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初中数学沪科版九年级上册21.2 二次函数的图象和性质教案配套ppt课件
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这是一份初中数学沪科版九年级上册21.2 二次函数的图象和性质教案配套ppt课件，共42页。
1.(一题多解)(2024安徽安庆宿松期中)若抛物线y=x2+bx+c经 过A(-2,6),B(8,6)两点,则抛物线的对称轴为 ( )A.直线x=5 B.直线x=3C.直线x=1 D.直线x=-1
解析 解法一:∵抛物线y=x2+bx+c经过A(-2,6),B(8,6)两点, ∴这两点关于抛物线的对称轴对称,∴抛物线的对称轴为直 线x= =3,故选B.解法二:将(-2,6)、(8,6)代入函数表达式y=x2+bx+c,得 解得 所以函数表达式为y=x2-6x-10=(x-3)2-19,所以对称轴为直线x=3,故选B.
方法归纳 抛物线对称轴的确定当抛物线上两点的纵坐标相等时,如(x1,b),(x2,b),则该抛物线 的对称轴为直线x= .
2.(教材变式·P21T4)(2024安徽阜阳界首期中)将抛物线y=-2x2-4x先向右平移2个单位,再向下平移3个单位得到的抛物线的表达式是 ( )A.y=-2(x-1)2+3 B.y=-2(x+1)2+3C.y=-2(x-1)2-1 D.y=-2(x-1)2+1
解析 ∵y=-2x2-4x=-2(x2+2x+1-1)=-2(x+1)2+2,∴将抛物线y= -2x2-4x先向右平移2个单位,再向下平移3个单位得到的抛物 线的解析式是y=-2(x-2+1)2+2-3,即y=-2(x-1)2-1.故选C.
3.(2024安徽合肥四十八中期中)点(m,n)在二次函数y=-x2+3 的图象上,则m+n的最大值是(M9121002)( )A.3 B.2 C. D.
4.(配方法)(2023山东泰安中考)二次函数y=-x2-3x+4的最大值 是 .
5.(新考向·开放性试题)(2023上海中考)一个二次函数y=ax2+ bx+c图象的顶点在y轴正半轴上,且其对称轴左侧的部分是 上升的,那么这个二次函数的表达式可以是 .(写出一个即可)
解析 由题意得b=0,a<0,c>0,∴这个二次函数的表达式可以 是y=-x2+1.答案不唯一.
6.(新独家原创)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=b2x2+2b2x+ c上,且x1”“<”或
“=”)(M9121002)
7.(新考向·开放性试题)(2024河南信阳平桥月考)我们知道研 究函数问题,一般先观察函数解析式,然后画出函数图象,再 通过观察函数图象总结函数的性质,最后利用函数模型解决 实际问题.已知二次函数y= x2-6x+21,按照要求回答问题.(M9121002)(1)画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线,请按照以上 步骤在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象;
(2)请观察你所画的函数图象,写出3条该函数的性质;(3)请你针对该函数再设计一个问题,并解答...
解析 (1)列表:
描点、连线,画出函数图象如图. (2)①该函数图象开口方向向上;②顶点坐标是(6,3);③当x<6时,y随x的增大而减小;当x>6时,y随x的增大而增大.
答案不唯一.(3)答案不唯一,如求当0
解析 ∵二次函数图象的开口向上,对称轴在y轴的右侧, ∴a>0,x=- >0,∴b<0,∴P(a,b)在第四象限.故选D.
9.(2023安徽蚌埠怀远期末)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象 与y轴正半轴相交,其顶点坐标为 ,下列结论:①abc<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正确的有 个.
解析 ①∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线与y轴正半轴相 交,∴c>0,∵对称轴在y轴的右侧,∴b>0,∴abc<0,故①正确;② ∵抛物线的对称轴为x= ,∴x=- = ,∴a+b=0,故②正确;③∵抛物线顶点的纵坐标为1,∴ =1,∴4ac-b2=4a,故③正确;④∵a+b=0,c>0,∴a+b+c>0,故④错误.故正确的是①②③.
10.(2024安徽六安霍邱月考,6, )若抛物线y=x2-mx+m+3(m是常数)的顶点在x轴上,则m的值为 ( )A.-2 B.6 C.-2或6 D.-6或2
解析 抛物线y=x2-mx+m+3的顶点的纵坐标为 ,∵顶点在x轴上,∴纵坐标为0,∴4(m+3)-m2=0,解得m=-2或m=6,故选C.
