【知识点梳理】知识点03 函数及其图像（公式、定理、结论图表）-中考数学必背知识手册

这是一份【知识点梳理】知识点03 函数及其图像（公式、定理、结论图表）-中考数学必背知识手册，共13页。学案主要包含了平面直角坐标系，函数及其图象，一次函数，反比例函数，二次函数，函数的应用等内容，欢迎下载使用。


考点一、平面直角坐标系
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；
（3）点P(x,y)到原点的距离等于.
典例1：（2023•静安区二模）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为，如果已知点在直线上，点在的内部，的半径长为（如图所示），那么点的横坐标的取值范围是 ．
【分析】根据题意设点的坐标为，则点的坐标为，利用两点间距离公式表示出，根据点在的内部可得到不等式，解出不等式即可．
【解答】解：点在直线上，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
点在的内部，
，
整理得：，
，
点的横坐标的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、点与圆的位置关系，理解新定义，熟知两点间的距离公式，并根据点与圆的位置关系列出不等式是解题关键．
考点二、函数及其图象
由函数解析式画其图像的一般步骤：
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.
考点三、一次函数
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k；确定一个一次函数，
典例2：（2023•延庆区一模）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为．当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是
A．一次函数关系B．二次函数关系
C．正比例函数关系D．反比例函数关系
【分析】矩形的周长为，可用来表示即可．
【解答】解：由题意得，
，
，
，
即与是一次函数关系，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的应用等知识，理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数的解析式形式是解题的关键．
典例3：（2023•江岸区二模）如图，是某工程队修路的长度（单位：与修路时间（单位：天）之间的函数关系．该工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率，则该工程队提高效率前每天修路的长度是 米．
A．150B．110C．75D．70
【分析】设工程队提高了工作效率后修路的长度与修路时间之间的函数关系为，用待定系数法求出函数解析式，然后求出时，的值，再根据除以2即可．
【解答】解：设工程队提高了工作效率后修路的长度与修路时间之间的函数关系为，
把和代入解析式得：，
解得，
工程队提高了工作效率后修路的长度与与修路时间之间的函数关系为，
当时，，
该工程队提高效率前每天修路的长度是（米．
故选：．
【点评】本题考查一次函数应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
考点四、反比例函数

典例4：（2023•天津）若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【分析】分别将点，，的坐标代入反比例函数的解析式求出，，，然后再比较它们的大小即可得出答案．
【解答】解：将，代入，得：，即：，
将，代入，得：，即：，
将，代入，得：，即：，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，解答此题的关键是理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
典例5: （2023•株洲）下列哪个点在反比例函数的图象上？
A．B．C．D．
【分析】根据反比例函数的图象上的点的横纵坐标乘积为4进行判断即可．
【解答】解：．，不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意；
．，不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意；
．，不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意；
．，在反比例函数的图象上，故选项符合题意．
故选：．
【点评】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
考点五、二次函数
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

如图：点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为.


2、函数平移规律：左加右减、上加下减.
3、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，.
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，.
4、抛物线的对称变换
①关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是.
②关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是.
③关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是.
④关于顶点对称
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
⑤关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是.
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
典例6: （2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）抛物线经过点，与轴交于点，对称轴为，点是轴上一点，过点作垂直于轴的直线分别交抛物线和直线于点和点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若、、三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点的坐标；
(3)分别过点、向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点、，矩形与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作，的最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为，当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)，，
(3)
【分析】（1）由抛物线的对称轴方程先求解b，再把代入即可得到c，从而可得答案；
（2）先求解抛物线与轴另一交点；直线，设，则，，再分四种情况讨论：①当时，，②当时，，③当时，，④当时，，再建立方程求解即可．
（3）由题意得：，如图，①当时，矩形与抛物线只有一个公共点，不合题意，舍；②当时，最高点为，最低点为，③当时，矩形边界最高点为，最低点为，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为，
∴，，
代入点，得：，，
；
（2）如图，

