专题13 分式的运算-【挑战压轴题】2022-2023学年八年级数学上册压轴题专题精选汇编（人教版）

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题13 分式的运算

考试时间：120分钟 试卷满分：100分

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1．（2分）（2021八上·南充期末）若代数式 运算结果为x，则在“○”处的运算符号应该是（　　） 

A．除号“÷” B．除号“÷”或减号“-”

C．减号“-” D．乘号“×”或减号“-”

【答案】B

【完整解答】解： ，

，

，

，

故答案为：B.

【思路引导】在里分别填上加、减、乘、除符号，然后分别根据分式的加减法法则和乘除法法则分别进行计算，可得答案.

2．（2分）（2021八上·西城期末）下列分式中，从左到右变形错误的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【完整解答】A.，所以此选项变形不符合题意；

B.，所以此选项变形符合题意；

C.，所以此选项变形不符合题意；

D.，所以此选项变形不符合题意．

故答案为：B．

【思路引导】利用分式的基本性质及分式的加减法逐项判断即可。

3．（2分）（2020八上·惠城期末）化简　     　．

【答案】a+1

【完整解答】解：原式．

故答案为：a+1．

【思路引导】利用分式的加法的运算法则求解即可。

4．（2分）（2021八上·海丰期末）已知，，则的值为（　　）

A．6 B． C． D．8

【答案】B

【完整解答】解：∵，，

∴，

故答案为：B．

 【思路引导】根据，，利用完全平方公式计算求解即可。

5．（2分）（2021八上·甘南期末）下列计算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【完整解答】解：A、，故原题计算不符合题意；

B、，故原题计算不符合题意；

C、，故原题计算不符合题意；

D、，原题计算符合题意.

故答案为：D.

【思路引导】利用负整数指数幂，完全平方公式，积的乘方等计算求解即可。

6．（2分）（2021八上·吉林期末）下列运算一定正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【完整解答】解：A、，不符合题意；

B、，不符合题意；

C、，符合题意；

D、，不符合题意．

故答案为：C．

【思路引导】根据同底数幂的乘法、零指数幂的运算性质、负整数指数幂的运算性质、积的乘方判断即可。

7．（2分）（2021八上·鞍山期末）下列各式计算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【完整解答】解：A. ，不符合题意；

B. ，不符合题意；

C. ，不符合题意；

D. ，符合题意；

故答案为：D．

【思路引导】根据分数的加、减、乘、除判断各选项即可。

8．（2分）（2021八上·大石桥期末）下列计算正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【完整解答】解：A、，故A选项不符合题意．

B、，故B选项不符合题意．

C、，故C选项不符合题意．

D、，故D选项符合题意．

故答案为：D．

【思路引导】根据单项式乘单项式、多项式除以单项式、分式的乘除法、加减法判断即可。

9．（2分）（2021八上·杜尔伯特期末）计算 的结果正确的是（　　） 

A． B． C． D．

【答案】A

【完整解答】 = = .

故答案为：A.

【思路引导】利用分式的乘除法的性质化简即可。

10．（2分）（2021八上·虎林期末）已知x为整数，且为整数，则符合条件的x有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

【完整解答】解：原式=

=；

当x﹣3=3，即x=6时，原式值为整数；

当x﹣3=1，即x=4时，原式值为整数；

当x﹣3=﹣1，即x=2时，原式值为整数；

当x﹣3=﹣3，即x=0时，原式值为整数；

所以符合条件的x有4个．

故答案为：C．

【思路引导】先利用分式的加减运算可得=，再根据题意可得（x-3）为3的因数，再分别求解即可。

二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11．（2分）（2022八下·晋中期末）化简的结果是　            　．

【答案】或

【完整解答】

故答案为：．

【思路引导】将除法转化为乘法，然后进行分式的约分即可；

12．（2分）（2022八下·萍乡期末）甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间与乙工程队修600米所用时间的比值是　         　．（用含a的式子表示）

【答案】

【完整解答】解：由题意可知甲工程队修900米所用时间为：，

乙工程队修600米所用时间为：，

则其比值为：，

故答案为：．

【思路引导】根据题意求出即可作答。

13．（2分）（2022八下·萍乡期末）设实数a，b满足，则分式的值是　     　．

【答案】

【完整解答】解：∵，

∴，

∴，

故答案为：．

【思路引导】先求出，再代入计算求解即可。

14．（2分）（2022七下·柯桥期末）已知 ，则 ＝　     　．

【答案】-8

【完整解答】解：
故答案为：-8.
【思路引导】将分式通分计算，再将其转化用含m+n和mn的代数式表示，然后整体代入求值.

