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2024-2025学年人教版八年级数学上册同步讲义：15.2 分式的运算（2） 含答案
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分式的运算（2）15.2 目录 TOC \o "1-3" \h \z \u 探究1 整数指数幂 PAGEREF _Toc172204251 \h 2探究2 科学记数法 PAGEREF _Toc172204252 \h 4探究3 分式的化简求值 PAGEREF _Toc172204253 \h 7探究1 整数指数幂整数指数幂：若m，n为正整数，a≠0，则．又因为，所以．一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆【例1】 （2024春•裕华区期末）可以表示为 A． B． C． D．【答案】【分析】根据分析判断即可．【解答】解：，故选：．【例2】 （2024春•驻马店月考）计算：的结果是 ．【答案】5．【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的定义，有理数的加法运算法则进行计算．【解答】解：．故答案为：5．【例3】 （2024春•高邮市校级月考）已知：，，，则，，大小关系是 A． B． C． D．【答案】【分析】先根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂将各数化简，再比较大小即可．【解答】解：，，，，，故选：．1．正整数指数幂的运算性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．上述式子中，m，n均为正整数．2．根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，，，因此，即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法．特别地，，所以，即商的乘方可以转化为积的乘方．这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：（1）；（2）；（3）；◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆探究2 科学记数法科学记数法的两种形式：①大数：把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，；②小数：利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆【例4】 （2024春•上蔡县期末）欢乐六一，多彩童年，每年6月1日这天，孩子们都会用各种形式欢度自己的节日，还记得我们小时候一起玩的吹泡泡吗？已知泡泡的厚度约为0.000000326米，数据“0.000000326”用科学记数法表示为 A． B． C． D．【答案】【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟知表示方法是解题的关键．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：，故选：．【例5】 （2024•港南区四模）近年来我国芯片技术突飞猛进．在这领域常使用长度单位纳米纳米毫米），将数据“5纳米”用科学记数法表示为 A．毫米 B．毫米 C．毫米 D．毫米【答案】【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：5纳米毫米毫米，故选：．【例6】 （2023秋•巴东县期末）巴东博物馆珍贵藏品虎钮錞于，2022年出土于清太坪，为巴人中晚期军乐器（如图）．虎钮錞于通高，椭圆盘首，肩部突出，腹部向下收缩，作椭圆柱形，中空．盘首面径；宽，作猛虎形，器壁厚．上述数据中，科学记数正确的是 A． B． C． D．【答案】【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此进行判断即可．【解答】解：；；；；故选：．1．用科学记数法表示小于1的正数时，要注意小数点位置的变化，即小数点向右移了几位，10的指数就是负几．2．运用科学记数法的数字，它的精确度以a的最后一个数在原数中的数位为准．3．科学记数法的好处在于能够精确且方便地表示位数较多的数，避免了使用常规方法时可能遇到的浪费空间和时间的问题．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆探究3 分式的化简求值分式的化简求值，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆【例7】 （2024•莘县一模）如果，那么代数式的值是 A． B． C．1 D．3【答案】【分析】先化简所求的式子，再根据，可以得到，然后代入化简后的式子即可．【解答】解：，，，原式，故选：．【例8】 （2024春•淮安期末）代数式的值为．则为整数值的个数有 A．0个 B．7个 C．8个 D．无数个【答案】【分析】先将分式进行化简，然后根据题意确定为整数的的值，即可确定的值的个数．【解答】解：，代数式的值为，且为整数，为整数，的值为：1，8，4，，，，，共7个，对应的值有7个．故选：．【例9】 （2024•兰州）先化简，再求值：，其中．【答案】，．【分析】利用分式的混合运算的法则化简后，将代入运算即可．【解答】解：原式，当时，原式．分式化简求值的三种类型方法：（1）直接代入求值：直接将所给定的字母的值代入到化简后的式子中计算即可；（2）选取合适的字母的值代入求值：要保证原分式中分母不为0，也要保证除法运算时，除数不为0；（3）整体代入求值：已知条件是一个式子的值，需根据其结构特征进行整理，然后再整体代入求值．