人教版（2024）八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算教案

这是一份人教版（2024）八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算教案，共23页。

15.2.1　分式的乘除第1课时　分式的乘除 课时目标1.通过类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则,从中体会“数式通性”和类比转化的思想方法,发展学生的抽象能力.2.使学生经历分式的乘除运算规律的发现过程,培养学生自主探索、自主学习、自主归纳知识的意识,进一步提高学生的运算能力.3.通过运用分式的乘除法法则进行运算,解决一些与分式乘除法有关的实际问题,使学生养成理论联系实际的习惯,发展实践能力,培养应用意识. 学习重点运用分式的乘除法法则进行运算. 学习难点分子、分母为多项式的分式的乘除运算. 课时活动设计回顾引入大家之前学习过分数的乘除法法则,现在是否还有印象?师生活动:教师在黑板列出2道分数乘除法的题目,并请两位学生上台板书.计算:(1)23×56;　　　　(2)23÷56.解:(1)23×56 = 2×53×6 = 59.(2)23÷56 = 23×65 = 2×63×5 = 45. 设计意图:通过回顾分数的乘除法法则引入新课,为学习分式的乘除法法则作铺垫.探究新知问题1:一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,高为h,当容器内的水占容积的mn时,水高多少?解:水高=h×mn=Vab×mn=Vmabn.问题2:大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?解:倍数=大拖拉机的工作效率小拖拉机的工作效率=am÷bn=am×nb=anbm.问题3:观察下列运算.23×45=2×43×5;57×29=5×27×9;23÷45=23×54=2×53×4;57÷92=5×27×9.猜一猜:ab×dc=?ba÷dc=?解:ab×dc=a×db×c,　ba÷dc=ba·cd=b×ca×d.类比分数的乘除法法则,你能说出分式的乘除法法则吗?师生活动:通过教学活动1中的具体例子,引导学生回忆前面学过的分数的乘除法法则,利用类比的方法得出分式的乘除法法则.乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.用式子表示为:ab·cd=a·cb·d,ab÷cd=ab·dc=a·db·c. 设计意图:以此活动激活学生原有的知识体系,充分体现学生的学习是在原有知识的基础上自我生成的一个过程,有利于让学生更好地掌握类比的学习方法.典例精讲例1　计算:(1)4x3y·y2x3;　　　　　(2)ab32c2÷-5a2b24cd.解:(1)原式= 4xy6x3y= 23x2.(2)原式=ab32c2·4cd-5a2b2=-4ab3cd10a2b2c2=-2bd5ac.例2　计算:(1)a2-4a+4a2-2a+1·a-1a2-4;　　　(2)149-m2÷1m2-7m.解:(1)原式=(a-2)2(a-1)2·a-1(a-2)(a+2)=(a-2)2(a-1)(a-1)2(a-2)(a+2)=a-2(a-1)(a+2).(2)原式=1(7+m)(7-m)×m(m-7)1=-m7+m.例3　如图,“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形,两块试验田的小麦都收获了500 kg.(1)哪种小麦的单位面积产量高?(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?解:(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2-1)m2,单位面积产量是500a2-1 kg/m2;“丰收2号”小麦的试验田面积是(a-1)2 m2,单位面积产量是500(a-1)2 kg/m2.∵a>1,∴(a-1)2>0,a2-1>0.∵(a-1)2-(a2-1)=2-2a<0,∴(a-1)2n); (3)(am)n=　amn　(m,n是正整数); (4)(ab)n=　anbn　(n是正整数); (5)abn= anbn　(n是正整数); (6)a0=　1　(a≠0). am中的指数m可以是负整数吗?如果可以,那么负整数指数幂am表示什么? 设计意图:引导学生回忆正整数指数幂的运算性质,温故而知新,唤醒学生已有的知识体系,通过复习正整数指数幂和0指数幂的性质,引入负整数指数幂,为新知识的合理介入指明了方向,有利于学生知识的完整构建,为本节课的学习作铺垫.探究新知用正整数指数幂的运算性质(2)(将m>n这一条件去掉)和分式的约分两种方式计算52÷55,并观察两种方式的计算结果,你能有什么发现?学生自己独立完成计算,分小组交流讨论,教师给出完整的计算过程并总结.52÷55=52-5=5-3,52÷55=5255=153.观察这两个式子可以发现5-3=153.学生通过上面的内容可以得到am÷an=am-n这条性质也适用于像52÷55这样的情形.一般地,当n是正整数时,a-n=1an(a≠0).这就是说,a-n(a≠0)是an的倒数.引入负整数指数和0指数后,am·an=am+n(m,n是正整数)这条性质能否推广到m,n是任意整数的情形?教师通过以下计算过程引导学生发现规律,并进行总结.a3·a-5=a3a5=1a2=a-2=a3+(-5),即a3·a-5=a3+(-5);a-3·a-5=1a3·1a5=1a8=a-8=a(-3)+(-5),即a-3·a-5=a(-3)+(-5);a0·a-5=1·1a5=1a5=a-5=a0+(-5),即a0·a-5=a(0)+(-5).归纳:1.am·an=am+n这条性质对于m,n是任意整数的情形仍然适用;2.