高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直授课ppt课件

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直授课ppt课件，共37页。PPT课件主要包含了自主预习·新知导学，合作探究·释疑解惑，易错辨析，随堂练习，答案A，答案C等内容，欢迎下载使用。

自主预习·新知导学
一、刻画两条异面直线的位置关系【问题思考】1.如图,两条去往不同方向的高速公路可抽象为直线a,直线b,它们是否在同一平面内?a,b的位置关系可能是垂直吗?
提示:不共面,既不相交也不平行,是异面直线.两条直线的位置关系可能是垂直.
2.(1)平面内两条直线相交形成 4 个角,其中不大于 90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.(2)我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系.3.做一做:若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a与c的位置关系是(　　)A.异面B.平行C.垂直D.相交答案:C
二、异面直线所成的角(或夹角)【问题思考】1.类比相交直线所成的角, 异面直线是否可以转化为相交直线来刻画两条异面直线的位置关系?提示:可以,通过平移把异面直线转化为相交直线,这样就可以刻画两条异面直线的位置关系.
2.(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)空间两条直线所成角α的取值范围:0°≤α≤90°.(3)当α=90°时,直线a与直线b垂直,记作a⊥b .
3.做一做:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)A.45°B.60°C.90°D.120°解析:取A1B1的中点Q,连接GQ,HQ(图略),则EF∥GQ,从而∠HGQ或其补角即为异面直线EF与GH所成的角,易求得∠HGQ=60°.答案:B
三、直线与直线的垂直关系【问题思考】1.两直线互相垂直,一定要有交点吗?异面直线可以说互相垂直吗?提示:不一定,可以.2.如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.
3.做一做:已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b垂直”是“平面α和平面β相交”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:D
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若两条直线垂直,则这两直线一定相交.( × )(2)异面直线所成的角不可能等于0°.( √ )(3)若两条直线都与第三条直线异面,则这两条直线异面.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一 求异面直线所成的角
【例1】 如图,在四面体A-BCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.
求两异面直线所成的角的步骤(1)作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角;(2)证:证明作出的角就是要求的角;(3)计算:求角的值,常利用解三角形得出.可用“一作二证三算”来概括.
【变式训练1】 如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AB的中点为M,DD'的中点为N,则异面直线B'M和CN所成角的大小是(　　) A.90°B.60°C.45°D.30°
解析:如图,取AA'的中点E,连接BE,EN,则BE∥NC,所以异面直线B'M和CN所成的角就是直线BE与直线B'M所成的角,根据△ABE≌△BB'M可得∠B'MB=∠AEB,则BE⊥B'M,所以异面直线B'M和CN所成的角为90°.
探究二 证明异面直线垂直
【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求证:DB1⊥EF.
分析:转化为求异面直线DB1与EF所成的角为90°.
证法一:如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,GA1,GC1,则OG∥B1D,EF∥A1C1.∴∠GOA1或其补角为异面直线DB1与EF所成的角.∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°,即DB1⊥EF.
证法二:如图,在原正方体的右侧补上一个相同的正方体,连接B1Q,DQ,A1C1, ∵EF∥A1C1,A1C1∥B1Q,∴EF∥B1Q.于是∠DB1Q或其补角就是异面直线DB1与EF所成的角.通过计算,易得到B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角为90°,即DB1⊥EF.
1.证明线线垂直的一种方法:定义法,即利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直.2.作异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线);(2)中位线平移法;(3)补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).
【变式训练2】 如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,求:(1)A1C1与B1C所成的角;(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求证:A1C1⊥EF.
(1)解:如图,连接AC,AB1.由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AA1 CC1,所以四边形ACC1A1为平行四边形,从而AC∥A1C1,所以B1C与AC所成的角就是B1C与A1C1所成的角.由AB1=AC=B1C,知∠B1CA=60°,即A1C1与B1C所成的角为60°.(2)证明:如图,连接BD,由(1)知AC∥A1C1.由已知得EF∥BD,所以AC与BD所成的角就是A1C1与EF所成的角,而AC⊥BD,所以A1C1与EF所成的角为90°,即A1C1⊥EF.
因忽略异面直线所成的角的范围致错【典例】 如图,在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=2.求EF的长度.
错解:取BC的中点M,连接ME,MF,如图.则ME∥AC,MF∥BD,∴AC与BD所成的角即为ME与MF所成的角,而AC,BD所成的角为60°,∴∠EMF=60°.∵BD=AC=2,∴MF=EM=1.∴△EMF为等边三角形,∴EF=1.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错误的原因是漏掉了∠EMF=120°的情况.
正解:由错解知,∠EMF或其补角为AC与BD所成的角,而AC,BD所成的角为60°,∴∠EMF=60°或120°.当∠EMF=60°时,由错解知,EF=1.当∠EMF=120°时,如错解图,取EF的中点N,连接MN,则MN⊥EF,
已知异面直线所成的角去推断两条相交直线所形成的角的度数时,应考虑全面.
1.如果a⊥b,那么a与b(　　)A.一定相交B.一定异面C.一定共面D.一定不平行答案:D
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
解析:∵AB∥CD,∴∠EAB或其补角为AE与CD所成的角.
3.如图,将无盖正方体纸盒展开,则直线AB,CD在原正方体中的位置关系是(　　)A.平行B.相交且垂直C.异面D.相交成60°角
解析:首先把平面图形还原为正方体,根据右图可以很容易地看出,若连接AC,则△ABC是等边三角形,故选D.答案:D
4.已知正方体ABCD-EFGH,则AH与FG所成的角是　　　.解析:∵FG∥EH,∴∠AHE=45°即为AH与FG所成的角.答案:45°