初中数学21.2 二次函数的图象和性质一等奖教学设计

这是一份初中数学21.2 二次函数的图象和性质一等奖教学设计，共17页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观等内容，欢迎下载使用。

21．2　二次函数的图象和性质
第1课时　二次函数y＝ax2的图象和性质
教学目标
【知识与技能】
使学生会用描点法画出函数y＝ax2的图象，理解并掌握抛物线的有关概念及其性质．
【过程与方法】
使学生经历探索二次函数y＝ax2的图象及性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验，培养学生分析、解决问题的能力．
【情感、态度与价值观】
使学生经历探索二次函数y＝ax2的图象和性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质．
重点难点
【重点】
使学生理解抛物线的有关概念及性质，会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象．
【难点】
用描点法画出二次函数y＝ax2的图象以及探索二次函数的性质．
教学过程
一、问题引入
1．一次函数的图象是什么？反比例函数的图象是什么？
(一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线．)
2．画函数图象的一般步骤是什么？
一般步骤：(1)列表(取几组x，y的对应值)；(2)描点(根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y))；(3)连线(用平滑曲线)．
3．二次函数的图象是什么形状？二次函数有哪些性质？
(运用描点法作二次函数的图象，然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质．)
二、新课教授
【例1】　画出二次函数y＝x2的图象．
解：(1)列表中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值．
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)描点：根据上表中x，y的数值在平面直角坐标系中描点(x，y)．
(3)连线：用平滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝x2的图象，如图所示．

观察二次函数y＝x2的图象，思考下列问题：
(1)二次函数y＝x2的图象是什么形状？
(2)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
(3)图象有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？
师生活动：
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2的图象，通过数形结合解决上面的3个问题．
学生动手画图，观察、讨论并归纳，积极展示探究结果，教师评价．
函数y＝x2的图象是一条关于y轴(x＝0)对称的曲线，这条曲线叫做抛物线．实际上二次函数的图象都是抛物线．二次函数y＝x2的图象可以简称为抛物线y＝x2.
由图象可以看出，抛物线y＝x2开口向上；y轴是抛物线y＝x2的对称轴：抛物线y＝x2与它的对称轴的交点(0，0)叫做抛物线的顶点，它是抛物线y＝x2的最低点．实际上每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点．
【例2】　在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2及y＝2x2的图象．
解：分别填表，再画出它们的图象．
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝x2
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…

x
…
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y＝2x2
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…

思考：函数y＝x2、y＝2x2的图象与函数y＝x2的图象有什么共同点和不同点？
师生活动：
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2、y＝2x2的图象．
学生动手画图，观察、讨论并归纳，回答探究的思路和结果，教师评价．
抛物线y＝x2、y＝2x2与抛物线y＝x2的开口均向上，顶点坐标都是(0，0)，函数y＝2x2的图象的开口较窄，y＝x2的图象的开口较大．
探究1：画出函数y＝－x2、y＝－x2、y＝－2x2的图象，并考虑这些图象有什么共同点和不同点．


