初中数学北师大版（2024）八年级上册第二章 实数7 二次根式精品巩固练习

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册第二章 实数7 二次根式精品巩固练习，文件包含专题26二次根式的加减十大题型举一反三北师大版原卷版docx、专题26二次根式的加减十大题型举一反三北师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32395" 【题型1 判断同类二次根式】 PAGEREF _Tc32395 \h 1
\l "_Tc8053" 【题型2 根据同类二次根式的概念求字母的取值】 PAGEREF _Tc8053 \h 3
\l "_Tc15495" 【题型3 运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc15495 \h 5
\l "_Tc7052" 【题型4 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc7052 \h 8
\l "_Tc31420" 【题型5 已知字母的取值化简求值】 PAGEREF _Tc31420 \h 10
\l "_Tc19359" 【题型6 已知条件式化简求值】 PAGEREF _Tc19359 \h 12
\l "_Tc9229" 【题型7 与二次根式有关的整体代入求值问题】 PAGEREF _Tc9229 \h 14
\l "_Tc13869" 【题型8 二次根式混合运算的实际应用】 PAGEREF _Tc13869 \h 16
\l "_Tc30592" 【题型9 二次根式的新定义类问题】 PAGEREF _Tc30592 \h 19
\l "_Tc11934" 【题型10 二次根式的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc11934 \h 24
【知识点1 同类二次根式】
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
①同类二次根式类似于整式中的同类项；
②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；
③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
【题型1 判断同类二次根式】
【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？
(1)24，48，112；
(2)x4y，3x3y(x<0)，−2xy3(y<0)．
【答案】(1)不是
(2)不是
【分析】根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ 24=26；
48=43；
112=36；
∴ 24，48，112不是同类二次根式；
（2）解：x4y=x2y；
3x3y=−3xxy(x<0)；
−2xy3=2yxy(y<0)；
∴ x4y，3x3y，−2xy3不是同类二次根式．
【点睛】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键．
【变式1-1】（2023春·四川宜宾·八年级统考期中）下列各式与427是同类二次根式的是（ ）
A．216B．125C．48D．32
【答案】C
【分析】先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义判断．
【详解】解：∵427=293，216=66，125=55，48=43，32=42，
∴与427是同类二次根式的是48，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·上海·八年级期末）下列各式中，属于同类二次根式的是（ ）
A．xy与xy2B． 2x与2xC． 3aa与1aD． a与3a
【答案】C
【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．
【详解】A、xy与xy2=yx的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
B、2x与2x的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
C、3aa与1a=aa的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确；
D、3a是三次根式；故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
【变式1-3】（2023春·河南洛阳·八年级统考阶段练习）下列各式经过化简后与−−27x3不是同类二次根式的是（ ）
A．27x3B．−x327C．−19−3x3D．−x3
【答案】A
【分析】同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方式相同的二次根式.
【详解】解：−−27x3=-−3x⋅(3x)2=-3x−3x
选项A：27x3=3x⋅(3x)2=3x3x；
选项B：−x327=−x327=x9−3x；
选项C：−19−3x3=−x9−3x；
选项D：−x3=13−3x.
B、C、D中都含有−3x，是同类二次根式，A不是，故选A.
【点睛】本题考查了同类二次根式的概念.
