人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直公开课教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直公开课教案，共11页。教案主要包含了类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，设计意图等内容，欢迎下载使用。

教学设计
本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第八章《立体几何初步》的第六节《空间直线、平面的垂直》。以下是本节的课时安排：
前面已经掌握了线线垂直和线面垂直，本节借助学生已有知识继续研究线面垂直，是对前面内容的继续。
1.掌握直线与平面垂直性质定理并能运用其解决相关问题,培养逻辑推理的核心素养 ；
2. 理解直线到平面的距离以及两平行平面的距离定义，提升数学抽象的核心素养。
1.重点：直线与平面平行的性质定理；直线到平面的距离以及两平行平面的距离。
2.难点：能运用直线与平面垂直性质定理解决相关问题。
（一）新知导入
如图是马路旁的路灯灯柱,若将灯柱看作一条直线,地面看作平面,灯柱所在直线与地面所在平面有何位置关系?
【问题】灯柱所在的直线间是什么位置关系?
【提示】灯柱所在的直线都是平行的.
（二）直线与平面垂直
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
(2)图形语言：
(3)符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(4)作用：①线面垂直⇒线线平行；②作平行线．
【拓展】直线与平面垂直的其他性质：
(1)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就垂直于这个平面内的任意一条直线；
(2)两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面；
(3)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面；
(4)垂直于同一条直线的两个平面平行．
【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.( )
(2)若直线a⊥平面α，直线a⊥直线b，则直线b∥平面α.( )
答案： (1)√ (2)×
【做一做】△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则不重合的直线l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行D．不确定
【解析】∵直线l⊥AB，l⊥AC，且AB∩AC＝A，
∴l⊥平面α，同理直线m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.
答案：C
知识点二 点面距、线面距与面面距
(1)过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
(3)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面之间的距离．
【做一做】若直线AB∥平面α，且点A到平面α的距离为2，则点B到平面α的距离为________.
答案：2
（三）典型例题
1.直线与平面垂直的性质
例1.如图所示，正方体A1B1C1D1­ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．
求证：EF∥BD1.
【证明】如图所示：
连接AB1，B1D1，B1C，BD.
∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.
又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C.又B1C∩AC＝C，
∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
【类题通法】应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目的，即线面垂直的性质提供了线线平行的依据．
【巩固练习1】在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD，
求证：l∥AE.
【证明】∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又∵AE⊂平面PAD，∴AE⊥DC.
又∵AE⊥PD，PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD.
又∵l⊥平面PCD，∴AE∥l.
2.点面距、线面距与面面距
例2. 已知△ABC，AC＝BC＝1，AB＝eq \r(2)，又已知S是△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝eq \r(5)，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离．
【解】如图所示，连接PA，PB.易知△SAC，△ACB是直角三角形，所以SA⊥AC，BC⊥AC.
取AB、AC的中点E、F，连接PF，EF，PE，则EF∥BC，PF∥SA.
所以EF⊥AC，PF⊥AC.
因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF.
又PE⊂平面PEF，所以PE⊥AC.
易证△SAC≌△SBC.因为P是SC的中点，所以PA＝PB.而E是AB的中点，所以PE⊥AB.
因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.从而PE的长就是点P到平面ABC的距离．
在Rt△AEP中，AP＝eq \f(1,2)SC＝eq \f(\r(5),2)，AE＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(\r(2),2)，所以PE＝eq \r(AP2－AE2)＝ eq \r(\f(5,4)－\f(1,2))＝eq \f(\r(3),2)，
即点P到平面ABC的距离为eq \f(\r(3),2).
【类题通法】 求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段．可通过外形进行转化，转化为易于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法．线面距、面面距都可以转化为点面距。
【巩固练习2】在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，BB1＝2.
(1)求异面直线B1C1与A1C所成角的正切值．
(2)求直线B1C1与平面A1BC的距离．
【解】(1)因为B1C1∥BC，所以∠A1CB(或其补角)是异直线B1C1与A1C所成的角．