令，
则或；
抛物线与轴另一交点；
，，
直线，
设，则
，，
①当时，，
，或4（舍）
②当时，，
∴，
解得：或4，都不符合题意，舍去，
③当时，，
，
解得：或4（舍）
④当时，，
，或4（舍）
综上，点的坐标为：，，；
（3）由题意得：，如图，
①当时，矩形与抛物线只有一个公共点，不合题意，舍；
②当时，最高点为，最低点为，
，
（舍），或（舍），
③当时，矩形边界最高点为，最低点为，
，，
（舍），或，
．

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，矩形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
考点六、函数的应用
分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.
典例7：如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+1．
（1）请根据已有信息添加一个适当的条件： C（2，﹣3）（答案不唯一） ；
（2）当函数值y＜6时，自变量x的取值范围： ﹣1＜x＜5 ；
（3）如图1，将函数y＝x2﹣4x+1（x＜0）的图象向右平移4个单位长度，与y＝x2﹣4x+1（x≥4）的图象组成一个新的函数图象，记为L．若点P（3，m）在L上，求m的值；
（4）如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为（2，0），在L上是否存在点Q，使得S△OAQ＝9．若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；
（2）求出y＝6时，对应的x值，再结合图象写出x的取值范围即可；
（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为y＝（x﹣6）2﹣3，根据题意可知x＝3时，P点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上，再求m的值即可；
（4）分两种情况讨论：当Q点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上时，设Q（t，t2﹣12x+33），由S△OAQ＝2×（t2﹣12x+33）＝9，求出Q点坐标即可；当Q点在抛物线y＝x2﹣4x+1的部分上时，设Q（m，m2﹣4m+1），由S△OAQ＝2×（m2﹣4m+1）＝9，求出Q点坐标即可．
【解答】解：（1）C（2，﹣3），
故答案为：C（2，﹣3）（答案不唯一）；
（2）∵y＝x2﹣4x+1，
∴当x2﹣4x+1＝6时，解得x＝5或x＝﹣1，
∴当y＜6时，﹣1＜x＜5，
故答案为：﹣1＜x＜5；
（3）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为y＝（x﹣6）2﹣3，
当x＝3时，点P在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上，
∴m＝6；
（4）存在点Q，使得S△OAQ＝9，理由如下：
当Q点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上时，设Q（t，t2﹣12x+33），
∴S△OAQ＝2×（t2﹣12x+33）＝9，
解得t＝6+2或t＝6﹣2，
∴t＜4，
∴t＝6﹣2，
∴Q（6﹣2，9）；
当Q点在抛物线y＝x2﹣4x+1的部分上时，设Q（m，m2﹣4m+1），
∴S△OAQ＝2×（m2﹣4m+1）＝9，
解得m＝2+2或m＝﹣2，
∵m≥4，
∴m＝2+2，
∴Q（2+2，9）；
综上所述：Q点坐标为（6﹣2，9）或（2+2，9）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．
反比例函数的概念及其图象、性质
易错分析与举例
1.反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝eq \f(k,x)(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝eq \f(k,x)；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
例：函数y=3xm+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．
2.反比例函数的图象和性质
k的符号
图象
经过象限
y随x变化的情况
（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.
易错分析
（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.
k>0
图象经过第一、三象限
（x、y同号）
每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.
k<0
图象经过第二、四象限
（x、y异号）
每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.
3.反比例函数的图象特征
（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；
（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．
例：若(a，b)在反比例函数的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")
4.待定系数法
只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.
例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.
反比例系数的几何意义及与一次函数的综合
5.系数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.
（2）常见的面积类型：
易错分析
已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.
例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：或.
6.与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：
【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.
【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.
例：如图所示，三个阴影部分的面积按从大到小的顺序排列为：S△OPE ＞S△bd＞S△ac.
反比例函数的实际应用
7.一般步骤
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，1），B（1，﹣2），．
求该二次函数的解析式．