【题型2 根据同类二次根式的概念求字母的取值】
【例2】（2023·上海·八年级假期作业）若5x+8与7是同类二次根式，求x的最小正整数？
【答案】x=4
【分析】5x+8不一定是最简二次根式，从而由同类二次根式定义列出方程求解即可得到答案．
【详解】解：由题意得：5x+8=n2×7（n为正整数），
∵n2>0，则5x+8>0，
∴当n=1时，5x+8=7，解得x=−0.2，不是正整数，舍去；
当n=2时，5x+8=28，解得x=4，符合题意，
即x的最小正整数为4．
【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，根据题意列出方程求解是解决问题的关键．
【变式2-1】分别求出满足下列条件的字母a的取值：
(1)若最简二次根式3a与﹣8是同类二次根式；
(2)若二次根式3a与﹣8是同类二次根式．
【答案】(1)a=23
(2)a=2n23
【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案；
（2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案．
【详解】（1）∵﹣8＝﹣22，最简二次根式3a与﹣8是同类二次根式，
∴3a＝2，
解得a=23．
（2）∵二次根式3a与﹣8是同类二次根式，
∴3a＝2n2，
解得a＝2n23．
【点睛】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
【变式2-2】（2023春·重庆綦江·八年级校考期中）最简二次根式2b+1与a+47+b可以合并成一个二次根式，则a−b= ．
【答案】−8
【分析】最简二次根式2b+1与a+47+b能合并成一个二次根式，则两个二次根式的被开方数相等，即可求得a，b值，代入即可求解．
【详解】解：根据题意得：2b+1=7+b,a+4=2，
则a=−2，b=6，
所以a−b=−2−6=−8，
故答案是：−8．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
【变式2-3】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）先阅读解题过程，再回答后面的问题．
如果m、n是正整数，且162m+n和m−n−1m+7在二次根式的加减法中可以合并成一项，求m、n的值．
解：∵162m+n和m−n−1m+7可以合并，
∴m−n−1=2162m+n=m+7，即m−n=331m+16n=7，解得m=5547n=8647．
∵m、n是正整数，
∴此题无解．
问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？
（2）给出正确的解答过程．
【答案】（1）不正确，原因是没有把162m+n转化为最简二次根式；（2）见解析
【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同．
（2）先把162m+n转化为最简二次根式，然后再根据两个二根式能合并列出相应方程组进行求解即可．
【详解】解：（1）不正确，原因是没有把162m+n转化为最简二次根式；
（2）正确解答过程如下：
∵162m+n=42m+n，162m+n和m−n−1m+7可以合并，
∴m−n−1=22m+n=m+7，解得：m=5n=2，
经检验m=5，n=2符合题意，∴m=5，n=2．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
【知识点2 二次根式的加减法则】
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方
法为系数相加减，根式不变．
【题型3 运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】
【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）计算
(1)412−813+48÷23
(2)26+3×26−3−(33−2)2+46−2
【答案】(1)143
(2)−8+76+2
【分析】（1）先计算括号里，再计算除法；
（2）先运用平方差公式和完全平方公式、分母有理化进行计算，再相加减即可
【详解】（1）原式=83−833+43÷23
=2833÷23=143
=143
（2）原式=24−3−27−66+2+46+26−26+2
=21−29+66+6+2
=−8+76+2
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，分母有理化，掌握二次根式混合运算的计算方法是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）计算：27+6+36−3−42−36÷22
【答案】923+1
【分析】先化简二次根式，同步计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可．
【详解】解：27+6+36−3−42−36÷22
=33+6−3−2+323
=923+1．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．
【变式3-2】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）计算：
(1)48÷3+12×12−24
(2)(7+43)(7−43)−(35−1)2
【答案】(1)4−6
(2)65−45
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．
【详解】（1）解：原式=48÷3+12×12−26
=16+6−26
=4−6
（2）解：原式=49−48−(45−65+1)
=1−46+65
=65−45
【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．
【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：