11.(易错题)(2023四川乐山中考,9, )如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0)、B(m,0),且10;③0y2.其中,正确的结论有(M9121002)( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解析 ∵抛物线开口向上,∴a>0.∵抛物线的对称轴在y轴的 右侧,∴b<0,故①正确.∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c< 0.∵抛物线经过点A(-1,0),∴a-b+c=0,∴c=b-a.∵当x=2时,y> 0,∴4a+2b+c>0,∴4a+2b+b-a>0,∴3a+3b>0,∴a+b>0,故②正 确.∵a-b+c=0,∴a+c=b.∵b<0,∴a+c<0,∴0
解析 本题将常规的求平移后的抛物线的表达式的问题,改 成平移后的抛物线过原点,求平移单位的问题,较新颖.抛物 线y=x2+6x+9=(x+3)2向下平移1个单位长度后,得到的抛物线 的表达式为y=(x+3)2-1.设抛物线向右平移h个单位长度后,得 到的新抛物线经过原点,则新抛物线的表达式为y=(x+3-h)2- 1.∵新抛物线经过原点,∴当x=0时,y=0,∴(3-h)2-1=0,解得h=2 或4.
13.(安徽常考·双空题)(2021安徽中考改编,14, )设抛物线y=x2+(a+1)x+a,其中a为实数.(M9121002)(1)若抛物线经过点(-1,m),则m= ;(2)将抛物线y=x2+(a+1)x+a向上平移2个单位,所得抛物线顶 点的纵坐标的最大值是 .
解析 (1)将点(-1,m)代入抛物线表达式y=x2+(a+1)x+a,得(-1)2+(a+1)×(-1)+a=m,解得m=0.(2)将抛物线y=x2+(a+1)x+a向上平移2个单位可得抛物线y=x2 +(a+1)x+a+2,∴y= - (a-1)2+2,∴设抛物线顶点的纵坐标n=- (a-1)2+2,∵- <0,∴n的最大值为2.
14.(2023山东东营中考改编,25, )如图,抛物线y=ax2+bx+c过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上.设B(t,0),当t=2时,BC=4.(M9121002)(1)求抛物线的表达式.(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时,求抛物线平移的距离.
解析 (1)当t=2时,BC=4,∴C点的坐标为(2,-4),由题意得,将(0,0),(10,0),(2,-4)代入y=ax2+bx+c,得 解得 ∴抛物线的表达式为y= x2- x.(2)∵四边形ABCD为矩形,∴CD∥AB,DA⊥x轴,CB⊥x轴,由 抛物线的对称性得AE=OB=t,
∴AB=10-2t.当x=t时,点C的纵坐标为 t2- t,∴矩形ABCD的周长=2(AB+BC)=2· =- t2+t+20=- (t-1)2+ ,∵- <0,∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值为 .(3)如图,连接AC,BD相交于点P,连接OC,取OC的中点Q,连接 PQ,
∵t=2,∴B(2,0),∴A(8,0).∵BC=4,∴C(2,-4).∵直线GH平分矩形ABCD的面积,∴直线GH过点P.由平移的性质可知,四边形OCHG是平行四边形,∴PQ=CH,∵四边形ABCD是矩形,∴点P是AC的中点.∴P(5,-2),∴PQ= OA,
∵OA=8,∴CH=PQ= OA=4,∴抛物线向右平移的距离是4个单位.
15.(新考向·新定义试题)已知关于x的函数y,当t≤x≤t+1时, 函数y的最大值为P,最小值为Q,令函数g= ,则称函数g为函数y的“关联函数”.(1)若y=x+1,t=0,求函数y的“关联函数”g的值;(2)若y=x2-2x+k.①当k=1,t≤0时,求函数y的“关联函数”g的最小值;②当函数y的“关联函数”g的值为 时,求t的值.
解析 (1)∵y=x+1,t=0,∴当0≤x≤1时,P=1+1=2,Q=0+1=1,∴g= = .(2)①当k=1时,y=x2-2x+1=(x-1)2,当x>1时,y随x的增大而增大,当x≤1时,y随x的增大而减小,∵t≤0,∴t+1≤1,∴当x=t+1时,Q=(t+1-1)2=t2,当x=t时,P=(t-1)2,∴g= = = =-t+ ,
∵t≤0,∴当t=0时,g有最小值,为 ,∴函数y的“关联函数”g的最小值是 .②y=x2-2x+k=(x-1)2+k-1,∴对称轴是直线x=1,分三种情况:i.当t+1≤1,即t≤0时,y随x的增大而减小,在t≤x≤t+1中,P=t2-2t+k,Q=(t+1-1)2+k-1=t2+k-1,
∴g= = = ,解得t= (舍);ii.当t≥1时,y随x的增大而增大,在t≤x≤t+1中,Q=t2-2t+k,P=(t+1-1)2+k-1=t2+k-1,∴g= = = ,解得t= (舍);iii.当t<1
A B C D
2.(2021广东深圳中考)二次函数y=ax2+bx+1与一次函数y=2 ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( ) A B C D
3.(2024安徽淮北月考)一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx +c在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) A B C D
1.(一题多解)(2024安徽安庆宿松期中)若抛物线y=x2+bx+c经 过A(-2,6),B(8,6)两点,则抛物线的对称轴为 ( )A.直线x=5 B.直线x=3C.直线x=1 D.直线x=-1
解析 解法一:∵抛物线y=x2+bx+c经过A(-2,6),B(8,6)两点, ∴这两点关于抛物线的对称轴对称,∴抛物线的对称轴为直 线x= =3,故选B.解法二:将(-2,6)、(8,6)代入函数表达式y=x2+bx+c,得 解得 所以函数表达式为y=x2-6x-10=(x-3)2-19,所以对称轴为直线x=3,故选B.
