高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直教案配套ppt课件

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直教案配套ppt课件，共47页。PPT课件主要包含了自主预习·新知导学，合作探究·释疑解惑，思想方法，随堂练习等内容，欢迎下载使用。
自主预习·新知导学
一、二面角的定义【问题思考】1.修水坝时,为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角度,那么两平面形成角的大小如何确定?提示:可用二面角的平面角.
2.(1)定义:如图,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.(2)记法:棱为AB,面分别为α,β的二面角记作二面角α-AB-β .也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q .如果棱记作l,那么这个二面角记作二面角α-l-β或二面角P-l-Q .
(3)二面角的平面角:①定义:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.②直二面角:平面角是直角的二面角.③二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.
3.做一做:若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则l与平面AOB的位置关系是　　　　　. 答案:l⊥平面AOB
二、两平面垂直【问题思考】1.当两个平面互相垂直时,一个平面内一条直线垂直另一平面内任意一条直线吗?提示:不一定.
2.(1)一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)平面α与β垂直,记作 α⊥β .(3)如图,画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
3.做一做:过一点可以作　　　　　个平面与已知平面垂直. 答案:无数
三、平面与平面垂直的判定定理【问题思考】1.我们知道直三棱柱的侧棱垂直于底面,侧棱所在平面与底面垂直.当直线与已知平面垂直时,过此直线可作无数个平面,那么这些平面与已知平面有何关系?提示:垂直.
2.平面与平面垂直的判定定理
3.做一做:如图,在空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则图中互相垂直的平面有　　　　　　　　　　　　　　.答案:平面ABD⊥平面BCD,平面ACD⊥平面BCD
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的.( √ )(2)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关.( × )(3)若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β.( √ )(4)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线,那么α⊥β.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一 求二面角的大小
【例1】 已知四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.求:(1)二面角A-PD-C的平面角的度数;(2)二面角B-PA-D的平面角的度数;(3)二面角B-PA-C的平面角的度数.
解:(1)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形,∴CD⊥AD.∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,又CD⊂平面PCD,∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C的平面角为90°.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA.∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.由题意可得∠BAD=90°,∴二面角B-PA-D的平面角为90°.
(3)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°.即二面角B-PA-C的平面角为45°.
在本例中,二面角P-BC-D的平面角的度数又该如何求解?解:∵PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC.又BC⊥AB,且AB∩AP=A,∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB.∴∠PBA为二面角P-BC-D的平面角.在Rt△PAB中,AP=AB,∴∠PBA=45°.∴二面角P-BC-D的平面角为45°.
探究二 定义法证明平面与平面的垂直
【例2】 如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD, BE=2DF,AE⊥EC. 证明:平面AEC⊥平面AFC.
探究三 平面与平面垂直的判定定理
【例3】 如图所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.
证明:∵SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,∴SA=AB=AC,∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.已知△SBC为直角三角形,∴点A在平面SBC上的射影D为△SBC斜边BC的中点.如图,连接AD,则AD⊥平面SBC.又AD⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面SBC.
(1)证明:由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.因为DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又因为DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.因为DC1⊂平面BDC1,所以平面BDC1⊥平面BDC.
审题视角:(1)转化为证明线线垂直;(2)转化为证明线面垂直;(3)根据二面角的定义,利用线线垂直找二面角的平面角,求解即可.
(3)由(1)知PD⊥BC,∵BC⊥DC,且PD,DC为平面PDC内两条相交直线,∴BC⊥平面PDC.∵PC⊂平面PDC,∴BC⊥PC.则∠PCD为二面角P-BC-D的平面角.在Rt△PDC中,∵PD=DC=a,∴∠PCD=45°,即二面角P-BC-D的平面角的大小为45°.
【变式训练】 如图所示,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,点E在MB上,G,F分别为PB,PC的中点.求证:平面EFG⊥平面PDC.
证明:已知MA⊥平面ABCD,PD∥MA,所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形,所以BC⊥DC.又PD∩DC=D,所以BC⊥平面PDC.在△PBC中,因为G,F分别为PB,PC的中点,所以GF∥BC,因此GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PDC.
1.在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则必须具有的条件是(　　)A.AO⊥BO,AO⊂α,BO⊂βB.AO⊥l,BO⊥lC.AB⊥l,AO⊂α,BO⊂βD.AO⊥l,BO⊥l,且AO⊂α,BO⊂β答案:D
2.(多选题)在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中正确的是(　　)A.平面PAB⊥平面PADB.平面PAB⊥平面PBCC.平面PBC⊥平面PCDD.平面PCD⊥平面PAD答案:ABD
3.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一组条件是(　　)A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂βC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β解析:A中,α可能与β相交,也可能与β平行;B中,不一定α⊥β;C中,∵m∥n,n⊥β,∴m⊥β,又m⊂α,∴α⊥β;D中,α∥β.故选C.答案:C
解析:如图,连接AC,BD,AC与BD交于点O,连接VO,则VO⊥平面ABCD.取AB的中点E,连接VE,OE,则VE⊥AB,OE⊥AB,所以∠VEO是二面角V-AB-C的平面角.由题意得OE=1,VE=2,所以∠VEO=60°.答案:60°