2024-2025学年人教版八年级上册数学同步讲义 15.1 分式 含答案

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       分式15.1  目录 TOC \o "1-3" \h \z \u 探究1 分式的概念  PAGEREF _Toc172124155 \h 2探究2 分式有意义、无意义的条件  PAGEREF _Toc172124156 \h 3探究3 分式的值  PAGEREF _Toc172124157 \h 4探究4 分式的基本性质  PAGEREF _Toc172124158 \h 5探究5 约分、最简分式  PAGEREF _Toc172124159 \h 8探究6 通分、最简公分母  PAGEREF _Toc172124160 \h 9探究1 分式的概念1．分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．2．一个式子是分式需满足的三个条件：（1）是形如的式子；（2）A，B都是整式（这里的整式，可以是单项式，也可以是多项式）；（3）分母B中含有字母（π是常数，不是定义中所说的字母）．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆【例1】　（2024春•月湖区期末）在代数式中，分式的个数是　　A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【分析】一般地，如果、表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可．【解答】解：分式有式，，共2个，故选：．【例2】　（2024春•广陵区期末）若是分式，则□不可以是　　A． B． C． D．【答案】【分析】根据分式的定义即可得出答案．【解答】解：□是分母，□必须含有字母，□不可以是．故选：．【例3】　（2023春•嵊州市期末）下列四个代数式1，，，，请从中任选两个整式，组成一个分式为 　　（只需写出一个即可）．【答案】（答案不唯一）．【分析】根据分式的定义写出一个分式即可．【解答】解：分式为．故答案为：（答案不唯一）．1．分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志．2．分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为（a-1）÷（a+1），但（a-1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合的形式．3．判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．比如，就是分式．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆探究2 分式有意义、无意义的条件1．分式有意义的条件：分式的分母不等于0．2．分式无意义的条件：分式的分母等于0．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆【例4】　（2024春•郫都区期末）若当时，分式无意义，则的值为 　　．【答案】．【分析】根据分母为零分式无意义的条件进行解题即可．【解答】解：由题可知，当时，分式无意义，即，解得．故答案为：．【例5】　（2024春•佛山期末）使分式有意义的条件是　　A． B． C． D．【答案】【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得：，解得：．故选：．【例6】　（2024春•金牛区期末）要使分式无意义，则的取值范围是　　A． B． C． D．【答案】【分析】根据分式无意义的条件：分母等于0即可得出答案．【解答】解：根据题意得：，．故选：．1．分式有无意义与分母有关，与分子无关．2．分式中分母是含字母的式子，它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于0时，分式就没有意义了．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆探究3 分式的值1．分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0．2．分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆【例7】　（2024春•汝州市期末）对于分式，下列说法不正确的是　　A．时，分式值为0 B．时，分式无意义 C．时，分式的值为正数 D．分式的值可能为1【答案】【分析】利用分式的值，分式有意义的条件及值为零的条件逐项判断即可．【解答】解：对于分式，当时，，则不符合题意；对于分式，当，即时，分式无意义，则不符合题意；对于分式，时，分式的值为正数，则不符合题意；对于分式，，那么分式的值不可能为1，则符合题意；故选：．【例8】　（2024春•灌南县月考）能使分式值为整数的整数有　　个．A．0 B．1 C．2 D．8【答案】【分析】将转化为，进一步求解即可．【解答】解：，分式的值为整数，的值为整数，，，，，，，，，也是整数，，，，，解得：，，，，，，，；故选：．【例9】　（2024春•漳州期末）分式的值为0，则的值是　　A．0 B． C．2 D．【答案】【分析】根据分子为零，分母不为零分式的值为零，可得答案．【解答】解：由分式的值为0，得且．解得，故选：．1．求解分式的值为0的条件的题目时，首先求出使分式的分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否是分母的值为0，当它使分母的值不为0时，就是所要求的字母的值，使分母为0的值必须舍去．2．对于分式，①若的值为正数，则或；②若的值为负数，则或；③若的值为1，则A=B且B≠0；④若的值为-1，则A+B=0且B≠0．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆探究4 分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式．2．分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变．用式子表示为：或◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆【例10】　（2024春•江都区月考）下列各式中，化简正确的是　　A． B． C． D．【答案】【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可．【解答】解：、，故错误，不合题意；、，故错误，不合题意；、，故错误，不合题意；、，故正确，符合题意；故选：．【例11】　（2024春•萧山区月考）如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，则■的内容可能是　　A．4 B． C． D．9【答案】【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可．【解答】解：当■表示4时，，它的值与原分式的值相等，则不符合题意；当■表示时，，它的值是原分式的值的4倍，则不符合题意；当■表示时，，它的值是原分式的值的2倍，则符合题意；当■表示9时，，它的值与原分式的值相等，则不符合题意；故选：．【例12】　（2024春•桐柏县期末）下列分式与相等的是　　A． B． C． D．【答案】【分析】根据分式的基本性质解答即可．【解答】解：，，而，，选项正确；其它的选项不符合题意．故选：．1．基本性质中的A，B，C表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条件．2．应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是做“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于0的整式．3．在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化．例如：，在变形后，字母的取值范围变大了．4．运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变换，它不改变分式值的大小，只改变其形式．