方法归纳 抛物线对称轴的确定当抛物线上两点的纵坐标相等时,如(x1,b),(x2,b),则该抛物线 的对称轴为直线x= .
2.(教材变式·P21T4)(2024安徽阜阳界首期中)将抛物线y=-2x2-4x先向右平移2个单位,再向下平移3个单位得到的抛物线的表达式是 ( )A.y=-2(x-1)2+3 B.y=-2(x+1)2+3C.y=-2(x-1)2-1 D.y=-2(x-1)2+1
解析 ∵y=-2x2-4x=-2(x2+2x+1-1)=-2(x+1)2+2,∴将抛物线y= -2x2-4x先向右平移2个单位,再向下平移3个单位得到的抛物 线的解析式是y=-2(x-2+1)2+2-3,即y=-2(x-1)2-1.故选C.
3.(2024安徽合肥四十八中期中)点(m,n)在二次函数y=-x2+3 的图象上,则m+n的最大值是(M9121002)( )A.3 B.2 C. D.
4.(配方法)(2023山东泰安中考)二次函数y=-x2-3x+4的最大值 是 .
5.(新考向·开放性试题)(2023上海中考)一个二次函数y=ax2+ bx+c图象的顶点在y轴正半轴上,且其对称轴左侧的部分是 上升的,那么这个二次函数的表达式可以是 .(写出一个即可)
解析 由题意得b=0,a<0,c>0,∴这个二次函数的表达式可以 是y=-x2+1.答案不唯一.
6.(新独家原创)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=b2x2+2b2x+ c上,且x1
7.(新考向·开放性试题)(2024河南信阳平桥月考)我们知道研 究函数问题,一般先观察函数解析式,然后画出函数图象,再 通过观察函数图象总结函数的性质,最后利用函数模型解决 实际问题.已知二次函数y= x2-6x+21,按照要求回答问题.(M9121002)(1)画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线,请按照以上 步骤在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象;
(2)请观察你所画的函数图象,写出3条该函数的性质;(3)请你针对该函数再设计一个问题,并解答...
解析 (1)列表:
描点、连线,画出函数图象如图. (2)①该函数图象开口方向向上;②顶点坐标是(6,3);③当x<6时,y随x的增大而减小;当x>6时,y随x的增大而增大.
答案不唯一.(3)答案不唯一,如求当0
解析 ∵二次函数图象的开口向上,对称轴在y轴的右侧, ∴a>0,x=- >0,∴b<0,∴P(a,b)在第四象限.故选D.
9.(2023安徽蚌埠怀远期末)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象 与y轴正半轴相交,其顶点坐标为 ,下列结论:①abc<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正确的有 个.
解析 ①∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线与y轴正半轴相 交,∴c>0,∵对称轴在y轴的右侧,∴b>0,∴abc<0,故①正确;② ∵抛物线的对称轴为x= ,∴x=- = ,∴a+b=0,故②正确;③∵抛物线顶点的纵坐标为1,∴ =1,∴4ac-b2=4a,故③正确;④∵a+b=0,c>0,∴a+b+c>0,故④错误.故正确的是①②③.
10.(2024安徽六安霍邱月考,6, )若抛物线y=x2-mx+m+3(m是常数)的顶点在x轴上,则m的值为 ( )A.-2 B.6 C.-2或6 D.-6或2
解析 抛物线y=x2-mx+m+3的顶点的纵坐标为 ,∵顶点在x轴上,∴纵坐标为0,∴4(m+3)-m2=0,解得m=-2或m=6,故选C.
