A.4 B.5 C.6 D.7
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.若空间中四条不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论正确的是( )
A.l1⊥l4 B.l1∥l4
C.l1,l4既不垂直也不平行 D.l1,l4的位置关系不确定
4.如图,在四面体ABCD中,M,N分别是AC,BD的中点,AB=CD=2,MN=3,
则异面直线AB与CD所成的角为( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
5.如图,圆柱的底面直径AB与母线AD的长度相等,E是弧AB的中点,
则AE与BD所成的角为( )
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
二、巩固提高
6(多选题).如图,三棱柱ABC-DEF的所有棱长均相等,则( )
A.AB⊥CF B.AE⊥BD
C.∠ABC=60° D.∠ADE=60°
7.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1,AD的中点,
则异面直线CD1,EF所成的角的大小为 .
8.如图,几何体ABCD-A1B1C1D1为正方体.
(1)求异面直线A1C1与B1C所成角的大小;
(2)若E,F分别为棱AB,AD的中点,求证:A1C1⊥EF.
三、尖子突破
9.如图,在正四棱锥P-ABCD中,点M,N分别在PA,BD上,且PMPA=BNBD=13,求证:MN⊥AD.
参考答案
1.A在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱中,棱AD,A1D1,BC,B1C1均与直线BA1垂直,即共有4条直线与直线BA1垂直
2.C如图所示,连接BD,B1D1,D1C,∵EF∥DB,DB∥D1B1,∴EF∥D1B1,
则异面直线B1C与EF所成的角为∠D1B1C.∵D1B1=B1C=D1C,
即△B1CD1为等边三角形,∴∠D1B1C=60°.故选C.
3.D如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,记DD1为l1,DC为l2,DA为l3,
满足题中条件l1⊥l2,l2⊥l3.若AA1为l4,满足l3⊥l4,此时l1∥l4;
若C1D为l4,满足l3⊥l4,此时l1与l4相交但不垂直;
若AB为l4,满足l3⊥l4,此时l1与l4异面垂直;若C1D1为l4,
满足l3⊥l4,此时l1与l4相交且垂直.因此l1,l4的位置关系不确定,故选D.
4.B如图,取BC的中点P,连接MP,NP,因为M,N分别是AC,BD的中点,
所以MP∥AB,NP∥CD且MP=12AB=1,NP=12CD=1,
所以∠MPN或其补角即为异面直线AB与CD所成的角.
由余弦定理可知cs∠MPN=MP2+NP2-MN22·MP·NP=-12,所以∠MPN=120°,
所以异面直线AB与CD所成的角为60°.
5.C如图,取DC的中点F,连接EF,BF,DF,则EF∥AD,且EF=AD,
故四边形ADFE为平行四边形,所以DF∥AE,
所以∠FDB或其补角为AE与BD所成的角.
设AB=1,则AD=1,由勾股定理得BD=1+1=2,
DF=22,BF=1+12=62,
由余弦定理得cs∠FDB=DF2+BD2-FB22DF·BD=12+2-322×22×2=12,故∠FDB=π3,所以AE与BD所成的角为π3.
6.BC [解析] 对于A,∵AD∥CF,∴∠BAD或其补角为AB与CF所成的角,但∠BAD不一定是直角,A错误;对于B,由题意知▱ABED为菱形,则AE⊥BD,B正确;对于C,由题意知AB=BC=CA,则∠ABC=60°,C正确;对于D,由题意知▱ABED为菱形,则∠ADE∈(0°,180°),即∠ADE的大小无法确定,D错误.故选BC.
7.90° [解析] 取CD1的中点G,连接EG,DG.∵E是BD1的中点,∴EG∥BC,EG=12BC.∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,∴DF∥BC,DF=12BC,∴EG∥DF,EG=DF,∴四边形EFDG是平行四边形,∴EF∥DG,∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,∴四边形ABB1A1和四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,∴DG⊥CD1,∴∠D1GD=90°,∴异面直线CD1,EF所成的角为90°.
8.解:(1)如图,连接AC,AB1.由几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体,得AA1?CC1,所以四边形AA1C1C为平行四边形,所以AC∥A1C1,
所以∠B1CA或其补角即为异面直线A1C1与B1C所成的角.
因为AB1=AC=B1C,所以∠B1CA=60°,所以异面直线A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)证明:连接BD,由(1)知AC∥A1C1.
因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD,
在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥EF,
所以A1C1⊥EF.
9.证明:连接AN并延长交BC于E,连接PE,
∵BNBD=13,∴BNND=12.
∵AD∥BC,∴NEAN=BEAD=12,
即NEAE=13,∴PMPA=NEEA=13,∴MN∥PE.
又BEAD=12,BC=AD,∴E为BC的中点,
在正四棱锥中,PC=PB,∴PE⊥BC,
即PE⊥AD,∴MN⊥AD. 2024—2025学年下学期高一数学分层作业（34）
8.6.1直线与直线垂直