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆探究5 约分、最简分式1．约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2．最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆【例13】　（2024春•海口期末）约分的结果是　　A． B． C． D．【答案】【分析】找出分子和分母的最大公因式，再根据分式的性质进行计算即可．【解答】解：．故选：．【例14】　（2024春•信宜市校级期末）小张同学在化简分式时得到的结果为，□部分不小心用橡皮擦掉了，请你推测□部分的代数式应该是　　A． B． C． D．【答案】【分析】根据分式的性质解答即可，【解答】解：将分式化简后得，．□部分的代数式为，故选：．【例15】　（2024春•漳州期末）下列分式中，是最简分式的是　　A． B． C． D．【答案】【分析】根据最简分式的定义进行解题即可．【解答】解：、是最简分式，符合题意；、不是最简分式，不符合题意；、不是最简分式，不符合题意；、不是最简分式，不符合题意；故选：．1．约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，然后找出分子、分母的公因式，再约分．2．约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式．分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积．3．注意发现分式的分子和分母的一些隐含的公因式，如a-5与5-a表面虽不相同，但通过提取“-”可发现含有公因式（a-5）；4．当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面．5．约分的结果是整式或最简分式．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆探究6 通分、最简公分母1．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．2．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．（1）通分的关键是确定几个分式的最简公分母．（2）分式的通分是恒等变形，通分前后分式的值不变．3．确定最简公分母的方法：（1）当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（2）当各分母都是多项式时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法来确定．4．通分的步骤：（1）求各分式的最简公分母；（2）用这个最简公分母除以分式的分母；（3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆【例16】　（2022秋•澧县校级期末）分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为　　A． B． C． D．【答案】【分析】分式的分母，经过通分后变成，那么分母乘以了，根据分式的基本性质，将分子乘以，计算即可得解．【解答】解：．故选：．【例17】　（2022春•原阳县月考）把，，通分过程中，不正确的是　　A．最简公分母是 B． C． D．【答案】【分析】按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案．【解答】解：、最简公分母为最简公分母是，正确；、，通分正确；、，通分正确；、通分不正确，分子应为；故选：．【例18】　（2024春•郸城县校级月考）分式与的最简公分母是 　　，通分后的结果是 　　、　　．【答案】；；．【分析】分式的最简公分母是通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答．【解答】解：分式与的最简公分母是，，故答案为：；；．1．约分与通分的联系与区别：（1）约分与通分恰好是相反的两种变形，约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值．（2）约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言．（3）约分是将一个分式化简，通分则可能将一个分式化繁，使异分母分式化为同分母分式．2．通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，即最简公分母．3．通分时确定了分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生变化而出错．◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆牛刀小试1．（2024春•佛山期末）下列选项中是分式的是　　A． B． C． D．2．（2024春•泌阳县期末）要使分式有意义，则的取值范围是　　A． B． C． D．3．（2024•上城区校级模拟）下列分式一定有意义的是　　A． B． C． D．4．（2024春•青阳县期末）若分式的值为0，则的值是　　A． B． C．2 D．45．（2024春•鄞州区期末）已知分式，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是　　A． B． C． D．6．（2024春•涟水县期末）如果把分式中的与都扩大3倍，则分式的值　　A．变为原来的 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍7．（2024春•馆陶县期中）化简的结果是　　A． B． C． D．8．（2024春•德惠市校级月考）在下列分式中，是最简分式的是　　A． B． C． D．9．（2024春•涟水县月考）式子的最简公分母是　　A． B． C． D．10．（2024春•宿城区校级期中）通分：（1），； （2），．参考答案1．【答案】【分析】根据分式的定义（形如的式子是分式，其中与是整式且中含有字母）解决此题．【解答】解：．根据分式的定义，中分母不含有字母，不是分式，那么不符合题意．．根据分式的定义，中分母不含有字母，不是分式，那么不符合题意．．根据分式的定义，中、均是整式且分母中含有字母，则是分式，那么符合题意．．根据分式的定义，不是分式，那么不符合题意．故选：．2．【答案】【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零，可得出的取值范围．【解答】解：分式有意义，，解得：．故选：．3．【答案】【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．【解答】解：．，故本选项符合题意；．，故本选项不符合题意；．，故本选项不符合题意；．为全体实数，故本选项不符合题意；故选：．4．【答案】【分析】根据分母不为零且分子为零的条件进行解题即可．【解答】解：由题可知，，解得．故选：．5．【答案】【分析】根据分式无意义及分母为0即可求出的值，根据当时分式的值为0即可求出的值，根据分式的值为1即可求出的值，根据即可求出的值．【解答】解：当时，分式无意义，，即，，故选项正确；此时分式为，当时，分式的值为0，，，故选项正确；此时分式为，当分式的值为1时，，解得，故选项错误；当时，，故选项正确；故选：．6．【答案】【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：，如果把分式中的与都扩大3倍，则分式的值不变，故选：．7．【答案】【分析】先把分式的分子和分母分解因式，再进行约分即可．【解答】解：．故选：．8．【答案】【分析】根据最简分式的定义，逐项分析判断即可求解．【解答】解：、原式，故不是最简分式，不符合题意；、是最简分式，符合题意；、，故不是最简分式，不符合题意；、，故不是最简分式，不符合题意；故选：．9．【答案】【分析】先确定2、3、6的最小公倍数，再取、的最高次幂，然后把它们的积作为最简公分母．【解答】解：式子的最简公分母是．故选：．10．【分析】（1）根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案；（2）根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案．【解答】解：（1），，最简公分母是，，；（2），，最简公分母是，，．的取值20分式的值无意义01