人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直教学演示ppt课件

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直教学演示ppt课件，共28页。PPT课件主要包含了空间直线的位置关系，位置关系，一异面直线的定义，二异面直线的判定，三异面直线所成的角，异面直线所成的角，直线与直线垂直，课堂练习，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b
平面与平面平行的性质定理
两个平行平面同时和第三个平面相交，它们的交线_____
——同一平面内,有且只有一个公共点
——同一平面内,没有公共点
—不能同在任何同一个平面内,没有公共点
异面直线无法放在任何一个平面内.
【定义】不同在任何同一平面内的两条直线叫做异面直线.
常用反证法证明两条直线是异面直线.
两条异面直线不相交,哪来的“角”?
如何规定两条异面直线所成的“角”?
例2　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心， 求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角.
解 (1)∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角. 在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°， ∴BE与CG所成的角为45°.
解 (2) 如图，连接FH，
∵FB∥AE且FB∥AE ，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，∴FO与BD所成的角为30°.
求两异面直线所成角的三个步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.
(2)证：证明作出的角就是要求的角.
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
【练1】在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30， E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
解　如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，
∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成的角为300，
∴∠EGF＝300或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝150，故EF与AB所成角的大小为150或75°.
例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O， 求证：AO⊥A1B.
证明 ∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴A1D1//BC， A1D1=BC
∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C，
∴直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角，
如图，连接AC，AD1，
又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C，∴AO⊥A1B.
要证两异面直线垂直，构造两异面直线所成的角.证明这个角是直角，即得两直线垂直.
【练2】如图,在正三棱柱ABC－A′B′C′中,E为棱AC的中点,AB＝BB＝2. 求证：BE⊥AC′.
证明　如图，取CC′的中点F，连接EF，BF，
∵E为AC的中点，F为CC′的中点，
∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角为∠BEF，
在正三棱柱ABC－A′B′C′中，
在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，
∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.
1.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的 直线有 （ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解 和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，故选B.
2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是 DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是
A.90° B.60° C.45° D.30°
解 如图，连接B1G，
B1F2＝B1G2＋FG2.
∴∠FGB1＝90°，
即异面直线A1E与GF所成的角为90°.
∵A1E∥B1G，∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角或其补角.
3.如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边中点，G，H，I，J分别为 AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角 的度数为 （ ） A.90° B.60° C.45° D.0°
解　将三角形折成三棱锥，如图所示，GH与IJ为异面直线， 三棱锥A－DEF中,IJ∥AD,GH∥DF, 所以∠ADF即为所求， 因此GH与IJ所成角为60°.
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的 正切值为( )
解 如图，连接BE，∵AB∥CD，
∴AB2＋BE2＝AE2，∴AB⊥BE，
∴异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，∠EAB(或其补角).
不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，
5.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120， 则BD与AC所成角的度数为______.
解　依题意知，EG∥BD，EF∥AC， 所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角， 又∠GEF＝120°， 所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
6.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN 所成的角为__ .
解 如图所示，连接BC1，AD1，
∵MN∥BC1∥AD1，
∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1.
∵△ACD1是等边三角形，∴∠D1AC＝60°.
即异面直线AC和MN所成的角为60°.
解 如图，延长DO交底面圆于点E，连接BE，CE，
由AB，DE均为圆的直径知AD∥BE，且AD＝BE,
所以∠CBE即为异面直线AD与BC所成的角或其补角.
所以∠CBE＝60°.
8.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点， 并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝_____.
解　如图，取AD的中点P，连接PM，PN，
则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，
9.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点. 求证：CD1⊥EF.
证:如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.
∴四边形EFDG是平行四边形，
又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，
又G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，∴CD1⊥EF.
解　如图所示，连接CD1，AC.
∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1所成的角，
∵A1B⊥AD1，即异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
∴∠AD1C＝90°.
又易知AD1＝D1C，∴△ACD1是等腰直角三角形，
KE TANG XIAO JIE
(1)平面内两直线的夹角.(2)异面直线所成的角.(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直.
2.方法归纳：转化与化归.
3.易错点：容易忽视异面直线所成角θ的范围是00<θ≤90°.
课本P148 练习1,2,3,4