11.(易错题)(2023四川乐山中考,9, )如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0)、B(m,0),且1
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解析 ∵抛物线开口向上,∴a>0.∵抛物线的对称轴在y轴的 右侧,∴b<0,故①正确.∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c< 0.∵抛物线经过点A(-1,0),∴a-b+c=0,∴c=b-a.∵当x=2时,y> 0,∴4a+2b+c>0,∴4a+2b+b-a>0,∴3a+3b>0,∴a+b>0,故②正 确.∵a-b+c=0,∴a+c=b.∵b<0,∴a+c<0,∴0
解析 本题将常规的求平移后的抛物线的表达式的问题,改 成平移后的抛物线过原点,求平移单位的问题,较新颖.抛物 线y=x2+6x+9=(x+3)2向下平移1个单位长度后,得到的抛物线 的表达式为y=(x+3)2-1.设抛物线向右平移h个单位长度后,得 到的新抛物线经过原点,则新抛物线的表达式为y=(x+3-h)2- 1.∵新抛物线经过原点,∴当x=0时,y=0,∴(3-h)2-1=0,解得h=2 或4.
13.(安徽常考·双空题)(2021安徽中考改编,14, )设抛物线y=x2+(a+1)x+a,其中a为实数.(M9121002)(1)若抛物线经过点(-1,m),则m= ;(2)将抛物线y=x2+(a+1)x+a向上平移2个单位,所得抛物线顶 点的纵坐标的最大值是 .
解析 (1)将点(-1,m)代入抛物线表达式y=x2+(a+1)x+a,得(-1)2+(a+1)×(-1)+a=m,解得m=0.(2)将抛物线y=x2+(a+1)x+a向上平移2个单位可得抛物线y=x2 +(a+1)x+a+2,∴y= - (a-1)2+2,∴设抛物线顶点的纵坐标n=- (a-1)2+2,∵- <0,∴n的最大值为2.
14.(2023山东东营中考改编,25, )如图,抛物线y=ax2+bx+c过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上.设B(t,0),当t=2时,BC=4.(M9121002)(1)求抛物线的表达式.(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时,求抛物线平移的距离.
解析 (1)当t=2时,BC=4,∴C点的坐标为(2,-4),由题意得,将(0,0),(10,0),(2,-4)代入y=ax2+bx+c,得 解得 ∴抛物线的表达式为y= x2- x.(2)∵四边形ABCD为矩形,∴CD∥AB,DA⊥x轴,CB⊥x轴,由 抛物线的对称性得AE=OB=t,
∴AB=10-2t.当x=t时,点C的纵坐标为 t2- t,∴矩形ABCD的周长=2(AB+BC)=2· =- t2+t+20=- (t-1)2+ ,∵- <0,∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值为 .(3)如图,连接AC,BD相交于点P,连接OC,取OC的中点Q,连接 PQ,
∵t=2,∴B(2,0),∴A(8,0).∵BC=4,∴C(2,-4).∵直线GH平分矩形ABCD的面积,∴直线GH过点P.由平移的性质可知,四边形OCHG是平行四边形,∴PQ=CH,∵四边形ABCD是矩形,∴点P是AC的中点.∴P(5,-2),∴PQ= OA,
∵OA=8,∴CH=PQ= OA=4,∴抛物线向右平移的距离是4个单位.
15.(新考向·新定义试题)已知关于x的函数y,当t≤x≤t+1时, 函数y的最大值为P,最小值为Q,令函数g= ,则称函数g为函数y的“关联函数”.(1)若y=x+1,t=0,求函数y的“关联函数”g的值;(2)若y=x2-2x+k.①当k=1,t≤0时,求函数y的“关联函数”g的最小值;②当函数y的“关联函数”g的值为 时,求t的值.
解析 (1)∵y=x+1,t=0,∴当0≤x≤1时,P=1+1=2,Q=0+1=1,∴g= = .(2)①当k=1时,y=x2-2x+1=(x-1)2,当x>1时,y随x的增大而增大,当x≤1时,y随x的增大而减小,∵t≤0,∴t+1≤1,∴当x=t+1时,Q=(t+1-1)2=t2,当x=t时,P=(t-1)2,∴g= = = =-t+ ,
∵t≤0,∴当t=0时,g有最小值,为 ,∴函数y的“关联函数”g的最小值是 .②y=x2-2x+k=(x-1)2+k-1,∴对称轴是直线x=1,分三种情况:i.当t+1≤1,即t≤0时,y随x的增大而减小,在t≤x≤t+1中,P=t2-2t+k,Q=(t+1-1)2+k-1=t2+k-1,
∴g= = = ,解得t= (舍);ii.当t≥1时,y随x的增大而增大,在t≤x≤t+1中,Q=t2-2t+k,P=(t+1-1)2+k-1=t2+k-1,∴g= = = ,解得t= (舍);iii.当t<1
A B C D
2.(2021广东深圳中考)二次函数y=ax2+bx+1与一次函数y=2 ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( ) A B C D
3.(2024安徽淮北月考)一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx +c在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) A B C D
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