随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数,前面提到的运算性质也推广到整数指数幂. 设计意图:按照从特殊到一般、从具体到抽象的认识过程,让学生类比发现,自己总结结论,实现学生主动参与、探究新知识的目的,从而培养学生归纳、类比和抽象的能力.典例精讲例　计算:(1)a-2÷a5;　　(2)b3a2-2;　　(3)(a-1b2)3;　　(4)a-2b2·(a2b-2)-3.解:(1)a-2÷a5=a-2-5=a-7=1a7.(2)b3a2-2=b-6a-4=a4b-6=a4b6.(3)(a-1b2)3=a-3b6=b6a3.(4)a-2b2·(a2b-2)-3=a-2b2·a-6b6=a-8b8=b8a8.提醒:(1)解题时应直接运用这些性质,而不要急于转化为分式形式;(2)整数指数幂的运算性质也可以逆向进行;(3)通常计算的最后结果要写成分式的形式. 设计意图:这是一组直接运用整数指数幂的运算性质进行计算的题目,通过例题使学生掌握指数由正整数拓展到整数后的新情形,熟练使用运算方法,掌握运算技能,提高运算能力.归纳总结根据整数指数幂的运算性质,当m,n为整数时,am÷an=am-n,am·a-n=am+(-n)=am-n,因此am÷an=am·a-n,即同底数幂的除法am÷an可以转化为同底数幂的乘法am·a-n,特别地,ab=a÷b=a·b-1,所以abn=(a·b-1)n,即商的乘方abn可以转化为积的乘方(a·b-1)n,这样,整数指数幂的运算性质可以归纳为:(1)am÷an=am+n(m,n是整数);(2)(am)n=amn(m,n是整数);(3)(ab)n=anbn(n是整数). 设计意图:类比负数的引入可以使减法转化为加法,得到负指数幂的引入可以使幂的除法转化为幂的乘法、商可以转化为积这个结论,从而使分式的运算与整式的运算统一起来,将整数指数幂的运算性质进行总结.课堂8分钟.1.教材第145页练习第1,2题,第147页习题15.2第7题.2.七彩作业.第1课时　整数指数幂的运算性质　　　一、正整数指数幂的运算性质.二、负整数指数幂的运算性质.三、例题讲解.四、整数指数幂的运算性质. 教学反思  第2课时　科学记数法 课时目标1.让学生经历小于1的正数的科学记数的获得过程,感受数学知识之间的内在联系,提高学生的归纳、类比和抽象能力.2.通过对小于1的正数的科学记数的过程,让学生感受到数学知识的本质所在,培养学生观察、分析和总结的能力. 学习重点会用科学记数法表示小于1的正数. 学习难点知道用科学记数法表示小于1的正数时,a×10-n形式中n的取值与小数中左起第一个非0数字前0的个数的关系. 课时活动设计回顾引入1.用科学记数法表示745 000,2 930 000.2.大于10的数用a×10n表示时,a,n应满足什么条件?3.负整数指数幂的公式是什么?学生自主交流,讨论.思考:我们已经学会了用科学记数法表示一些较大的数,你能用科学记数法表示较小的数吗? 设计意图:引导学生完成上述问题,温故而知新,唤醒学生已有的知识体系,为本节课的学习作铺垫.同时,提出新的问题,为新知识的学习明确了方向.探究新知1.填空:10-1=110=　0.1　;10-2=1102=　0.01　;10-3=1103=　0.001　;…; 10-n= 110n　= 　. 　　反过来:0.1=110=1×10-1;0.01=1102=　1×10-2　;0.001=1103=　1×10-3　;…; =110n=　1×10-n　. 2.解决问题:(1)0.000 025=2.5× 1105　=　2.5×10-5　; (2)0.000 000 025 7=2.57× 1108　=　2.57×10-8　. 运用由特殊到一般和类比的数学思想归纳出=10-n,让学生看到可以利用10的负整数次幂,用科学记数法表示一些小于1的正数,即将它们表示成a×10-n的形式,其中n是正整数,1≤a<10. 设计意图:让学生通过这种亲自参与、探索研究数学知识获得的过程,感受数学知识之间的密切联系,深化自己的认知,从而构建科学记数法的完整知识体系.典例精讲例　纳米(nm)是非常小的长度单位,1 nm=10-9 m.把1 nm3的物体放到乒乓球上,就如同把乒乓球放到地球上.1 mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体(物体之间的间隙忽略不计)?解:1 mm=10-3 m,1 nm=10-9 m.(10-3)3÷(10-9)3=10-9÷10-27=10-9-(-27)=1018.所以1 mm3的空间可以放1018个1 nm3的物体.1018是一个非常大的数,它是1亿(即108)的100亿(即1010)倍. 设计意图:运用数学知识解决实际问题是学习数学的重要目标,让学生在学习知识的过程中解决实际问题,体会数学的“学以致用”.巩固训练计算(结果用科学记数法表示):(1)(3×10-5)×(5×10-3);　　　　　(2)(3×10-15)÷(5×10-4);(3)(1.5×10-16)×(-1.2×10-3); (4)(-1.8×10-10)÷(9×108).解:(1)1.5×10-7;(2)6×10-12;(3)-1.8×10-19;(4)-2×10-19. 设计意图:设置这类计算题,不仅是为了巩固本节课的所学知识,还为了通过做题让学生意识到用科学记数法表示数能使运算更简便.课堂小结1.如何用科学记数法表示大于10的数?2.如何用科学记数法表示小于1的正数? 设计意图:让学生自己总结本节课的内容,帮助学生巩固新的知识,培养学生的总结概括能力.课堂8分钟.1.教材第145页练习第1,2题,第147页习题15.2第8,9题.2.七彩作业.第2课时　科学记数法　　　 一、大于10的数的科学记数:N=a×10n(其中n是正整数,1≤a<10).二、小于1的正数的科学记数:N=a×10-n(其中n是正整数,1≤a<10).三、例题讲解. 教学反思