O内，也可能在⊙O外
知识点二 圆的确定条件
2.下列关于确定一个圆的说法中，正确的是 ( )
A.三个点一定能确定一个圆
B.以已知线段为半径能确定一个圆
C.以已知线段为直径能确定一个圆
D.菱形的四个顶点能确定一个圆
知识点三 三角形的外接圆
3.下列三角形中，外接圆的圆心在三角形外的是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.如图所示,在△ABC中, AB=AC=10,BC=12,则 △ABC外接圆半径为 .
知识点四 反证法
5.用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点 P到圆心的距离为d，且 d>r,则点 P 在⊙O的外部”，应先假设 .
知识点五 直线和圆的位置关系
6.已知圆的半径为3cm，如果圆心到一条直线的距离为4cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是 ( )
A.相交 B.相离
C.相切 D.不确定
知识点六 切线的判定定理和性质定理
7.下列命题中，真命题是 ( )
A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.经过半径外端的直线是圆的切线
C.经过切点的直线是圆的切线
D.圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
8.如图,AB是⊙O的直径,AC 是⊙O 的切线,连接OC交⊙O于点 D,连接 BD, ∠C=40°,则 ∠ABD的度数是 ( )
A.30° B.25°
C.20° D.15°
9.如图,AB,AC分别是半⊙O的直径和弦, OD⊥AC于点 D,过点 A 作半⊙O的切线AP，AP与OD 的延长线交于点P.连接PC并延长与AB 的延长线交于点 F.
(1)求证:PC是半⊙O的切线;
(2)若. ∠CAB=30°,AB=10,求线段 BF 的长.
知识点七 切线长及切线长定理
10.如图所示，从圆O外一点 P 引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A,B,如果 ∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是 ( )
A.4
B.8
C.43
D.83
11.如图所示,AB 是⊙O 的直径,PA,PC 是⊙O 的切线,A,C 为切点, ∠BAC=30°.
(1)求∠P的大小;
(2)若AB=2,求PA的长(结果保留根号).
知识点八 三角形的内切圆
12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何?”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为 15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?”(如图) ( )
A.3步 B.5步 C.6步 D.8步
13.如图所示，如果正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为 ( )
A.2 B.3 C. 3 D.23
1. B 2. C 3. C
4.254 解析:过A作AD⊥BC于点D,∵AB=AC,∴BD=CD=6.作AB边的中垂线交AD于O,连接OB,则OA=OB.在Rt△ABD中. AD=AB2-BD=8,设OA=OB=x,则OD=AD-OA=8-x,在 Rt△OBD中. OB⁻=OD+BD.即 x²-8-x²+6,解得 x=254.
5.点P在⊙O上或点 P 在⊙O的内部
6. B 7. D
8. B 解析:∵AC是⊙O的切线,∴OA⊥AC,∴∠OAC=90°.∵∠C=40°,∴∠AOC=90°-40°=50°.∵ AD所对的圆心角是∠AOD，圆周角是 ∠ABD,∴∠ABD=12∠AOC=12×50∘=25∘.
9.(1)证明:连接OC,∵OD⊥AC,OD经过圆心O,∴AD=CD,∴PA=PC,在△OAP和△OCP中,(),∵PA=PC,∴△OAP≌△OCP(SSS).∴∠OCP=∠OAP.∵PA是半⊙O的切线,∴∠OAP=90°.∴∠OCP=90°,即OC⊥PC,∴PC是半⊙O的切线.
(2)解:∵AB是半⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠CAB=30°,∴∠COF=60°,∵PC是半⊙O的切线.AB =10,∴αC⟂PF,OC=OB=12AB=5,∴OF=2αC=10,∴BF=OF-OB5.
10. B
11.解:(1)∵PA 切⊙O于点A,AB是⊙O的直径,∴∠PAB=90°.∵∠CAB=30°,∴∠PAC=60°.∵PA=PC,∴△PAC是等边三角形.. ∴∠P=60°; (2)连接OP,则 ∠OPA=12∠APC=30∘,∵OA=1, ∴OP=2,∴PA=OP2-OA7-3.
12. C
13. D 解析:如图,设正三角形为△ABC,⊙O与边BC的切点为D,连接OB,OD,则OD⊥BC.又 ∠OBD-30°,且OD=1,∴OB=2.在Rt△OBD中,由勾股定理,得 BD-3, ∴BC-2BD-23,故选 D.
本周知识点
概念、基本性质、判定及定理
名师点睛
点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点 P到圆心的距离为d，则：①点P在圆外⇔d>r;②点P在圆上⇔d=r;③点P 在圆内⇔d点和圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径的数量关系，是“数”与“形”的结合，即点与圆的位置关系不仅可以用图形来表示，还可以用数量关系来表示.
圆的确定条件
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
“确定一个”是指“有且只有一个”的意思，既说明圆的存在性又说明圆的唯一性.
三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做 这个三角形的外心。
三角形的外接圆是指三角形与圆的相对位置关系，对于圆来说，这个三角形叫圆的内接三角形.
反证法
假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法.
当一个命题从正面不容易证明时，常常采用反证法.
直线和圆的位置关系
1.直线和圆有两个公共点，这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；直线和圆只有一个公共点，这条直线和圆相切；这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点，直线和圆没有公共点，这条直线和圆相离.
2.直线l和⊙O相交⇔dr.
理解切线的定义时，要抓住“只有一个”这一关键词，不能出现“有一个公共点，直线与圆相切”的错误.
切线的判定定理和性质定理
1.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
运用切线的判定与切线的性质时，不要混淆使用它们的前提。
切线长及
切线长定理
1.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
切线是直线，不可度量，切线长是切线上一条线段的长，可以度量.
三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
1.一个三角形只有一个内切圆，而一个圆有无数多个外切三角形.
2.钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部.