(1)323×−1815÷1225；
(2)212−613+348；
(3)2+32−5+25−2；
(4)2−32022×2+32023−2−32−−20．
【答案】(1)−154
(2)143
(3)4+26
(4)1
【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式计算；
（4）先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算后合并即可．
【详解】（1）解：原式=3×−18×2×23×15×52
=3×−18×2×5
=−154；
（2）原式=43−23+123
=143；
（3）原式=2+26+3−5−4
=2+26+3−1
=4+26；
（4）原式=2−32+32022×2+3−3−1
=12022×2+3−3−1
=1×2+3−3−1
=2+3−3−1
=1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．
【题型4 比较二次根式的大小】
【例4】（2023春·八年级课时练习）比较大小错误的是（ ）
A．5＜7B．35＋2＜82﹣1
C．−7−232＞﹣6D．|1－3|＞3－1
【答案】D
【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．
【详解】A、由于5<7，则5＜7，故正确；
B、由于35＋2<6+2=8，而8=9-1<82－1，则35＋2＜82﹣1，故正确；
C、由于−23>−5，则−7−232>−7−52=−6，故正确；
D、由于1−3=3−1，故1−3>3−1错误．
故选：D
【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．
【变式4-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）将55,66,77从小到大排列 ．
【答案】77<66<55
【分析】先求出三个数的平方，再比较大小即可．
【详解】(55)2=15，(66)2=16，(77)2=17，
∵15>16>17，
∴77<66<55，
故答案为：77<66<55．
【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．平方法是比较二次根式的大小常用的方法．
【变式4-2】（2023春·河南新乡·八年级校考阶段练习）阅读下列化简过程：
12+1=2−12+12−1=2−1，
13+2=3−23+23−2=3−2，
14+3=4−34+34−3=4−3，
…
从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：
(1)12+1+13+2+…+12021+2020·2021+1；
(2)设a=13−2，b=12−3，c=15−2，比较a，b，c的大小关系．
【答案】(1)2020
(2)c>b>a
【分析】（1）根据题意将式子先化简，再运用平方差公式求解即可；
（2）根据题意将a，b，c求出来，再进行二次根式的大小比较即可．
【详解】（1）根据题意可得，原式=2−1+3−2+…+2021−2020·2021+1
=2021−1·2021+1
=2021−1
=2020；
（2）根据题意可得，a=3+23−23+2=3+2，b=2+32−32+3=2+3，c=5+25−25+2=5+2，
∵2<2，
∴3+2<2+3，
即a∵5>3，
∴2+3<2+5，
即b∴c>b>a．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算和平方差公式，正确的理解题意是解决本题的关键．
【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）满足不等式82+1【答案】7
【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数．
【详解】解：∵2≈1.414，5≈2.236，
∴82+1=8（2-1）(2+1)(2−1）=8（2-1）≈3.312 ，83-5=8×（3+5）(3-5)(3+5）=8×（3+5）4=2（3+5）≈10.472，
∵82+1∴3.312∵3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个，
∴整数m的个数是7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了二次根式的化简以及二次根式的估值，解题的关键是熟练化简二次根式．
【题型5 已知字母的取值化简求值】
【例5】（2023春·云南昭通·八年级统考期末）若x＝3＋22，y＝3－22，求x−yx+y−x+y−2xyx−y的值．
【答案】0
【分析】先运用平方差及完全平方公式进行因式分解，再约分，将分式化到最简即可．
【详解】x−yx+y−x+y−2xyx−y
=(x+y)(x−y)x+y−x+y−2xyx−y
=(x+y)(x−y)x+y−(x−y)2x−y
=x−y−x+y
=0．
故当x＝3+22，y＝3−22时，原式=0．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值．运用公式将分子因式分解可使运算简便．由于所求代数式化简之后是一个常数0，与字母取值无关．因而无论x、y取何值，原式都等于0．
【变式5-1】（2023春·四川自贡·八年级统考期末）已知x=2+1，求代数式3−22x2+2−1x−2的值.
【答案】0
【分析】把x值带入后，利用完全平方公式和平方差公式计算即可.
【详解】当x=2+1时，原式=3−222+12+2−12+1−2
=3−223+22+2−12+1−2
=32−(22)2+22−1−2
=9-8+2-1-2
=0
【点睛】本题考查了整式的混合运算−化简求值，解题的关键是把x代入求值时利用公式，比较简单．
【变式5-2】（2023春·山东临沂·八年级校考期末）已知a=2+1，求a2a−1−a−1的值.
【答案】22.