因为BC⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1＝B，
所以BC⊥平面ABB1，所以BC⊥A1B.
在Rt△A1BC中，tan∠A1CB＝eq \f(A1B,BC)＝eq \f(\r(5),1)＝eq \r(5)，
所以异面直线B1C1与A1C所成的角的正切值为eq \r(5).
(2)因为B1C1∥平面A1BC，所以B1C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离，设B1到平面A1BC的距离为d，因为VB1­A1BC＝VA1­BB1C，
所以eq \f(1,3)S△A1BC×d＝eq \f(1,3)S△B1BC×A1B1，可得d＝eq \f(2\r(5),5)，
直线B1C1与平面A1BC的距离为eq \f(2\r(5),5).
3.直线与平面位置关系的综合应用
例3.△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点．
求证：(1)DF∥平面ABC；
(2)AF⊥BD.
【证明】(1)如图，取AB的中点G，连接FG，CG，可得FG∥AE，FG＝eq \f(1,2)AE.
∵CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，
∴CD∥AE.
又∵CD＝eq \f(1,2)AE.∴FG∥CD，FG＝CD.
∵FG⊥平面ABC，∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG.
又∵CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC.
(2)在Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，F为BE中点，∴AF⊥BE.
∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，∴DF⊥AB.
又∵DF⊥FG，FG∩AB＝G，∴DF⊥平面ABE.
又∵AF⊂平面ABE.∴DF⊥AF.
∵BE∩DF＝F，∴AF⊥平面BDF.
又∵BD⊂平面BDF，∴AF⊥BD.
【类题通法】判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判定定理和性质定理，有时也可以放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)然后再判断它们的位置关系．
【巩固练习3】如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝eq \f(π,3)，AB＝2，PC＝2eq \r(7)，E，F分别是棱PC，AB的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)求三棱锥C­AEF的体积．
【解析】(1)证明：如图，取PD中点为G，连接EG，AG，
则EG∥CD，EG＝eq \f(1,2)CD，AF∥CD，AF＝eq \f(1,2)CD，
所以EG与AF平行且相等，所以四边形AGEF是平行四边形，
所以EF∥AG，AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
(2)解：连接AC，BD，交于点O，连接EO，因为E为PC的中点，所以EO为△PAC的中位线，
又因为PA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，即EO为三棱锥E­AFC的高．
在菱形ABCD中可求得AC＝2eq \r(3)，在Rt△PAC中，PC＝2eq \r(7)，所以PA＝eq \r(PC2－AC2)＝4，EO＝2，
所以S△ACF＝eq \f(1,2)S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×AB×BC×sin∠ABC＝eq \f(\r(3),2)，所以VC­AEF＝VE­ACF＝eq \f(1,3)S△ACF×EO＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×2＝eq \f(\r(3),3).
（四）操作演练 素养提升
1.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是( )
A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD
2.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
3.若a，b表示不同的直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为( )
①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
A．1 B．2 C．3 D．0
4.如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，则A1B1到平面D1EF的距离是________．
答案：1.C 2.A 3.B 4.eq \f(\r(5),5)

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第155页 练习 第1，2,3,4题
第162页 习题8.6 第1,2题










8.6空间直线、平面的垂直
课时内容
8.6.1直线与直线垂直
8.6.2直线与平面垂直
8.6.3平面与平面垂直
所在位置
教材第146页
教材第149页
教材第155页
新教材内容分析
本节内容是利用空间直线平行的传递性和等角定理，探究异面直线所成的角，渗透把立体图形的问题转化为平面图形问题来解决的转化思想.
直线与平面垂直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；这三类垂直问题的主线是类似的，都是以定义——判定——性质为主线，通过定理的探索过程，培养了学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务。
本节内容是空间平面与平面垂直，与研究直线与平面垂直一样，借助长方体模型，理解平面与平面平行的判定和性质定理。
核心素养培养
通过实物观察、抽象出异面直线夹角的定义，培养直观想象的核心素养；借助异面直线所成角及垂直关系的证明，培养数学运算与逻辑推理的核心素养.
通过学习直线与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养；通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养。
通过学习平面与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养；通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.
教学主线
垂直关系的相互转化