人教A版（2019）必修第二册课后练习第六章测评试卷（附解析）

这是一份人教A版（2019）必修第二册课后练习第六章测评试卷（附解析），共8页。

过关综合测评第六章测评(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021安徽庐阳校级期末)下列说法正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.若|a|=|b|,则a=b或a=-bB.若a,b互为相反向量,则a+b=0C.零向量是没有方向的向量D.若a,b是两个单位向量,则a=b答案B解析当|a|=|b|时,a,b可能不共线,故A错误;若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0,故B正确;零向量的方向不确定,为任意方向,不能说零向量没有方向,故C错误;若a,b是两个单位向量,则|a|=|b|,而方向可能不同,故D错误.故选B.2.(2021安徽庐阳校级期末)已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量AB同向的单位向量是(　　)A.35,-45 B.-35,45C.-45,35 D.45,-35答案A解析∵A(4,1),B(7,-3),∴AB=(3,-4),故与向量AB同向的单位向量为AB|AB|=35,-45.故选A.3.(2021全国甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC=(　　)A.1 B.2 C.5 D.3答案D解析设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·cos 120°,解得x=3或x=-5(舍).故选D.4.(2021北京朝阳校级月考)已知a=(1,-2),b=(-2,m),若a⊥(a+2b),则实数m的值为(　　)A.14 B.12 C.1 D.2答案A解析∵a=(1,-2),b=(-2,m),∴a·b=-2-2m.又a⊥(a+2b),∴a·(a+2b)=a2+2a·b=5-4-4m=0,解得m=14.故选A.5.(2021四川巴中模拟)已知向量OA=(1,-2),OB=(2,-3),OC=(3,t).若A,B,C三点共线,则实数t=(　　)A.-4 B.-5 C.4 D.5答案A解析向量OA=(1,-2),OB=(2,-3),OC=(3,t).若A,B,C三点共线,则存在实数x,使OC=xOA+(1-x)OB,即3=x+2(1-x),t=-2x-3(1-x),解得x=-1,t=-4.故选A.6.(2021湖南郴州期末)已知平面向量PA,PB满足|PA|=|PB|=1,PA·PB=-12.若|BC|=1,则|AC|的最大值为(　　)A.2-1 B.3-1C.2+1 D.3+1答案D解析∵|PA|=|PB|=1,PA·PB=-12,∴cos∠APB=PA·PB|PA||PB|=-12,∴∠APB=23π.由余弦定理,得AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos∠APB=1+1+1=3.∴AB=3,则|AB|=3.∴当AB与BC同向共线时,|AC|有最大值3+1.故选D.7.(2021北京模拟)在等腰梯形ABCD中,AB=-2CD,M为BC的中点,则AM=(　　)A.12AB+12AD B.34AB+12ADC.34AB+14AD D.12AB+34AD答案B解析如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=-2CD,∴CD=-12AB,DC=12AB.又M为BC的中点,∴BM+CM=0.又AM=AB+BM,AM=AD+DC+CM,∴2AM=(AB+BM)+(AD+DC+CM)=32AB+AD,∴AM=34AB+12AD.故选B.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,BC边上的高为1,则△ABC面积的最小值为(　　)A.2-5 B.2-3C.2+3 D.2+5答案B解析设△ABC的面积为S,BC边上的高为h,则h=1,∴S=12bcsin A=14bc,即bc=4S.又S=12ah=12a,∴S2=14a2=14(c2+b2-2bccos A)=14(c2+b2-3bc)≥14(2bc-3bc)=2-34bc=2-34×4S=(2-3)S,当且仅当b=c时,等号成立.∴S≥2-3,故△ABC面积的最小值为2-3.故选B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知向量a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,-5),则下列选项正确的有(　　)A.(a+2b)∥c B.(a+2b)⊥cC.|a+c|=10+34 D.|a+c|=2|b|答案AD解析a+2b=(-3,5),故A正确,B错误;|a+c|=(1+3)2+(3-5)2=25=2|b|,故C错误,D正确.故选AD.10.(2021广东宝安校级期末)设P是△ABC所在平面内的一点,AB+AC=3AP,则(　　)A.PA+PB=0 B.PB+PC=0C.PA+AB=PB D.PA+PB+PC=0答案CD解析因为AB+AC=3AP,所以PB-PA+PC-PA-3AP=0,即PA+PB+PC=0,故D正确,A,B错误;易知C正确.故选CD.11.(2021江苏建邺校级月考)已知满足C=30°,AB=4,AC=b的△ABC有两个,那么b可能是(　　)A.5 B.6 C.7 D.8答案ABC解析在△ABC中,C=30°,AB=4,AC=b,由正弦定理,得ABsinC=ACsinB,即4sin30°=bsinB,解得sin B=b8.由题意知,当sin B∈12,1时,满足条件的△ABC有两个,即120,所以tan (A+B)+2tanA+tanB=-tan C+2(tanAtanB-1)·tanC=-tanC+1tanC≤-2,当且仅当tan C=1时,等号成立,故C正确;对于D,因为sin 2A+sin 2B+sin 2C=sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]+sin 2C=2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C=2sin Ccos(A-B)-2sin Ccos(A+B)=4sin Asin Bsin C,所以sin2A+sin2B+sin2CsinCcosAcosB=4tan Atan B=±4,故D错误.