【分析】根据分式的运算法则将a2a−1−a−1化简，然后将a=2+1代入计算即可求出答案．
【详解】解：a2a−1−a−1
=a2a−1−(a+1)
=a2−(a2−1)a−1
=1a−1
当a=2+1时，
原式=12+1−1=12=22．
【点睛】本题考查分式的运算，熟练运用分式的运算法则是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·上海·八年级期末）先化简：xy+yxx+y⋅xy，再求当x=13−22,y=13+22时的值.
【答案】xy；1
【分析】分子中先提出公因式xy进行因式分解，分子分母约去公因式后再利用二次根式乘法进行化简，然后代入数值进行求解即可.
【详解】xy+yxx+y⋅xy
=xyx+yx+y⋅xy
=xy⋅xy
=xy，
当x=13−22,y=13+22时，原式=13−22×13+22=1.
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确确定运算顺序以及运算方法是解题的关键.
【题型6 已知条件式化简求值】
【例6】（2023春·贵州毕节·八年级校考期末）若x，y为实数，且y=1−4x+4x−1+12．求xy+2+yx+xy−2+yx的值．
【答案】22
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵y=1−4x+4x−1+12要有意义，
∴1−4x≥04x−1≥0，
∴14≤x≤14即x=14，
∴y=1−4x+4x−1+12=12，
∴xy=12，yx=2，
∴xy+2+yx+xy−2+yx
=12+2+2+12−2+2
=22．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，正确求出x、y的值是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）已知a、b满足4a−b+1+b−12a−9=0，求代数式ba⋅ab+a−b÷−a−b的值．
【答案】3+1
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵4a−b+1+b−12a−9=0，4a−b+1≥0，b−12a−9≥0，
∴4a−b+1=0，b−12a−9=0
∴4a−b+1=0b−12a−9=0．
解得a=−1b=−3．
ba⋅ab+a−b÷−a−b
=−3−1×−1−3+−1−−3÷−−1−−3
=3×33+−1+3÷1+3
=3+2÷2
=3+1．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，解二元一次方程组，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式6-2】（2023春•肥城市期中）已知 x−69−x=x−69−x，且 x 为奇数，求(x+1)x2−2x+1x2−1的值．
【答案】43
【分析】由二次根式的非负性可确定x的取值范围，再根据x为奇数可确定x的值，然后对原式先化简再代入求值．
【详解】解：由分式和二次根式有意义的条件，可得x−6≥09−x>0，
解得6≤x<9，且x为奇数，
∴x=7，
∴原式=(x+1)(x−1)2(x+1)(x−1)
=(x+1)x−1x+1
=(x+1)(x−1)
=(7+1)×(7−1)
=43．
【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值等知识，解答本题的关键是根据x的取值范围，确定x的值，然后代入求解．
【变式6-3】（2023·八年级单元测试）若a=122+18−182，求a2+a4+a+1的值.
【答案】2.
【分析】已知条件比较复杂，将已知条件变形得出所求式子的结构求值即可.
【详解】∵a+1822=122+182，
∴a2+24a=24．
∴a2=241−a．
∴a4+a+1=181−a2+a+1=a+328．
∵a>0，
∴a2+a4+a+1=241−a+24a+3=2．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，式子较复杂需要先化简条件.
【题型7 与二次根式有关的整体代入求值问题】
【例7】（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考阶段练习）若a=5+1，b=5−1，求下列代数式的值．
(1)a2b+ab
(2)a2−b2
【答案】(1)85
(2)45
【分析】（1）先求解a+b=25，ab=5+15−1=5−1=4，再结合因式分解求解代数式的值即可；
（2）先求解a+b=25，a−b=2，再结合平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵a=5+1，b=5−1，
∴a+b=25，ab=5+15−1=5−1=4，
∴a2b+ab=aba+b=4×25=85；
（2）∵a=5+1，b=5−1，
∴a+b=25，a−b=2，
∴a2−b2=a+ba−b=25×2=45．
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．
【变式7-1】（2023春·陕西安康·八年级统考期末）已知x=3−7，y=3+7，求xy−yx的值．
【答案】−67
【分析】先计算出x+y,x−y与xy的值，再把xy−yx变形为x−yx+yxy，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵x=3−7，y=3+7，
∴x+y=6,x−y=−27,xy=2,
∴xy−yx =x2−y2xy=x−yx+yxy=6×−272=−67．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确进行变形能简化计算．
【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）已知a＝2＋1，求a3－a2－3a＋2016的值．
【答案】2017
【分析】先根据a＝2＋1,可得: a－1＝2,然后利用完全平方公式两边平方可得: (a－1)2＝2,继而可得: a2－2a＝1,然后整体代入a3－a2－3a＋2016= a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016,即可求解.
