初中数学人教版八年级上册本节综合习题

这是一份初中数学人教版八年级上册本节综合习题，文件包含111与三角形有关的线段原卷docx、111与三角形有关的线段解析卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。

一、三角形有关概念
1．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．
2．三角形的基本元素：
（1）三角形的三条边：即组成三角形的线段．
（2）三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角．
（3）三角形的顶点：即相邻两边的公共端点．
3．三角形的特征：
（1）三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接；
（2）三角形是一个封闭的图形．
4．三角形的表示：
（1）三角形用符号“△”表示．顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．
（2）三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示（一般与表示顶点的大写字母相对应的小写字母表示）．
【注意】①△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义；
②三角形三个顶点的字母的次序可以任意调换．△ABC也可以写成“△BAC”“△BCA”“△ACB”等．
二、三角形的分类
1．按边分类：
2．按角分类：
【注意】①三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别．如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直角三角形．
②在一个三角形中，钝角（或直角）最多只能有一个，锐角可以有两个或三个．
三、三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边．
推论：三角形任意两边之差小于第三边．
四、三角形的高、中线、角平分线
1．高
2．中线
3．角平分线
4．“三线”的交点
五、三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性．
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中应用广泛．例如房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．

方法归纳


模型1 判断三条线段能否组成三角形
典例
（2024春•成武县期末）分别用下列长度的三条线段能组成三角形的是
A．4，2，1B．4，4，8C．4，9，9D．2，3，6
【答案】
【分析】根据任意两边之和大于第三边逐项判断即可得到答案．
【解答】解：、，不能组成三角形，不符合题意；
、，不能组成三角形，不符合题意；
、，能组成三角形，符合题意；
、，不能组成三角形，不符合题意．
故选：．
【变式练1】 （2024春•锦江区校级期中）下列长度的三根小木棒，不能摆成三角形的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】
【分析】三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐一分析各项即可．
【解答】解：．，不能构成三角形，故选项符合题意；
．，能构成三角形，故选项不符合题意；
．，能构成三角形，故选项不符合题意；
．，能构成三角形，故选项不符合题意；
故选：．
【变式练2】 （2024春•海州区校级期末）下列各组线段中，能构成三角形的是
A．3，5，8B．1，3，6C．3，4，5D．4，4，9
【答案】
【分析】三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可．
【解答】解：、，
长为3，5，8的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
、，
长为1，3，6的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
、，
长为3，4，5的三条线段能构成三角形，符合题意；
、，
长为4，4，9的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
故选：．
【变式练3】 （2024春•九台区期末）已知线段，，则下列线段中，能与，组成三角形的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和即可判断．
【解答】解：设三角形的第三边为．
由题意：，
即，
故选：．
模型2 三角形的稳定性
典例
（2023秋•阿荣旗期末）如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的几何原理是
A．两点之间线段最短B．垂线段最短
C．两定确定一条直线D．三角形的稳定性
【答案】
【分析】将其固定，显然是运用了三角形的稳定性．
【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：．
【变式练1】 （2024春•九台区期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
【答案】
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故选：．
【变式练2】 （2023秋•无锡期末）如图，用四根细木条和一些图钉做成一个四边形框架，为了使这个框架具有稳定性，可再钉上一根细木条（图中灰色木条）．下列四种情况中不能成功是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用三角形的稳定性确定正确的选项即可．
【解答】解：根据题意得：为了使这个框架有稳定性，需要钉上一根细木条，使得构成三角形，
、、选项中均可，不可以，
故选：．
【变式练3】 （2023秋•汉滨区期末）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是
A．两点之间，线段最短B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性D．两直线平行，内错角相等
【答案】
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【解答】解：这样做的道理是三角形具有稳定性．
故选：．
模型3 判断三角形的形状
典例
（2024春•资阳区期末）已知、、为的三边长，且、满足，为方程的解，求的周长，并判断的形状．
【分析】依据非负数的性质，即可得到和的值，再根据为方程的解，即可得到或1，依据三角形三边关系，即可得到，进而得出的周长，以及的形状．
【解答】解：，
，
解得，
为方程的解，
或1，
当，，时，，
不能组成三角形，故不合题意；
，
的周长，
，
是等腰三角形．
【变式练1】 （2024春•卢龙县期末）已知在中，，，且为奇数．
（1）求的周长；
（2）判断的形状．
【分析】（1）首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据为奇数确定的值，进而可得周长；
（2）根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形．
【解答】解：（1）由题意得：，
即：，
为奇数，
，
的周长为；
（2），
是等腰三角形．
【变式练2】 （2024春•平潭县期中）已知实数，，满足．
（1）求，，的值；
（2）试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请判断三角形的形状并写出推理过程．若不能，请说明理由．
【答案】（1），，；（2）三角形的形状是直角三角形．
【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可；
（2）先比较长三边的大小，再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后根据等腰三角形的概念求解即可．
