初中数学人教版（2024）九年级上册21.1 一元二次方程精品课件ppt

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什么叫做一元二次方程？一元二次方程与之前的方程有什么联系？
问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为 x cm，根题意得：
(100-2x)(50-2x)=3600.
x2-75x+350=0. ②
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
解：设比赛组织者应邀请 x 个队参加比赛，根据题意，列方程：
x2-x-56=0. ③
问题3 下列方程是一元一次方程吗？你认为是什么方程？它们有什么共同特点呢？
x2-75x+350=0.
x2-x-56=0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0 ( a≠0)
1.下列方程中哪些是一元二次方程？一元二次方程有什么特征？
一元二次方程三个特征：
1.整式方程2.一个未知数 (一元)3.未知数的最高次数是 2 (二次)
例1 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？
(1) ax2－x = 2x2；
(2) (a－1) x |a| + 1－2x－7 = 0.
解：(1) 将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0，当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程.
解：(2) 由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 ，解之得：当 a = -1 时，当 a = -1，原方程是关于 x 的一元二次方程.
例2 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
3x2 - 3x = 5x + 10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2 - 8x - 10 = 0.
其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10.
一元二次方程一般式 ax2 + bx + c = 0 ( a≠0)的特征：
1.方程右边为02.方程左边化简3.二次项系数一般为正整数
将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项：
（1）4x(x+2)=25 (2)(3x-2)(x+1)=8x-3
解：(1)把4x(x+2)=25 化为一般形式4x2+8x-25=0 ，二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25．
(2)把(3x-2)(x+1)=8x-3化为一般形式3x2-7x+1=0 ，二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1．
一元二次方程的解(根)
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
例3 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值.
解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得
32 + 3a + a = 0.
例3 已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值.
使方程左右两边相等的未知数的值
三特征：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
三条件：(1)整式方程 (2)一元 (3)二次
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x + 2 = 5x - 2；
(x + 3)(2x - 4) = x2；
3y2 = (3y + 1)(y - 2)；
x2 = x3 + x2 - 1；
3x2 = 5x - 1.
3. 关于 x 的方程 (k2 − 1)x2 ＋ 2(k − 1)x＋2k＋ 2＝0，当 k 　　时，是一元二次方程；当 k 　　时，是一元一次方程．
4. (1) 已知方程 5x² + mx − 6 = 0 的一个根为 4，则 m 的 值为________； (2) 若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2－4 = 0有一个根为 0， 求 m 的值.
解：将 x = 0 代入方程得 m2 − 4 = 0，
∵ m + 2 ≠ 0，
综上可知 m = 2.