【详解】解:∵a＝2＋1,
∴a－1＝2,
∴(a－1)2＝2,
即a2－2a＝1,
∴原式＝a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016＝a＋1－a＋2016＝2017.
【点睛】本题主要考查代数式化简求值,解决本题的关键是要利用完全平方公式巧变形,再整体代入思想求解.
【变式7-3】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知a+1a=7，求下列各式的值；
(1)a2+1a2；
(2)a2−1a2．
【答案】(1)5
(2)±21
【分析】（1）利用完全平方公式可得a2+1a2=(a+1a)2−2，即可求解；
（2）根据完全平方公式可得(a−1a)2=(a+1a)2−4，求得a−1a=3，然后利用平方差公式计算a2−1a2的值．
【详解】（1）解： ∵a+1a=7，
∴a+1a2=a2+2+1a2=7，
∴a2+1a2=5；
（2）解：由（1）得a2+1a2=5，
∴a−1a2=a2−2+1a2=5−2=3，
∴a−1a=±3，
又∵a2−1a2=a+1aa−1a，
∴当a−1a=3时，a2−1a2=7×3=21，
当a−1a=−3时，a2−1a2=7×(−3)=−21．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值及完全平方公式、平方差公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
【题型8 二次根式混合运算的实际应用】
【例8】（2023春·北京海淀·八年级期末）快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表：

已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约枌料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由．
【答案】应选择中底面型号的纸箱
【分析】先求出甲、乙两件礼品的边长之和为105cm，进而估算出20<105<25<30，由此即可得到答案．
【详解】解：应选择中型号的纸箱，理由如下：
∵甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，
∴甲、乙两件礼品的边长分别为45cm，65cm，
∴甲、乙两件礼品的边长之和为45cm+65cm=105cm，
∵400<500<625<900，
∴20<105<25<30，
∴只有中型号和大型号两个型号可供选择，
∵25×20<30×25，
∴从节约枌料的角度考虑，应选择中底面型号的纸箱．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确估算出甲、乙两件礼品的边长之和的范围是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·广东汕头·八年级校联考期末）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为 ．
【答案】6105
【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式40a−ma+mb40=90b−mb+ma90，求出m即可．
【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，
甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，
重新混合后，甲容器内果汁的浓度为40a−ma+mb40，
重新混合后，乙容器内果汁的浓度为90b−mb+ma90，
由题意可得，40a−ma+mb40=90b−mb+ma90，
整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），
∴m=6105．
故答案为：6105．
【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期中）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+3 24×3，1+16 21×16，5+5 25×5．
（2）由（1）中各式猜想m+n与2mn(m≥0，n≥0)的大小关系，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少是多少米？
【答案】（1）>，>，=；（2）m+n≥2mn(m≥0，n≥0)；（3）40米
【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；
（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2mn；比较大小，可以作差，根据完全平方公式进行计算，问题得证；
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a＋2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．
【详解】解：（1）∵4+3=7,24×3=43
∴72=49,(43)2=48
∵49>48
∴4+3>24×3
∵1+16=76>1,21×16=63<1
∴1+16>21×16
∵5+5=10,25×5=10,
∴5+5=25×5
故答案为：＞，＞，＝．
（2）m+n≥2mn理由如下：
