高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直示范课课件ppt

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直示范课课件ppt，共39页。PPT课件主要包含了自主预习·新知导学，合作探究·释疑解惑，思想方法，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

自主预习·新知导学
一、平面与平面垂直的性质定理【问题思考】1.教室内的墙面所在的平面与地面所在的平面垂直.要在墙面上画一条直线与地面垂直,如何画?提示:只需在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可.
2.平面与平面垂直的性质定理
3.做一做:设l是直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是(　　)A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l∥α,l⊥β,则α⊥βC.若α⊥β,l⊥α,则l⊥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β解析:对于选项A,两平面可能平行也可能相交;对于选项C,直线l可能在β内也可能平行于β;对于选项D,直线l在β内或平行于β或与β相交.答案:B
二、直线、平面之间的位置关系的相互转化【问题思考】1.如何证明两个平面垂直?一般先证明什么?提示:要证明两个平面垂直,先证明线线垂直,再证明线面垂直,最后证明面面垂直.2.
3.做一做:如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a⊂β,a⊥AB,则直线a与直线l的位置关系是　　　　　. 解析:∵EA⊥α,平面α∩平面β=l,即l⊂α,∴l⊥EA.同理l⊥EB.∵EA∩EB=E,∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β,a⊂平面β,∴EB⊥a.又a⊥AB,EB∩AB=B,∴a⊥平面EAB,∴a∥l.答案:平行
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)两个平面垂直,则经过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在第一个平面内.( √ )(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( × )(3)两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线垂直于第三个平面.( √ )(4)若直线a⊥平面α,直线a⊥直线b,则直线b∥平面α.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一 平面与平面垂直的性质定理
【例1】 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点,求证:(1)BG⊥平面PAD;(2)AD⊥PB.
证明:(1)如图,连接BD.∵四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,∴△ABD是正三角形.∵G为AD中点,∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,BG⊂平面ABCD,∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)知BG⊥AD.连接PG.∵△PAD为正三角形,G为AD的中点,∴PG⊥AD.又PG∩BG=G,∴AD⊥平面PBG.∵PB⊂平面PBG,∴AD⊥PB.
探究二 平面与平面垂直的性质定理的应用
【例2】 如图,边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,AD与CE的交点为M,AC⊥BC,且AC=BC.(1)求证:AM⊥平面EBC.(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值.
(1)证明:∵平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,BC⊥AC,∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE,∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形,∴AM⊥CE.又BC∩CE=C,BC,CE⊂平面EBC,∴AM⊥平面EBC.
(2)解:如图,取AB的中点F,连接CF,EF.∵EA⊥AC,平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,∴EA⊥平面ABC.∵CF⊂平面ABC,∴EA⊥CF.又AC=BC,∴CF⊥AB.∵EA∩AB=A,∴CF⊥平面AEB,∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角.
面面垂直的性质定理的实质是由面面垂直得到线面垂直,故可用来证明线面垂直,最后可得线线垂直.
【变式训练1】 如图,在三棱锥P-ABC中,E,F分别为AC,BC的中点.(1)求证:EF∥平面PAB;(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°.求证:平面PEF⊥平面PBC.
证明:(1)∵E,F分别为AC,BC的中点,∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB.(2)∵PA=PC,E为AC的中点,∴PE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,∴PE⊥平面ABC,∴PE⊥BC.∵∠ABC=90°,且EF∥AB,∴BC⊥EF.∵EF∩PE=E,∴BC⊥平面PEF.又BC⊂平面PBC,∴平面PEF⊥平面PBC.
探究三 直线与平面垂直、平面与平面垂直的综合应用
【例3】 如图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC, AE⊥平面PBC,E为垂足.(1)求证:PA⊥平面ABC;(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.
证明:(1)如图,在平面ABC内任取一点D,过点D作DF⊥AC,垂足为F;过点D作DG⊥AB,垂足为G.∵平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC,∴DF⊥PA.同理可证DG⊥PA.∵DG∩DF=D,∴PA⊥平面ABC.