15．（2分）（2020八上·铜仁月考）若（t-3）t-2=1，则t=　     　.  

【答案】2或4

【完整解答】解：∵任意非0实数的0次幂都为1，1的任何次方都是1，-1的偶次幂为1，

∴①当t-2=0，t-3≠0时，

解得：t=2；

②当t-3=1时，

解得：t=4；

③当t-3=-1，t-2为偶数时，

解得：t=2，

故答案为：2或4

【思路引导】根据零指数幂的性质可得t-2=0，t-3≠0；根据1的任何次方都是1可得t-3=1；根据-1的偶次幂为1可得t-3=-1，t-2为偶数，进而可得t的值.

16．（2分）（2020·呼和浩特模拟）x，y为实数，且满足 ，则y的最大值是　     　．

【答案】

【完整解答】解：∵x2+3x+3＝0时，△＝32﹣12＜0，

∴x2+3x+3≠0；

当y＝0时，2x+2＝0，可得x＝﹣1，

当y≠0时，所以可将 ，变形为yx2+（3y﹣2）x+3y﹣2＝0，把它视为关于x的一元二次方程，

∵x为实数，

∴△≥0，即△＝（3y﹣2）2﹣4y（3y﹣2）＝﹣（3y2+4y﹣4）＝﹣（3y﹣2）（y+2）≥0，

∴（3y﹣2）（y+2）≤0，

解之得，﹣2≤y≤ ；

所以y的最大值为 ．

故答案为 ．

【思路引导】本题是以典型的“△”法求函数最值问题，通过观察，分母为二次函数，分子为一次函数，且验证分母△<0，分母不能为零，所以想到用“△”法，将函数转化成关于x的一元二次方程，利用该方程的△≥0，列出关于y的一元二次不等式，求解即可．

17．（2分）（2019八上·武冈期中）若 ，则 　     　。  

【答案】-2或3

【完整解答】(1) 任何不为零的数的零次幂等于1，

∴ ，

解得： ，(2) 1的任何次幂都是1，

∴ ，

解得： ，(3) ﹣1的偶次幂等于1

∴ ，且 为偶数，

解得：无解，

故答案为：﹣2或3．

【思路引导】根据任何不为零的数的零次幂等于1，1的任何次幂都是1，﹣1的偶次幂等于1进行计算即可．

18．（2分）（2019八上·昌平月考）已知 ，则式子 的值等于　     　

【答案】1

【完整解答】解：∵

∴

∴

故答案为：1

【思路引导】先把原式化简得到最简结果，再把已知等式变形为 ，代入计算即可求出值．

19．（2分）（2019八下·高新期中）阅读材料：

分离整数法就是将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．如：

① ；

② = = + =x+3+ .

解答问题．已知x为整数，且分式 为整数，则x的值为　           　.

【答案】3或1或4或0

【完整解答】解：∵ = = =3+ ，

又∵ 的值为整数，且x为整数；

∴x-2的值为1或-1或2或-2，

∴x的值为3或1或4或0．

故答案为：3或1或4或0．

【思路引导】将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，再根据分式值为整数，即可得到x的整数值．

20．（2分）（2019七下·虹口开学考）如果 对于自然数 成立，则 　     　， 　     　．  

【答案】；

【完整解答】解： ，

由题意可知：

∴ ， ，

故答案为： , ．

【思路引导】根据分式的加减运算，即可通分计算.

三、解答题(共8题；共60分)

21．（5分）（2022八下·吉安期末）先化简：，然后在-1，0，1，2四个数中给a选择一个你喜欢的数代入求值．

【答案】解：

＝•

＝•

＝•

＝

＝，

∵要使分式有意义，故a+1≠0且a﹣2≠0，

∴a≠﹣1且a≠2，

∴a＝1时，原式＝＝3．

【思路引导】先化简分式，再将a的值代入计算求解即可。

22．（5分）（2022七下·杭州期末）以下是圆圆计算的解答过程.

解：.

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.

【答案】解：有错误.

解：.

【思路引导】原式可变形为 ，然后根据同分母分式减法法则进行计算.

23．（6分）（2022七下·柯桥期末）先化简，再求值：（1＋ ）÷ ，再从1，-1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值.