当m≥0，n≥0时，
∵(m−n)2≥0
∴(m)2−2m⋅n+(n)2≥0
∴m−2mn+n≥0
∴m+n≥2mn
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，
根据（2）的结论可得：a+2b≥2a⋅2b=22ab=22×200=40．
∴篱笆至少需要40米．
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为 ．
【答案】6105
【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式40a−ma+mb40=90b−mb+ma90，求出m即可．
【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，
甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，
重新混合后，甲容器内果汁的浓度为40a−ma+mb40，
重新混合后，乙容器内果汁的浓度为90b−mb+ma90，
由题意可得，40a−ma+mb40=90b−mb+ma90，
整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），
∴m=6105．
故答案为：6105．
【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．
【题型9 二次根式的新定义类问题】
【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用a，b表示数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（a>0，b>0），将m，n与n，m称为数对a，b的一对“对称数对”．例如：4，1的一对“对称数对”为12，1与1，12．
(1)数对25，4的一对“对称数对”是______和______；
(2)若数对3，y的一对“对称数对”的两个数对相同，求y的值；
(3)若数对x，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，求x的值．
【答案】(1)(15，2)和(2，15)
(2)y=13
(3)x=1
【分析】（1）根据题意将a=25，b=4代入m=1a，n=b即可；
（2）(3，y)）的一对“对称数对”的两个数对相同说明13=y相等，求出y即可；
（3）将数对x，2的一对“对称数对”求出来，即得出xx=1，解出x即可．
【详解】（1）∵125=15，4=2，
∴数对25，4的一对“对称数对”是(15，2)和(2，15)．
故答案为：(15，2)和(2，15)；
（2）∵数对3，y的一对“对称数对”的两个数对相同，
∴13=y，
解得：y=13；
（3）∵1x=xx，
∴数对x，2的“对称数对”分别为(xx，2)和(2，xx)．
∵数对x，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，
∴只可能为xx=1，
解得：x=1．
【点睛】本题考查新定义题型，严格按照新定义要求，结合学过的相关知识根据题意列方程求解是解决问题的关键．
【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与2是关于4的共轭二次根式，求a的值；
(2)若2+3与4+3m是关于2的共轭二次根式，求m的值．
【答案】(1)22
(2)-2
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案；
（2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案．
【详解】（1）∵a与2是关于4的共轭二次根式，
∴2a=4．
∴a=42=22．
（2）∵2+3与4+3m是关于2的共轭二次根式，
∴2+3⋅4+3m=2．
∴4+3m=22+3=22−32+32−3=4−23．
∴m=−2．
【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．
【变式9-2】（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）对于任意实数m，n，若定义新运算m⊗n=m−nm≥n,m+nm①18⊗2=22；
②11⊗2+12⊗3+13⊗4+⋅⋅⋅+199⊗100=100⊗1；
③a⊗b⋅b⊗a=a−b．
以上说法中正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】利用新定义进行计算逐一判断即可．
【详解】解：∵18>2，
∴18⊗2=18−2=32−2=22，
所以①正确；
11⊗2+12⊗3+13⊗4+⋅⋅⋅+199⊗100
=11+2+12+3+13+4+⋯+199+100
=2−1+3−2+⋯+100−99
=100−1
=100⊗1
所以②正确；
当a≥b时，a⊗b⋅b⊗a=a−bb+a=a−b=a−b，
当a所以③正确；
故正确的为①②③，有3个，
故选D．
【点睛】本题考查新定义，二次根式的混合运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键．