故选BC.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021湖南怀化期末)在水流速度为4 km/h的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以8 km/h的速度(船在静水中的速度)航行,则船实际航行的速度的大小为　　　　　 km/h. 答案45解析由题意,如图,OA表示水流速度,OB表示船在静水中的速度,则OC表示船的实际速度.则|OA|=4,|OB|=8,∠AOB=90°,∴|OC|=42+82=45,∴实际速度的大小为45 km/h.14.(2021全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　　. 答案22解析由题意可知△ABC的面积S=12acsin 60°=3,整理得ac=4.结合已知得a2+c2=3ac=12.因为B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×cos 60°=8,所以b=22.15.(2021安徽芜湖模拟)已知a,b,c是单位向量,a+b+c=0,则|a-b|=　　　　. 答案3解析由a+b+c=0,得a+b=-c,∴(a+b)2=(-c)2.∵a,b,c是单位向量,∴a·b=-12,∴|a-b|=(a-b)2=3.16.(2021浙江卷)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=23,则AC=　　　,cos∠MAC=　　　　. 答案213　23913解析由题意作出图形,如图,在△ABM中,由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2BM·BA·cos B,即12=4+BM2-2BM×2×12,解得BM=4(负值舍去),所以BC=2BM=2CM=8.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=4+64-2×2×8×12=52,所以AC=213.在△AMC中,由余弦定理的推论,得cos∠MAC=AC2+AM2-MC22AM·AC=52+12-162×23×213=23913.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知平面上点A(4,1),B(3,6),D(2,0),且BC=AD.(1)求|AC|;(2)若点M的坐标为(-1,4),用基底{AB,AD}表示AM.解(1)设点C的坐标为(x,y),已知点A(4,1),B(3,6),D(2,0),所以BC=(x-3,y-6),AD=(-2,-1).又BC=AD,所以x-3=-2,y-6=-1,解得x=1,y=5,所以点C的坐标为(1,5),AC=(-3,4),所以|AC|=(-3)2+42=5.(2)已知点M(-1,4),所以AM=(-5,3),AB=(-1,5),AD=(-2,-1).设AM=λAB+μAD,即-5=-λ-2μ,3=5λ-μ,解得λ=1,μ=2,故AM=AB+2AD.18.(12分)(2021安徽定远校级期末)已知向量a=(1,2),b=(3,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c.(1)求b与c;(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.解(1)由a∥b,得x-2×3=0,解得x=6.由a⊥c,得1×2+2y=0,解得y=-1.故b=(3,6),c=(2,-1).(2)∵m=2a-b=(-1,-2),n=a+c=(3,1),∴m·n=-1×3-2×1=-5,|m|=(-1)2+(-2)2=5,|n|=32+12=10,∴cos=m·n|m||n|=-55×10=-22.又0≤≤π,∴向量m,n的夹角为3π4.19.(12分)(2021安徽瑶海月考)已知海岛A四周8海里内有暗礁,有一货轮由西向东航行,在B处望见岛A在北偏东75°,航行202 海里后,在C处望见此岛在北偏东30°,若货轮不改变航向继续前进,有没有触礁危险?请说明理由.解没有触礁危险,理由如下:如图所示,由题意知,∠ABC=15°,∠ACD=60°,∴∠BAC=45°.在△ABC中,BC=202,由正弦定理得AC=BCsin15°sin45°=40sin 15°=10(6-2).在直角三角形ACD中,AD=AC•sin 60°=152-56>8,从而可知货轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.20.(12分)(2021浙江北仑校级期中)如图,在直角梯形ABCD中,角B是直角,AD=2BC,AB=AD=2,E为AB的中点,DP=λDC(0≤λ≤1).(1)当λ=13时,用DA,DC表示PE;(2)求|PE|的最小值并求出相应的实数λ的值.解(1)当λ=13时,DP=13DC,PC=23DC,故PE=12(PA+PB)=12(DA-DP+PC+CB)=12DA-13DC+23DC+12DA=16DC+34DA.(2)建立如图所示的平面直角坐标系,则AD=(2,0),DC=(-1,2).因为DP=λDC=(-λ,2λ),0≤λ≤1,所以AP=AD+DP=(2-λ,2λ),P的坐标为(2-λ,2λ).因为E的坐标为(0,1),所以PE=(λ-2,1-2λ),|PE|=(λ-2)2+(1-2λ)2=5λ2-8λ+5,当λ=45时,|PE|取得最小值355.21.(12分)(2021浙江期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+2c)cos B+bcos A=0.(1)求角B的大小;(2)若b=3,求△ABC的周长的最大值.解(1)已知(a+2c)cos B+bcos A=0,则(sin A+2sin C)cos B+sin Bcos A=0,即sin Acos B+cos Asin B+2sin Ccos B=0,sin(A+B)+2sin Ccos B=0,sin C+2sin Ccos B=0,∵sin C>0,∴cos B=-12.∵01(舍);