(2)如图,连接BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心,∴PC⊥BH.又AE是平面PBC的垂线,∴PC⊥AE.∵BH∩AE=E,且BH,AE⊂平面ABE,∴PC⊥平面ABE,∴PC⊥AB.又PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB.∵PA∩PC=P,∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.
(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.证明:①当点D在平面ABC内时,因为AC=BC,AD=BD,所以点C,D都在线段AB的垂直平分线上,即AB⊥CD.②当点D不在平面ABC内时,由(1)知DE⊥AB.因为AC=BC,所以AB⊥CE.又因为在平面CDE内,DE,CE为两条相交直线,所以AB⊥平面CDE.由CD⊂平面CDE,得AB⊥CD.综上所述,总有AB⊥CD.
转化思想在线线、线面、面面垂直中的应用【典例】 已知α,β,γ是三个不同的平面,l为直线,α⊥γ,β⊥γ, α∩β=l.求证:l⊥γ.审题视角:根据直线和平面垂直的判定定理,可在γ内构造两相交直线分别与平面α,β垂直;或者由面面垂直的性质易在α,β内作出平面γ的垂线,再设法证明l与其平行即可.
证法一:在平面γ内任取一点P,作PA垂直α与γ的交线于点A,PB垂直β与γ的交线于点B.∵α⊥γ,β⊥γ,∴PA⊥α,PB⊥β.∵α∩β=l,∴l⊥PA,l⊥PB.又PA∩PB=P,且PA⊂γ,PB⊂γ,∴l⊥γ.证法二:在平面α内作直线m垂直于α与γ的交线,在β内作直线n垂直于β与γ的交线.∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ.∴m∥n.又n⊂β,m⊄β,∴m∥β.又m⊂α,α∩β=l,∴m∥l.∴l⊥γ.
1.线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想,其转化关系如下:
2.平行与垂直的转化:直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系,如证法二.
【变式训练】 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PAB,四边形ABCD为矩形,PA=AB,E,F分别为PC,PB的中点.证明:平面DEF⊥平面PBC.
证明:因为平面ABCD⊥平面PAB,平面ABCD∩平面PAB=AB,CB⊂平面ABCD,且CB⊥AB,所以CB⊥平面ABP.因为E,F分别为PC,PB的中点,所以EF∥CB,所以EF⊥平面ABP.因为PB⊂平面ABP,所以EF⊥PB.连接AF.因为EF∥CB∥AD,所以A,D,E,F四点共面.因为PA=AB,F为PB的中点,所以PB⊥AF.又因为AF∩EF=F,所以PB⊥平面DEF.因为PB⊂平面PBC,所以平面DEF⊥平面PBC.
1.已知平面α⊥平面β,直线a⊥β,则(　　)A.a⊂αB.a∥αC.a⊥αD.a⊂α或a∥α答案:D
2.已知平面α,β,γ,则下列命题中是真命题的为(　　)A.若α⊥β,β⊥γ,则α∥γB.若α∥β,β⊥γ,则α⊥γC.若α∩β=a,β∩γ=b,α⊥β,β⊥γ,则a⊥bD.若α⊥β,α∩β=a,a⊥b,则b⊥α解析:A中α,γ还可能相交;C中,a与b不一定垂直;D中b仅垂直于α内的一条直线a,不能判定b⊥α.答案:B
3.在四面体A-BCD中,AB⊥AD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD⊥平面BCD,M为AB的中点,则线段CM的长为　　　. 
解析:如图所示,取BD的中点O,连接OA,OC.因为AB=AD=BC=CD=1,所以OA⊥BD,OC⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD,且交线为BD,所以OA⊥平面BCD.
取OB的中点N,连接MN,CN,则MN∥OA,所以MN⊥平面BCD,从而MN⊥CN.