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆牛刀小试1．（2024春•玄武区校级期中）若，，，，则，，，的大小关系为 A． B． C． D．2．（2024春•莱芜区期中）若，则的值可以是 A．4 B． C． D．53．（2024春•霍邱县期末）埃格斯特朗，简称埃，符号是一个长度单位．它不是国际制单位，但是可与国际制单位进行换算，即米，即纳米的十分之一．将数据0.0000000001用科学记数法表示为 A． B． C． D．4．（2024•高要区二模）已知．清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“苔花如米小，也学牡丹开”．其中苔花的花粉直径约为，则用科学记数法表示为 A． B． C． D．5．（2024•丰南区模拟）若为正整数，则表示的值的点落在 A．段① B．段② C．段③ D．段④6．（2024春•顺德区校级月考）已知，且，求的值是 A． B． C． D．7．（2024春•太湖县月考）若且，，均不为0，则的值为 A． B． C．0 D．28．（2024春•寿县期末）若实数、满足，则 ．9．（2024•沙坪坝区校级三模）在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为 ．10．（2024春•双流区校级月考）如果时，那么代数式的值 ．11．（2024春•莱西市校级月考）计算：（1）； （2）．12．（2024春•徐汇区校级期末）计算：．13．（2023春•万柏林区校级期中）“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体一黑洞．施瓦氏半径（单位：的计算公式是．，其中，为万有引力常数；表示星球的质量（单位：；，为光在真空中的速度．已知太阳质量为，计算太阳的施瓦氏半径．14．（2024春•共青城市校级月考）世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.021厘米，其质量也只有0.000005克．（1）用科学记数法表示上述两个数据．（2）一个鸡蛋的质量大约是50克，多少只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等？15．（2024•阳新县校级模拟）先化简，再求值：，其中．16．（2024春•西峡县期末）先化简：，再从，0，1，2中选择一个合适的数作为的值代入求值．参考答案1．【答案】【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而比较大小即可．【解答】解：，，，，．故选：．2．【答案】【分析】根据零指数幂的底数不等于零的条件进行解题即可．【解答】解：，，、；、；、；故、、项不符合题意，只有项符合题意；故选：．3．【答案】【分析】科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数，表示时关键是要正确确定及的值．【解答】解：将数据0.0000000001用科学记数法表示为，故选：．4．【答案】【分析】科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数，表示时关键是要正确确定及的值．【解答】解：，故选：．5．【答案】【分析】先将能够进行因式分解的分子或分母进行因式分解，然后进行约分化简，再根据同分母分式加减法进行计算，并结合为正整数，确定结果的取值范围．【解答】解：原式，又为正整数，，故原式的值落在段②，故选：．6．【答案】【分析】利用完全平方公式进行变形计算即可得到答案．【解答】解：，，，，，，，．故选：．7．【答案】【分析】由已知得：，，，再将所求的式子去括号后，同分母加在一起，分别将所求的式子整体代入约分即可．【解答】解：，，，，，，故选：．8．【答案】．【分析】首先根据题意，可得，，所以，，据此求出、的值，然后把求出的、的值代入计算即可．【解答】解：实数、满足，，，，，解得，，．故答案为：．9．【分析】科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数，表示时关键是要正确确定及的值．【解答】解：，故答案为：．10．【答案】．【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．【解答】解：，当时，原式．故答案为：．11．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据负整数指数幂和零指数幂运算法则进行计算即可；（2）根据负整数指数幂、零指数幂运算法则，绝对值意义，进行计算即可．【解答】解：（1）；（2）．12．【答案】48．【分析】根据负整数指数幂，二次根式的性质进行计算即可解答．【解答】解：．13．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【解答】解：．答：太阳的施瓦氏半径为．14．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：（1）0.021厘米用科学记数法表示为厘米，0.000005克用科学记数法表示为克；（2）设只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据题意，得，解得，答：只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等．15．【答案】，．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．【解答】解：，当时，原式．16．【答案】，时，原式．【分析】先根据分式的运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件找出符合题意的的值，最后代入化简后的式子即可求出答案．【解答】解：原式，，，，，，，取，原式．
