初中数学人教版（2024）九年级上册21.1 一元二次方程优秀学案设计

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册21.1 一元二次方程优秀学案设计，共4页。学案主要包含了一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，用公式法解一元二次方程等内容，欢迎下载使用。


知识点练习
知识点一 一元二次方程的概念
1.下列各方程中，是一元二次方程的是 ( )
A.3x+2y=5 B.y²-6y+5=0
C.13x-3=1x D.3x-2=4x-7
2.若关于x的方程( m-1x²+5x+m²-3m+2=0是一元二次方程，则m的值为 ( )
A. m=1 B. m≠1 C. m=2 D. m=0
知识点二 一元二次方程的一般形式
3.把一元二次方程 6x²-3=4x2x-1化为一般形式是 ( )
A.-2x²-4x+3=0 B.2x²+4x-3=0
C.2x²-4x+3=0 D.2x²-4x-3=0
知识点三 一元二次方程的解(根)
4.若 2-3是方程 x²-4x+c=0的一个根，则c的值是 ( )
A.1 B.3-3 C.1+3 D.2+3
5.已知x=1是一元二次方程 x²+ax+b=0的一个根，则代数式 a²+b²+2ab的值是 .
知识点四 配方法
6.方程x²-3=0的根是 ( )
A. x=3 B.x₁=3,x₂=3
C.x=3 D.x1=3,x2=-3
7.一元二次方程 y2-y-34=0 配方后可化为 ( )
A.y+122=1 B.y-122=1
C.y+122=34 D.y-122=34
8.若方程 x-a²+b=0有实数解，则b的取值范围是 .
9.用配方法解方程： 4x²+8x+1=0.
知识点五 一元二次方程根的判别式
10.方程2y-5y=1中, b²-4ac的值为 ( )
A.21 B.17 C.33 D.25
11.关于一元二次方程 x²-2x-1=0根的情况，下列说法正确的是 ( )
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
12.若关于x的一元二次方程 x²+2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值为 .
知识点六 用公式法解一元二次方程
13.用公式法解方程3x²+4=12x,下列代入公式正确的是 ( )
A.x=12±122-3×42
B.x=-12±122×3×42×3
C.x=12±12+3×42
D.x=--12±-122-4×3×4
14.用公式法解一元二次方程 x²-2x-3=0,得方程的两个根分别为
( )
A.x₁=1,x₂=3 B.x₁=1,x₂=-3
C.x₁=-1,x₂=3 D.x₁=-1,x₂=-3
15.已知α是一元二次方程 x²-x-1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是 ( )
A.0<α<1 B.1<α<1.5
C.1.5<α<2 D.216.用公式法解方程：
1y2-22y+3=0;
24x²+4x-1=-10-8x,
1. B 2. B 3. C
4. A 解析: :2-3是方程 x²-4x+c=0的一个根， ∴2-32-4×2-3+c=0,解得c=1,故选 A.
5.1 解析:将x=1代入方程 x²+ax+b=0得a+b=-1,所以 a²+b+2ab=a+b²=1.
6. D 7. B 8. b≤0
9.解: ∴4(x2+2x+1)=-1+4,4x+12=3.x+12=34,x+1=±32,∴x1=-1+32,x2=- -32.
10. C
11. C 解析:由题意可得 Δ=-2²-4×1×-1=8>0,. 方程 x²-2x-1=0有两个不相等的实数根,故选 解析:由题意知 Δ-2²-4×1×-m=0,解得m=-1,即m的值为-1.
13. D 14. C
15. C 解析：对于一元二次方程 x2-x-1=0,∴Δ=-12-4×1×-1=5>0,∴x=--1±52×1 1+52, γ,x1=1+52,x1=1-52.:1+52>1-52.∴α=1+52.∴2<5<3,∴3<1+5<4,:1. <1+52<2.
16.解:(1)a=1,b=-2√₂,c=3,△=b²-4ac=(-2√₂)²-4×1×3=8-12=-4<0,∴方程无实数根.(2)将方程变形，得4x²+12x+9=0.∵a=4,b=12,c=9,∴△=b²-4ac=12²-4×4×9=0,x= -12⟂02×4=-32,∴原方程的根是 x1=x2=-32,
本周知识点
概念、基本性质、判定及定理
名师点睛
一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的三个特征：(1)方程的左右两边都是整式；(2)方程中只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数为2.
一元二次
方程的
一般形式
一元二次方程的一般形式是：ax²+bx+c=0(a≠0).其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
对于ax²+bx+c=0,当a=0时,方程变成bx+c=0，它不再是一元二次方程，因此“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分.如果明确指出方程ax²+bx+c=0.是一元二次方程，那就隐含了a≠0这个条件.
一元二次方程的解(根)
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
判定一个数值是不是一元二次方程的解的方法：将此数值代入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数值是一元二次方程的解，反之，它就不是一元二次方程的解.
配方法
1.形如 x²=p 型方程的解法：
(1)当 p>0时,方程有两个不等的实数根 x₁=-√p,x₂=√p:(2)当 p=0时,方程有两
个相等的实数根x₁=x₂=0;
(3)当 p<0 时,方程无实数根.
2.形如(mx+n)²=p型方程的解法同1中.
3.通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.
配方法解一元二次方程的步骤：(1)转化：将方程化为一般形式. (2)将二次项系数化为 1.(3)移项。(4)配方.(5)求解.
一元二次方程根的判别式
1.一般地，式子b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式，通常用希腊的字母“△”表示它，即△=b²-4ac.2.当△>0时,方程(ax²+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根;当△=0时,方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；当△<0时，方程ax²+bx+c=0(a≠0)无实数根.
1.应用根的判别式时要准确确定a，b，c的值.
2.此判别式只适用于一元二次方程.
用公式法解一元二次方程
1.当△≥0时,方程,ax²+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为x=-b±√₂₆-4ac(的形式，这个式子叫做一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式.
2.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
1.公式法是解一元二次方程的一般方法，适用于任何一个一元二次方程的求解.
2.在一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)下，先确定a，b，c的值，再验证(b²-4ac的符号，只有在b²-4ac≥0时,才可使用求根公式求方程的解.