初中数学北师大版（2024）八年级上册7 二次根式优秀同步训练题

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册7 二次根式优秀同步训练题，文件包含专题25二次根式的乘除十大题型举一反三北师大版原卷版docx、专题25二次根式的乘除十大题型举一反三北师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。


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\l "_Tc14164" 【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】 PAGEREF _Tc14164 \h 1
\l "_Tc32128" 【题型2 二次根式的乘除混合运算】 PAGEREF _Tc32128 \h 2
\l "_Tc9830" 【题型3 把根号外的因数（式）移到根号内】 PAGEREF _Tc9830 \h 3
\l "_Tc14946" 【题型4 判断最简二次根式】 PAGEREF _Tc14946 \h 3
\l "_Tc3989" 【题型5 化为最简二次根式】 PAGEREF _Tc3989 \h 3
\l "_Tc25845" 【题型6 根据最简二次根式的概念求值】 PAGEREF _Tc25845 \h 4
\l "_Tc3223" 【题型7 分母有理化及其应用】 PAGEREF _Tc3223 \h 4
\l "_Tc27227" 【题型8 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc27227 \h 5
\l "_Tc12098" 【题型9 应用二次根式的乘除运算解决实际问题】 PAGEREF _Tc12098 \h 6
\l "_Tc29025" 【题型10 二次根式乘除法中的新情境题】 PAGEREF _Tc29025 \h 6
【知识点1 二次根式的乘除法则】
①二次根式的乘法法则：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；
②积的算术平方根：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；
③二次根式的除法法则：ab=ab(a≥0,b>0)；
④商的算术平方根：ab=ab(a≥0,b>0).
【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】
【例1】（2023·上海闵行·八年级校考期中）如果代数式2m−1m−4=2m−1m−4，那么m的取值范围是_____________
【变式1-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）若(x−2)(3−x)=x−2⋅3−x成立．则x的取值范围为（ ）
A．x≤3B．x≥2C．2【变式1-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期中）等式x−3x+1=x−3x+1成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C．D．
【变式1-3】（2023春·辽宁朝阳·八年级统考期中）若等式2x2−x3=x2−x成立，则x的取值范围是______．
【题型2 二次根式的乘除混合运算】
【例2】（2023春·八年级上海市进才实验中学校考期中）计算:
（1）345÷15×23223;
（2）323×(−1815)÷1225;
（3）8a2b÷2ab×ab(a>0,b>0)
【变式2-1】（2023春·福建龙岩·八年级校联考期中）计算
(1)−4318÷28×1354
(2)(6+1)2−3−23+2
【变式2-2】（2023春·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）计算：312x⋅123xy÷−3418x2y3．
【变式2-3】（2023春·黑龙江鸡西·八年级统考期中）（1）计算：2−52+5−2−22
（2）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：
92−12×24+323
=92−12×24+323……第一步
=322−23×26+23×323……第二步
=322−122+62……第三步
=922……第四步
①以上化简步骤中第一步化简的依据是：______；
②第______步开始出现错误，请写出错误的原因______；
③该运算正确结果应是______.
【题型3 把根号外的因数（式）移到根号内】
【例3】（2023春·全国·八年级专题练习）把2−x1x−2的根号外因式移到根号内得____________．
【变式3-1】（2023春·山东·八年级统考期中）若把﹣43根号外的因式移到根号内，得（ ）
A．12B．﹣12C．﹣48D．48
【变式3-2】（2023春·江苏南通·八年级阶段练习）把−a−1a中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
A．−aB．−aC．−−aD．a
【变式3-3】（2023春·河北唐山·八年级校考期末）把下列根号外的因式移到根号内.
(1)a1a;
(2)xyx-y·x2-2xy+y2xy(x>y>0);
(3)ab1a-1b(0【知识点2 最简二次根式】
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【题型4 判断最简二次根式】
【例4】（2023春·山东泰安·八年级统考期中）在二次根式①a2+b2 ②x5 ③x2−xy ④ 27abc中，最简二次根式是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．①④
【变式4-1】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）下列式子中，为最简二次根式的是( )
A．12B．2C．8D．9
【变式4-2】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如果x−3是最简二次根式，则x的值可能是（ ）
A．11B．13C．21D．27
【变式4-3】（2023春·安徽铜陵·八年级统考期末）对于二次根式x2+9，以下说法不正确的是（ ）
A．它是一个无理数B．它是一个正数C．它是最简二次根式D．它有最小值为3
【题型5 化为最简二次根式】
【例5】（2023春·全国·八年级专题练习）下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是( )
A．ab与ab2B．mn与1m+1n
C．m2+n2与m2-n2D．4a3b2与9a3b4
【变式5-1】（2023春·重庆·八年级统考期末）把2015化成最简二次根式的结果是_____．
【变式5-2】（2023春·浙江杭州·八年级期末）设2=a，3=b，用含a,b的代数式表示0.54，结果为________．
【变式5-3】（2023春·八年级单元测试）把下列根式化成最简二次根式．
（1）512
（2）638
（3）50a2b(a>0)
（4）nmmn(n<0)
【题型6 根据最简二次根式的概念求值】
【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）若2m+3和32m−n+1都是最简二次根式，则m+n＝_____．
【变式6-1】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期中）24化简后与最简二次根式5a+1的被开方数相等，则a=_________.
