高中数学3.1 函数同步测试题

这是一份高中数学3.1 函数同步测试题，共7页。试卷主要包含了三角函数的定义；等内容，欢迎下载使用。


考点一 三角函数式的求值
1．(1)三角函数的定义；
(2)两个基本关系式sin2α＋cs2α＝1， eq \f(sinα,cs α) ＝tan α；
(3)诱导公式：可概括为k· eq \f(π,2) ±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．
记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例1 (1)已知sin α－cs α＝－52，则tan α＋1tanα的值为( )
A．－5 B．－6
C．－7 D．－8
(2)tan α＝2，则sin2α－3sin αcs α＋1＝________．
跟踪训练1 (1)(多选)在平面直角坐标系中，若角α的终边与单位圆交于点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，n)) (n＞0)，将角α的终边按逆时针方向旋转 eq \f(π,2) 后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q，则下列结论正确的为( )
A．tan α＝ eq \f(3,4) B．sin β＝ eq \f(4,5)
C．cs β＝ eq \f(3,5) D．Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(4,5)))
(2)若cs (π＋α)＝－35，3π2＜α＜2π，则sin (2π－α)＝________．
考点二 三角函数的图象
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图；
(2)图象的识别；
(3)图象伸缩、平移变换；
(4)由函数图象求三角函数解析式．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养．
例2 如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2))) 的一段图象．
(1)求此函数解析式．
(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的．
跟踪训练2 (1)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征．如函数y＝2|x|sin 2x的图象大致是( )
(2)已知曲线C1：y＝cs x，C2：y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3))) ，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 eq \f(π,12) 个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 eq \f(π,12) 个单位长度，得到曲线C2
考点三 三角函数的性质
1．三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例3 (1)(多选)设函数f(x)＝2sin(2x+π2)，则关于函数y＝f(x)说法正确的是( )
A．函数y＝f(x)是偶函数
B．函数y＝f(x)在(0，π2)上单调递减
C．函数y＝f(x)的最大值为2
D．函数y＝f(x)图象关于点(π4,0)对称
(2)设函数f(x)＝sin(2ωx−π6)的图象关于直线x＝π对称，其中ω为常数，且ω∈(12,1).
①求函数f(x)的解析式；
②将函数f(x)的图象向右平移π10个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的56倍，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[0，π2]上有实数解，求实数k的取值范围．
跟踪训练3 (1)(多选)下列说法中正确的是( )
A．函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2))) 是偶函数
B．存在实数α，使 sin α cs α＝1
C．直线x＝ eq \f(π,8) 是函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,4))) 图象的一条对称轴
D．若α，β都是第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β
(2)设函数f(x)＝12sin(2x-π3)，
①求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
②当x∈[π12,π2]时，求函数f(x)的最大值和最小值．
参考答案与解析
考点聚集·分类突破
例1 解析：(1)由题意可得(sin α－cs α)2＝sin2α＋cs2α－2sinαcs α＝1－2sin αcs α＝54，故sin αcs α＝－18，切化弦可得tan α＋1tanα＝sinαcsα+csαsinα＝sin2α+cs2αsinαcsα＝1sinαcsα＝－8.故选D.
(2)sin2α－3sinαcs α＋1＝sin2α－3sinαcs α＋(sin2α＋cs2α)
＝2sin2α－3sinαcs α＋cs2α
＝2sin2α−3sinαcsα+cs2αsin2α+cs2α
＝2tan2α−3tanα+1tan2α+1＝2×22−3×2+122+1＝35.
答案：(1)D (2)35
跟踪训练1 解析：(1)由角α的终边与单位圆交于点P45，n(n>0)，α是第一象限角，可得csα＝45，
∴sin α＝1−cs2α＝35，可得tanα＝sinαcsα＝34，故A正确；
将角α的终边按逆时针方向旋转π2后得到角β的终边，可得β＝α＋π2，
则可得sin β＝sin α+π2＝cs α＝45，cs β＝cs α+π2＝－sin α＝－35，故B正确，C错误；
据三角函数定义可得，角β的终边与单位圆的交点为Q，则点Q的坐标为−35，45，故D错误．故选AB.