【答案】解：原式＝（ ）•

•

，

当x＝2时，原式 =3

【思路引导】将括号里的分式通分计算，将分式除法转化为乘法运算，约分化简；再将已知的x的值中有意义的x的值，代入化简后的代数式求值即可.

24．（6分）（2022·通辽）先化简，再求值：，请从不等式组 的整数解中选择一个合适的数求值．

【答案】解：

，

，

解不等式①得：

解不等式②得：，

∴，

∵a为整数，

∴a取0，1，2，

∵，

∴a=1，

当a=1时，原式．

【思路引导】先化简分式，再求出 ， 最后求解即可。

25．（11分）（2022八下·沭阳期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： .我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如 ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式.类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.如： ； 

解决下列问题：

（1）（2分）分式 是　     　分式（填“真”或“假”）；

（2）（4分） 将假分式化为带分式； 

（3）（5分）如果 为整数，分式 的值为整数，求所有符合条件的 的值. 

【答案】（1）真

（2）解： = = ；

（3）解： ， 

∵ 为整数，分式 的值为整数，

∴x+1=1，5，-1，-5，

∴x=0，4，-2，-6.

【完整解答】解：（1）分式 是真分式.

故答案为：真；

【思路引导】（1）直接根据真分式、假分式的概念进行判断即可；
（2）原分式可变形为，化简即可；
（3）将原分式化为带分式可得  ，结合题意可得x+1=1，5，-1，-5，求解可得x的值.

26．（10分）（2022八下·晋中期末）学完分式运算后，王老师出了一道化简题：，请仔细阅读下面两位同学的解题过程并完成相应的任务：

（1）（2分）任务一：老师判断上述两位同学的解法都错误，请你分别写出他们错误的原因，小明：　         　，小花：　                   　；

（2）（6分）任务二：请你写出正确的化简过程．

【答案】（1）漏加括号；进行了去分母的运算

（2）解：方法一：原式

；

方法二：原式．

【完整解答】解：（1）小明的错误是：漏加括号，小花的错误是：进行了去分母的运算（表述合理即可）.

故答案为：漏加括号，进行了去分母的运算.

【思路引导】（1）小明的错误是：漏加括号；小花的错误：分式加减时，去掉了分母；
（2）方法一：先通分，再进行同分母分式的减法运算；方法二：先化简分式，再进行同分母分式的减法运算.

27．（7分）（2022七下·上城期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简. 过程如图所示：

（1）（2分）接力中，自己负责的一步出现错误的同学是　     　；

（2）（5分）请你书写正确的化简过程，并在“-1，0，1”中选择一个合适的数代入求值.

【答案】（1）甲

（2）解：原式＝

；

，

当 时，原式 .

【完整解答】解：（1）甲同学出现错误，在计算括号内的减法时，应为 .

故答案为：甲；

【思路引导】（1）对每一步进行检验，发现甲在将括号内的整式通分的时候，由于分数线具有括号的作用，故符号出现了错误，从而即可得出答案；
（2）通分计算括号内异分母分式的减法，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，然后根据分式有意义的条件选择一个值代入计算即可.

28．（11分）（2022八下·隆昌月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如，，则和都是“和谐分式”.

（1）（1分）下列分式中，属于“和谐分式”的是　     　（填序号）

①；②；③；④

（2）（2分）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：

（3）（4分）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数.

（4）（4分）拓展：若，求A、B的值.

【答案】（1）①③④

（2）a-1

（3）解：

=

∴当或时，分式的值为整数

此时或-2或1或-3

又∵分式有意义时、1、-1

∴

所以当x=-3时，分式运算的结果是整数.

（4）解：∵

又

∴

解得，

【完整解答】解：（1）①，是和谐分式；

②是整式，不是和谐分式；

③，是和谐分式；

④，是和谐分式；

故答案为：①③④；

(2)

故答案为：a-1；

【思路引导】（1）将每个分式进行化简，能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式即为“和谐分式”，逐项进行判断即可得出正确答案；
（2）可仿照定义后的例子，把分式的分子进行变形，再化为为“和谐分式”的形式，即可得出答案；
（3）先根据分式的混合运算顺序化简分式，再把分式化为“和谐分式”的形式，再根据分式值和x都为整数，确定x的值即可；
（4）先将原等式右边的分式进行通分化简，即可得到关于A、B的二元一次方程组，解之即可求得A、B的值.