【变式6-2】（2023春·全国·八年级专题练习）若a是正整数，3a+6是最简二次根式，则a的最小值为______.
【变式6-3】（2023·江苏·八年级假期作业）我们把形如ax+b（a，b为有理数，x为最简二次根式）的数叫做x型无理数，如3x+1是x型无理数，则(2+10)2是（ ）
A．2型无理数B．5型无理数C．10型无理数D．20型无理数
【知识点3 分母有理化】
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母
组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个
二次根式的有理化因式不止一个．
【题型7 分母有理化及其应用】
【例7】（2023春·四川巴中·八年级校联考期中）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如23、23+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：23=2×33×3=233；
23+1=23−13+13−1=23−132−1=3−1．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
23+1还可以用以下方法化简：
23+1=3−13+1 = (3)2−13+1=(3+1)(3−1)3+1 =3﹣1．
请任用其中一种方法化简：
①215−3；②523+7；
【变式7-1】（2023春·甘肃平凉·八年级统考期中）分母有理化: 13+2=_________.
【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）下列各组中互为有理化因式的是（ ）
A．a+b与−b−aB．2−a与a−2
C．2a+3与3−2aD．a与2a
【变式7-3】（2023春·河南开封·八年级统考阶段练习）【阅读材料】
像5+25−2=1、a⋅a=aa≥0、b+1b−1=b−1b≥0两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， 5与5，2+1与2−1，23+35与23−35等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
【解决问题】
（1）填空：7−3的有理化因式为 ；
（2）化简： 12−3−93；
（3）已知正整数a，b满足a2−1−b2=3−22，求a，b的值．
【题型8 比较二次根式的大小】
【例8】（2023·全国·八年级专题练习）比较大小：5−3______7−5．
【变式8-1】（2023·上海·八年级假期作业）若a=2020×2022−2020×2021,b=20232−4×2022,c=20212+1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c>b>aB．c>a>bC．b>a>cD．b>c>a
【变式8-2】（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
（1）比较15−14和14−13的大小．
（2）求y=x+1−x−1+3的最大值．
【变式8-3】（2023·全国·八年级专题练习）先观察解题过程，再解决以下问题：
比较3−2与2−1的大小．
解：(3−2)(3+2)=1，(2−1)(2+1)=1，
3−2=13+2，2−1=12+1又3+2>2+1，3−2<2−1
（1）比较4−3与3−2的大小．
（2）试比较n+1−n与n−n−1的大小．
【题型9 应用二次根式的乘除运算解决实际问题】
【例9】（2023春·八年级课时练习）站在竖直高度ℎm的地方，看见的水平距离是dm，它们近似地符合公式d=8ℎ5.某一登山者登上海拔2000m的山顶，那么他看到的水平距离是________m.
【变式9-1】（2023春·八年级单元测试）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符号公式为d=8ℎ5，某一登山者从海拔h米处登上海拔2ℎ米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
【变式9-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为ℎ，观测者视线能达到的最远距离为d，则d≈2ℎR，其中R是地球半径，约等于6400km．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度ℎ为0.02km，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求d的值为_____km．
【变式9-3】（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是a、b、c a>b>c>0，若木块对桌面的最大压强为p1，最小压强为p2，则p1p2的值等于______．
【题型10 二次根式乘除法中的新情境题】
【例10】（2023春·八年级课时练习）老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面的一道题作为练习：
已知7=a，70=b，用含a，b的代数式表示4.9．小豪、小麦两位同学跑上讲台，板书了下面两种解法：
小豪：4.9=4910=49×1010×10=490100=7×7010=7×7010=ab10．
小麦：4.9=49×0.1=70.1．
因为0.1=110=770=770=ab，4.9=70.1=7ab．
老师看罢，提出下面的问题：
(1)两位同学的解法都正确吗？
(2)请你说明理由．
【变式10-1】（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）请阅读材料，并解决实际问题：海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S=pp−ap−bp−c．这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202—1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S=14a2b2−a2+b2−c222．它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式．问题：在△ABC中，AC=5，AB=6，BC=7，用海伦—秦九韶公式求△ABC的面积为____．
【变式10-2】（2023春·福建福州·八年级统考期中）我们知道，二次根式乘除法有如下性质：a⋅b=ab(a≥0,b≥0)，ab=ab(a≥0,b>0)，那么二次根式加法是否具有类似性质呢？请同学们根据下列问题开启探索之旅：
(1)举些例子比较a+b与a+b(a≥0,b≥0)的大小，并提出猜想；(至少举3例，举例要全面哦)
(2)利用学过的知识证明你的猜想．
【变式10-3】（2023春·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：
在学习完实数的相关运算之后，小明同学提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方的积存在有什么样的关系？小明用自己的方法进行了验证：
小明：25×4=100=10，而25=5，4=2，∴25×4=5×2=10即25×4=25×4
回答以下问题：
(1)结合材料猜想，当a≥0，b≥0时，请直接写出ab和a×b之间有什么关系？
(2)运用以上结论，计算：①．16×25；②．64×169
(3)解决实际问题：已知一个长方形的长为32，宽为8，则长方形的面积为多少？