(2)因为cs (π＋α)＝－35，所以－cs α＝－35，可得cs α＝35，
因为3π2<α<2π，所以sin α＝－1−cs2α＝－1−352＝－45，
所以sin(2π－α)＝－sin α＝45.
答案：(1)AB (2)45
例2 解析：(1)由题图知A＝−12−−322＝12，
k＝−12+−322＝－1，
T＝2×2π3−π6＝π，
所以ω＝2πT＝2.所以y＝12sin (2x＋φ)－1.
当x＝π6时，2×π6＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π2，所以φ＝π6.
综上，所求函数解析式为y＝12sin 2x+π6－1.
(2)把y＝sin x向左平移π6个单位，得到y＝sin x+π6；然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y＝sin 2x+π6；再使横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y＝12sin 2x+π6，最后把函数y＝12sin 2x+π6的图象向下平移1个单位，得到y＝12sin 2x+π6－1的图象．
跟踪训练2 解析：(1)f(－x)＝2|－x|sin (－2x)＝－2|x|sin 2x＝－f(x)，函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，
当π2＜x＜π时，f(x)＜0，排除C，
故选D.
(2)因为y＝sin 2x+2π3＝cs 2x+2π3−π2＝cs 2x+π6，所以曲线C1：y＝cs x上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cs 2x，再把得到的曲线y＝cs 2x向左平移π12个单位长度，得到曲线y＝cs 2x+π12＝cs 2x+π6.故选D.
答案：(1)D (2)D
例3 解析：(1)∵函数f(x)＝2sin 2x+π2＝2cs 2x，
∴f(x)＝2cs 2x，
∵f(－x)＝2cs (－2x)＝2cs 2x＝f(x)，y＝f(x)为偶函数，故A正确；
令2kπ≤2x≤π＋2kπ(k∈Z)，解得kπ≤x≤π2＋kπ(k∈Z)，可得函数y＝f(x)在0，π2单调递减，所以B正确；
由于f(x)的最大值是2，故选项C不符合题意．
由2x＝kπ＋π2，k∈Z，解得x＝kπ2+π4，k∈Z，可得当k＝0时，其图象关于点π4，0对称，故D正确．
解析：(2)①∵图象关于直线x＝π对称，∴2πω－π6＝π2＋kπ，k∈Z
∴ω＝k2+13，又ω∈12，1，
令k＝1时，ω＝56符合要求，
∴函数f(x)＝sin 53x−π6.
②将函数f(x)的图象向右平移π10个单位长度后，得到函数y＝sin 53x−π3的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的56倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 2x−π3的图象，所以g(x)＝sin 2x−π3.
当0≤x≤5π12，即－π3≤2x－π3≤π2时，g(x)递增，g(x)∈−32，1，
当5π12所以x∈0，π2时，g(x)∈−32，1，
因为g(x)＋k＝0在区间0，π2上有实数解，
所以实数k的取值范围是−1，32.
答案：(1)ABD (2)见解析
跟踪训练3 解析：(1)对于A：函数y＝sin x+π2＝cs x，故该函数是偶函数，故A正确；
对于B：由于 sin α cs α＝1，故sin α和cs α互为倒数，与sin2α＋cs2α＝1矛盾，故不存在实数α，使sin α cs α＝1，故B错误；
对于C：当x＝π8时，f(π8)＝sin π4+5π4＝－1，故C正确；
对于D：设α＝13π6，β＝π3，由于α，β都是第一象限角，但是sin β＞sin α，故D错误；故选AC.
(2)①因为f(x)＝12sin 2x−π3
所以f(x)的最小正周期是T＝2π2＝π，
由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为−π12+kπ，5π12+kπ，k∈Z.
②当x∈π12，π2时，2x－π3∈−π6，2π3，
此时sin 2x−π3∈−12，1，可得f(x)∈−14，12，
综上，f(x)最大值为12，最小值为－14.
答案：(1)AC (2)见解析