分式的运算（2）15.2 目录 TOC \o "1-3" \h \z \u 探究1 整数指数幂 PAGEREF _Toc172204251 \h 2探究2 科学记数法 PAGEREF _Toc172204252 \h 4探究3 分式的化简求值 PAGEREF _Toc172204253 \h 7探究1 整数指数幂整数指数幂：若m，n为正整数，a≠0，则．又因为，所以．一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆【例1】 （2024春•裕华区期末）可以表示为 A． B． C． D．【答案】【分析】根据分析判断即可．【解答】解：，故选：．【例2】 （2024春•驻马店月考）计算：的结果是 ．【答案】5．【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的定义，有理数的加法运算法则进行计算．【解答】解：．故答案为：5．【例3】 （2024春•高邮市校级月考）已知：，，，则，，大小关系是 A． B． C． D．【答案】【分析】先根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂将各数化简，再比较大小即可．【解答】解：，，，，，故选：．1．正整数指数幂的运算性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．上述式子中，m，n均为正整数．2．根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，，，因此，即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法．特别地，，所以，即商的乘方可以转化为积的乘方．这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：（1）；（2）；（3）；◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆探究2 科学记数法科学记数法的两种形式：①大数：把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，；②小数：利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆【例4】 （2024春•上蔡县期末）欢乐六一，多彩童年，每年6月1日这天，孩子们都会用各种形式欢度自己的节日，还记得我们小时候一起玩的吹泡泡吗？已知泡泡的厚度约为0.000000326米，数据“0.000000326”用科学记数法表示为 A． B． C． D．【答案】【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟知表示方法是解题的关键．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：，故选：．【例5】 （2024•港南区四模）近年来我国芯片技术突飞猛进．在这领域常使用长度单位纳米纳米毫米），将数据“5纳米”用科学记数法表示为 A．毫米 B．毫米 C．毫米 D．毫米【答案】【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：5纳米毫米毫米，故选：．【例6】 （2023秋•巴东县期末）巴东博物馆珍贵藏品虎钮錞于，2022年出土于清太坪，为巴人中晚期军乐器（如图）．虎钮錞于通高，椭圆盘首，肩部突出，腹部向下收缩，作椭圆柱形，中空．盘首面径；宽，作猛虎形，器壁厚．上述数据中，科学记数正确的是 A． B． C． D．【答案】【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此进行判断即可．【解答】解：；；；；故选：．1．用科学记数法表示小于1的正数时，要注意小数点位置的变化，即小数点向右移了几位，10的指数就是负几．2．运用科学记数法的数字，它的精确度以a的最后一个数在原数中的数位为准．3．科学记数法的好处在于能够精确且方便地表示位数较多的数，避免了使用常规方法时可能遇到的浪费空间和时间的问题．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆探究3 分式的化简求值分式的化简求值，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆【例7】 （2024•莘县一模）如果，那么代数式的值是 A． B． C．1 D．3【答案】【分析】先化简所求的式子，再根据，可以得到，然后代入化简后的式子即可．【解答】解：，，，原式，故选：．【例8】 （2024春•淮安期末）代数式的值为．则为整数值的个数有 A．0个 B．7个 C．8个 D．无数个【答案】【分析】先将分式进行化简，然后根据题意确定为整数的的值，即可确定的值的个数．【解答】解：，代数式的值为，且为整数，为整数，的值为：1，8，4，，，，，共7个，对应的值有7个．故选：．【例9】 （2024•兰州）先化简，再求值：，其中．【答案】，．【分析】利用分式的混合运算的法则化简后，将代入运算即可．【解答】解：原式，当时，原式．分式化简求值的三种类型方法：（1）直接代入求值：直接将所给定的字母的值代入到化简后的式子中计算即可；（2）选取合适的字母的值代入求值：要保证原分式中分母不为0，也要保证除法运算时，除数不为0；（3）整体代入求值：已知条件是一个式子的值，需根据其结构特征进行整理，然后再整体代入求值．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆牛刀小试1．（2024春•玄武区校级期中）若，，，，则，，，的大小关系为 A． B． C． D．