【变式9-3】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么a2±2ab+b2=|a±b|．如何将双重二次根式5±26化简？我们可以把5±26转化为(3)2±26+(2)2=(3±2)2完全平方的形式，因此双重二次根式5±26=(3±2)2=3±2得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若y′={y(x>0)−y(x<0)，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点(2,−3)的“横负纵变点”为______，点(−33,−2)的“横负纵变点”为______；
(2)化简：7+210；
(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（−2，m）且m=12(a+2a−1+a−2a−1)，点M′是点M的“横负纵变点”，求点M′'的坐标．
【答案】(1)（2，−3）；（−33，2）
(2)5+2
(3)（﹣2，﹣2）
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义，y′={y(x>0)−y(x<0)，即可；
（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将7+210化为(5)2+210+(2)2，再根据a2±2ab+b2=(a±b)2，即可化简；
（3）根据1≤a≤2，得a−1−1≤0；将m=12(a+2a−1+a−2a−1)化简得m=12((a−1+1)2+(a−1−1)2；根据a2±2ab+b2=|a±b|，得m=12(|a−1+1|+|a−1−1|，求出m的值，求出M的坐标，根据横负纵变点”的定义，y′={y(x>0)−y(x<0)，即可求出M′的坐标．
【详解】（1）∵2>0
∴点（2，−3）的“横负纵变点”为（2，−3）
∵−33<0
∴点（−33，−2）的“横负纵变点”为（−33，2）
故答案为：（2，−3）；（−33，2）．
（2）7+210
=(5)2+210+(2)2
=(5+2)2
=5+2
∴7+210化简得：5+2．
（3）∵1≤a≤2
∴0≤a−1≤2−1
∴0≤a−1≤1
∴0≤a−1≤1
∴a−1−1≤0
∵m=12(a+2a−1+a−2a−1)
=12((a−1)2+2a−1×1+12+(a−1)2−2a−1×1+12)
=12((a−1+1)2+(a−1−1)2
=12(|a−1+1|+|a−1−1|)
∴m=12(a−1+1+1−a−1)
∴m=12×2=2
∴点M（−2，2）
∵−2<0
∴M′（−2，−2）
故M′的坐标为：（−2，−2）．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式．
【题型10 二次根式的阅读理解类问题】
【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b2=m+n22（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn2．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=m+n32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
(2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：
+ 3= + 32；
(3)若a−65=m−n52且a、m、n均为正整数，求a的值．
【答案】(1)m2+3n2，2mn
(2)13，4，1，2
(3)14或46
【分析】（1）根据上面的例子，将m+n32，按完全平方展开，可得出答案；
（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；
（3）将m−n52展开得出m2−25mn+5n2，由题意得mn=3，m2+5n2=a，再由a、m、n均为正整数，可得出答案．
【详解】（1）解：∵a+b3=m+n32，
∴a+b3=m2+3n2+2mn3，
∴a=m2+3n2，b=2mn；
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）由（1）可得a=13，b=4，m=1，n=2；
故答案为：13，4，1，2．
（3）∵a−65=m−n52，
∴a+b5=m2+5n2+2mn5，
∴mn=3，m2+5n2=a，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=3，n=1，a=14或m=1，n=3，a=46；
故答案为：14或46．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分析所给的材料进行解答是解题的关键．
【变式10-1】（2023春·江西赣州·八年级统考期中）阅读材料并解决问题：13+2=3−23+23−2=3−232−22=3−2，像上述解题过程中，3+2与3−2相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
解答下面的问题：
(1)计算：12+1=___________，14+3=___________；若n为正整数，请你猜想1n+1+n=___________．
(2)计算：12+1+13+2+⋅⋅⋅+12022+2021×2022+1；
(3)计算：23+1+25+3+⋅⋅⋅+22024+2022×2024+1．
【答案】(1)2−1；4−3（或2−3)；n+1−n
(2)2021
(3)2023
【分析】（1）分子分母同时乘以有理化因式，再化简整理即可；