【解答】解：（1），
，，，
，，；
（2），
以、、为边能构成三角形，
，，，
，
三角形的形状是直角三角形．
【变式练3】 （2023秋•定西期中）已知，，是的三边，，，若三角形的周长是小于18的偶数．
（1）求边的长；
（2）判断的形状．
【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而得出答案；
（2）利用等腰三角形的判定方法得出即可．
【解答】解：（1），，是的三边，，，
，
三角形的周长是小于18的偶数，
，
或6；
（2）当或6时，的形状都是等腰三角形．
模型4 三角形的重心
典例
（2023秋•邯郸期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，均在小正方形的顶点上，则的重心是
A．点B．点C．点D．点
【答案】
【分析】取的中点，取的中点，连接，，然后根据图形可知与的交点为，即可得到点为的重心．
【解答】解：取的中点，取的中点，连接，，如图所示，
则与的交点为，
故点是的重心，
故选：．
【变式练1】 （2024春•文登区期末）如图，在中，，分别是边，上的中线，，交于点，则的值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，由此即可求解．
【解答】解：，分别是边，上的中线，
是的重心，
．
故选：．
【变式练2】 （2024春•曹县期末）如图，点是的重心，连接并延长交于点，，的周长比的周长大1.8，则 ．
【答案】2.2．
【分析】根据三角形重心的定义，得出点是的中点，再根据的周长比的周长大1.8即可解决问题．
【解答】解：点是的重心，且的延长线交于点，
点是的中点，
即．
的周长比的周长大1.8，
，
即．
又，
．
故答案为：2.2．
【变式练3】 （2023秋•浦东新区期末）如果点是的重心，且，那么边上的中线长为 ．
【答案】9．
【分析】延长交于，如图，利用三角形重心的性质得，为边上的中线，然后即可．
【解答】解：如图，连接，延长交于点．
点是的重心，
，为边上的中线，
，
边上的中线长为9．
故答案为：9．
模型5 三角形的高
典例
（2024春•射洪市期末）在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形的高的概念判断．
【解答】解：边上的高就是过作垂线垂直交的延长线于点，因此只有符合条件，
故选：．
【变式练1】 （2023秋•娄星区期末）图中能表示的边上的高的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据三角形高线的定义对各选项进行判断．
【解答】解：题中需要画的边上的高．应当过顶点向边作垂线，顶点到垂足的垂线段就为边上的高．钝角三角形钝角两夹边的高在三角形的外部．
故选：．
【变式练2】 （2024春•崇川区期末）在中，作出边上的高，正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．
【解答】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点向作垂线垂足为，
纵观各图形，选项符合高线的定义，
故选：．
【变式练3】 （2024春•琼山区校级月考）下列图形中，正确画出边上的高的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：、图中没有画出边上的高，不符合题意；
、图中没有画出的是边上的高，不符合题意；
、图中没有画出边上的高，不符合题意；
、图中画出边上的高，符合题意；
故选：．
模型6 三角形的角平分线、中线及应用
典例
（2022秋•咸丰县校级月考）在正方形网格中的位置如图所示，点，，，均在格点上，则点是的
A．三条内角角平分线的交点B．三条中线的交点
C．三条高的交点D．无法确定
【答案】
【分析】根据三角形的重心的概念进行判断即可．
【解答】解：如图，点、分别是、的中点，
、是的中线，
点是三条中线的交点．
故选：．
【变式练1】 （2023秋•江夏区期中）关于三角形的角平分线和中线，下列说法正确的是
A．都是直线B．都是射线
C．都是线段D．可以是射线也可以是线段
【分析】根据三角形的角平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段是三角形的角平分线．三角形的中线是：连接一顶点和其对边中点的线段．因而三角形的角平分线、中线都是线段即可得到结论．
【解答】解：三角形的角平分线和中线都是线段．
故选：．
【变式练2】 （2023春•萧县期末）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的
A．角平分线B．中线C．高D．任意一条线
【答案】
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答即可．
【解答】解：三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
图中他所作的线段应该是的中线，
故选：．
【变式练3】 （2024春•湖南月考）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为
A．5B．3C．4D．2
【答案】
【分析】根据三角形中线的性质得到，再根据三角形周长公式进行求解即可．
【解答】解：为中线，
，
的周长，的周长，
与的周长之差为，
故选：．定义
表达形式
图例
从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高
是的边上的高，或⊥于，或或
定义
表达形式
图例
连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线
是的边上的中线，或，或或为的中点
定义
表达形式
图例
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线
是的角平分线，或
定义
线的位置
交点名称
中线
三条中线交于三角形内部
重心
角平分线
三条角平分线交于三角形内部
内心
高
锐角三角形：三条高都在三角形内部；
直角三角形：其中两条边恰好是高；
钝角三角形：其中两条高在三角形外部
垂心
1．（1）三角形的表示方法中，“△”代表“三角形”，后边的字母为三角形的三个顶点字母，字母的顺序可以自由安排．
（2）角的两边为射线，三角形的三条边为线段．
2．四边形没有稳定性．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺，伸缩门等．
3．三角形的角平分线与角的平分线
三角形的角平分线是一条线段，可以度量；角的平分线是一条射线，不能度量．
4．三角形的中线是一条线段．
5．三角形的高与垂线
三角形的高是一条线段，而垂线是一条直线．
6．等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形．等腰三角形具有一般三角形的特点，又具有自己的特殊性质．解决等腰三角形的问题，有时需要根据情况进行分类讨论．
7．三角形的三边关系是三角形的限制关系，与三角形的内角和为180°一样都是三角形隐含的条件．
8．判断三条线段能否组成三角形的方法
（1）将较短的两条线段的和与最长的线段相比较若较短的两条线段的和大于最长的线段，则可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．
（2）将最长线段和最短线段之差与中间线段比较若最长线段和最短线段之差大于或等于中间线段则不能组成三角形；若最长线段和最短线段之差小于中间线段则能组成三角形．
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
第三边取值范围：大于两边之差，小于两边之和．
“两边的和”“两边的差”中的“两边”可以是三角形中的任意两条边，不能用指定的或特殊的两边作和或差来判断．
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
四边形没有稳定性．
可以通过连接多边形的一对不相邻的顶点，改变它的不稳定性．
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
三角形被一边上的中线分成的两个小三角形的周长差的绝对值等于另两边的差的绝对值．