2．（2024春•莱芜区期中）若，则的值可以是 A．4 B． C． D．53．（2024春•霍邱县期末）埃格斯特朗，简称埃，符号是一个长度单位．它不是国际制单位，但是可与国际制单位进行换算，即米，即纳米的十分之一．将数据0.0000000001用科学记数法表示为 A． B． C． D．4．（2024•高要区二模）已知．清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“苔花如米小，也学牡丹开”．其中苔花的花粉直径约为，则用科学记数法表示为 A． B． C． D．5．（2024•丰南区模拟）若为正整数，则表示的值的点落在 A．段① B．段② C．段③ D．段④6．（2024春•顺德区校级月考）已知，且，求的值是 A． B． C． D．7．（2024春•太湖县月考）若且，，均不为0，则的值为 A． B． C．0 D．28．（2024春•寿县期末）若实数、满足，则 ．9．（2024•沙坪坝区校级三模）在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为 ．10．（2024春•双流区校级月考）如果时，那么代数式的值 ．11．（2024春•莱西市校级月考）计算：（1）； （2）．12．（2024春•徐汇区校级期末）计算：．13．（2023春•万柏林区校级期中）“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体一黑洞．施瓦氏半径（单位：的计算公式是．，其中，为万有引力常数；表示星球的质量（单位：；，为光在真空中的速度．已知太阳质量为，计算太阳的施瓦氏半径．14．（2024春•共青城市校级月考）世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.021厘米，其质量也只有0.000005克．（1）用科学记数法表示上述两个数据．（2）一个鸡蛋的质量大约是50克，多少只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等？15．（2024•阳新县校级模拟）先化简，再求值：，其中．16．（2024春•西峡县期末）先化简：，再从，0，1，2中选择一个合适的数作为的值代入求值．参考答案1．【答案】【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而比较大小即可．【解答】解：，，，，．故选：．2．【答案】【分析】根据零指数幂的底数不等于零的条件进行解题即可．【解答】解：，，、；、；、；故、、项不符合题意，只有项符合题意；故选：．3．【答案】【分析】科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数，表示时关键是要正确确定及的值．【解答】解：将数据0.0000000001用科学记数法表示为，故选：．4．【答案】【分析】科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数，表示时关键是要正确确定及的值．【解答】解：，故选：．5．【答案】【分析】先将能够进行因式分解的分子或分母进行因式分解，然后进行约分化简，再根据同分母分式加减法进行计算，并结合为正整数，确定结果的取值范围．【解答】解：原式，又为正整数，，故原式的值落在段②，故选：．6．【答案】【分析】利用完全平方公式进行变形计算即可得到答案．【解答】解：，，，，，，，．故选：．7．【答案】【分析】由已知得：，，，再将所求的式子去括号后，同分母加在一起，分别将所求的式子整体代入约分即可．【解答】解：，，，，，，故选：．8．【答案】．【分析】首先根据题意，可得，，所以，，据此求出、的值，然后把求出的、的值代入计算即可．【解答】解：实数、满足，，，，，解得，，．故答案为：．9．【分析】科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数，表示时关键是要正确确定及的值．【解答】解：，故答案为：．10．【答案】．【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．【解答】解：，当时，原式．故答案为：．11．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据负整数指数幂和零指数幂运算法则进行计算即可；（2）根据负整数指数幂、零指数幂运算法则，绝对值意义，进行计算即可．【解答】解：（1）；（2）．12．【答案】48．【分析】根据负整数指数幂，二次根式的性质进行计算即可解答．【解答】解：．13．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【解答】解：．答：太阳的施瓦氏半径为．14．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：（1）0.021厘米用科学记数法表示为厘米，0.000005克用科学记数法表示为克；（2）设只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据题意，得，解得，答：只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等．15．【答案】，．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．【解答】解：，当时，原式．16．【答案】，时，原式．【分析】先根据分式的运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件找出符合题意的的值，最后代入化简后的式子即可求出答案．【解答】解：原式，，，，，，，取，原式．
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