（2）将括号内每一项都进行分母有理化，再相消，整理之后利用平方差公式求解即可；
（3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．
【详解】（1）解：12+1=2−12+12−1=2−12−1=2−1=2−1；
14+3=4−34+34−3=4−34−3=4−3（或2−3)；
1n+1+n=n+1−n(n+1+n)(n+1−n)=n+1−nn+1−n=n+1−n；
（2）解：12+1+13+2+…+12022+20212022+1
=2−1+3−2+…+2022−20212022+1
=2022−12022+1
=2022−1
=2021．
（3）解：23+1+25+3+⋅⋅⋅+22024+2022×2024+1
=23−13+13−1+25−35+35−3+⋅⋅⋅+22024−20222024+20222024−2022×2024+1
=3−1+5−3+⋅⋅⋅+2024−20222024+1
=2024−12024+1
=2023．
【点睛】本题主要考查分母有理化，二次根式混合运算，解题的关键是理解材料中分母有理化的方法并应用方法解决问题．
【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
7−6=7−67+67+6=17+6，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：
7−6=17+6， 6−5=16+5，
因为7+6>6+5，所以7−6<6−5．
再例如：求y=x+2−x−2的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0,x−2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2，
当x=2时，分母x+2+x−2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较32−4和23−10的大小；
（2）求y=1−x+1+x−x的最大值和最小值．
【答案】（1）32−4<23−10；（2）y的最大值为2，最小值为2−1．
【分析】（1）利用分子有理化得到32−4=232+4，23−10=223+10，然后比较32+4和23+10的大小即可得到32−4与23−10的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到0⩽x⩽1，而y=1−x+11+x+x，利用当x=0时，11+x+x有最大值1，1−x有最大值1得到所以y的最大值；利用当x=1时，11+x+x有最小值2−1，1−x有最小值0得到y的最小值．
【详解】解：（1）32−4=(32+4)(32−4)32+4=232+4，
23−10=(23+10)(23−10)23+10=223+10，
而32>23，4>10，
∴32+4>23+10，
∴32−4<23−10；
（2）由1−x⩾0，1+x⩾0，x⩾0得0⩽x⩽1，
y=1−x+1+x−x=1−x+11+x+x，
∴当x=0时，1+x+x有最小值，则11+x+x有最大值1，此时1−x有最大值1，所以y的最大值为2；
当x=1时，1+x+x有最大值，则11+x+x有最小值2−1，此时1−x有最小值0，所以y的最小值为2−1．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．
【变式10-3】（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）阅读材料：
①我们知道：式子x+1的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−1的点之间的距离，且x+1＝(x+1)2；
②把根式x±2y进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=y，则把x±2y变成m2+n2±2mn=m±n2开方，从而使得x±2y化简．如：3+22＝1+22+2＝12+2×1×2+22＝1+22＝1+2=1+2；
(1)化简：5+26．
(2)计算：13+22+15+26+17+212+19+45
(3)直接写出代数式x2+2x+5+x2−22x+130的最小值为 ．
【答案】(1)2+3
(2)5−1
(3)5
【分析】（1）先将根号下的数变形为完全平方公式格式，再化简即可；
（2）先将各个分母化为完全平方公式格式，再分母有理化，最后合并即可得出答案；
（3）先根据完全平方公式化简，再根据非负数的性质得出x+12+4≥4，x−112+9≥9，即可求出最小值．
【详解】（1）5+26
=2+26+3
=22+2×2×3+32
=2+32
=2+3
=2+3
（2）13+22+15+26+17+212+19+45
=11+22+2+12+26+3+13+212+4+14+220+5
=11+2+12+3+13+4+14+5
=2−12+12−1+3−23+23−2+4−34+34−3+5−45+45−4 =2−1+3−2+4−3+5−4
=5−1
（3）x2+2x+5+x2−22x+130
=x2+2x+1+4+x2−22x+121+9
=x+12+4+x−112+9
∵x+12≥0，x−112≥0
∴x+12+4≥4，x−112+9≥9
∴原式的最小值为4+9=2+3=5
【点睛】本题考查了二次根式的性质、分母有理化、二次根式的加减以及完全平方公式，熟练掌握公式及性质是解题的关键．
型号
长
宽
小号
20cm
18cm
中号
25cm
20cm
大号
30cm
25cm