师生活动：
学生在平面直角坐标系中画出函数y＝－x2、y＝－x2、y＝－2x2的图象，观察、讨论并归纳．
教师巡视学生的探究情况，若发现问题，及时点拨．
学生汇报探究的思路和结果，教师评价，给出图形．
抛物线y＝－x2、y＝－x2、y＝－2x2开口均向下，顶点坐标都是(0，0)，函数y＝－2x2的图象开口最窄，y＝－x2的图象开口最大．
探究2：对比抛物线y＝x2和y＝－x2，它们关于x轴对称吗？抛物线y＝ax2和y＝－ax2呢？
师生活动：
学生在平面直角坐标系中画出函数y＝x2和y＝－x2的图象，观察、讨论并归纳．
教师巡视学生的探究情况，发现问题，及时点拨．
学生汇报探究思路和结果，教师评价，给出图形．
抛物线y＝x2、y＝－x2的图象关于x轴对称．一般地，抛物线y＝ax2和y＝－ax2的图象也关于x轴对称．
教师引导学生小结(知识点、规律和方法)．
一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．当a>0时，抛物线y＝ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，当a越大时，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向下，顶点是抛物线的最高点，当a越大时，抛物线的开口越大．
从二次函数y＝ax2的图象可以看出：如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小．
三、课堂小结
1．二次函数y＝ax2的图象过原点且关于y轴对称，自变量x的取值范围是一切实数．
2．二次函数y＝ax2的性质：抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．当a>0时，抛物线y＝x2开口向上，顶点是抛物线的最低点，当a越大时，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线y＝ax2开口向下，顶点是抛物线的最高点，当a越大时，抛物线的开口越大．
3．二次函数y＝ax2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来．
第2课时　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
教学目标
【知识与技能】
使学生能利用描点法作出函数y＝ax2＋k的图象．
【过程与方法】
让学生经历二次函数y＝ax2＋k的性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋k的性质及它与函数y＝ax2的关系，培养学生观察、分析、猜测并归纳、解决问题的能力．
【情感、态度与价值观】
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神．
重点难点
【重点】
会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解函数y＝ax2＋k与函数y＝ax2的相互关系．
【难点】
正确理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的关系．
教学过程
一、问题引入
1．二次函数y＝2x2的图象是________，它的开口向________，顶点坐标是________，对称轴是________，在对称轴的左侧，y随x的增大而________；在对称轴的右侧，y随x的增大而________．函数y＝ax2在x＝________时，取最________值，其最________值是________．
2．抛物线y＝x2＋1，y＝x2－1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么？
3．抛物线y＝x2＋1，y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？
二、新课教授
问题1：对于前面提出的第2、3个问题，你将采取什么方法加以研究？
(画出函数y＝x2＋1、y＝x2－1和函数y＝x2的图象，并加以比较．)
问题2：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝x2＋1与y＝x2的图象吗？
师生活动：
学生回顾画二次函数图象的三个步骤，按照画图的步骤画出函数y＝x2＋1、y＝x2的图象，观察、讨论并归纳．
教师写出解题过程，与学生所画的图象进行比较，帮助学生纠正错误．
解：(1)列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y＝x2＋1
…
10
5
2
1
2
5
10
…
(2)描点：用表格中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．
(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝x2和y＝x2＋1的图象．

问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
师生活动：
教师引导学生观察上表并思考，当x依次取－3、－2、－1、0、1、2、3时，两个函数的函数值之间有什么关系？
学生观察、讨论、归纳得：当自变量x取同一数值时，函数y＝x2＋1的函数值比函数y＝x2的函数值大1.
教师引导学生观察函数y＝x2和函数y＝x2＋1的图象，先研究点(－1，1)和点(－1，2)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，1)和点(1，2)的位置关系．
学生观察、讨论、归纳得：反映在图象上，函数y＝x2＋1的图象上的点都是由函数y＝x2的图象上的相应点向上移动了一个单位．
问题4：函数y＝x2＋1和y＝x2的图象有什么联系？
学生由问题3的探索可以得到结论：函数y＝x2＋1的图象可以看成是将函数y＝x2的图象向上平移一个单位得到的．
问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？
生：函数y＝x2＋1与函数y＝x2的图象开口方向相同、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)．
问题6：你能由函数y＝x2＋1的图象得到函数y＝x2＋1的一些性质吗？
生：当x<0时，函数值y随x的增大而减小；当x>0时，函数值y随x的增大而增大；当x＝0时，函数取得最小值，最小值是y＝1.
问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2＋1与函数y＝2x2－1的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别．
师生活动：
教师在学生画函数图象的同时，巡视指导．
学生动手画图，观察、讨论、归纳．
解：先列表：
x
…
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y＝2x2＋1
…
9
5.5
3
1.5
1
1.5
3
5.5
9
…
y＝2x2－1
…
7
3.5
1
－0.5
－1
－0.5
1
3.5
7
…
然后描点画图，得y＝2x2＋1，y＝2x2－1的图象．

教师让学生发表意见，归纳为：函数y＝2x2＋1与函数y＝2x2－1的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同．函数y＝2x2－1的图象可以看成是将函数y＝2x2＋1的图象向下平移两个单位得到的．
问题8：你能说出函数y＝x2－1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及这个函数的性质吗？
师生活动：
教师让学生观察y＝x2－1的图象．
学生动手画图，观察、讨论、归纳．
学生分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言．最后归纳总结：函数y＝x2－1的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，－1)；当x<0时，函数值y随x的增大而减小；当x>0时，函数值y随x的增大而增大；当x＝0时，函数取得最小值，最小值为y＝－1.
三、课堂小结
1．函数y＝ax2(a≠0)和函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，把y＝ax2的图象沿y轴向上(当k>0时)或向下(当k<0时)平移|k|个单位就得到函数y＝ax2＋k的图象．
2．抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的性质．
(1)抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，k)．
(2)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限伸展；
当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限伸展．
(3)当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．这时，当x＝0时，y有最小值k.
当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．这时，当x＝0时，y有最大值k.
第3课时　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
教学目标
【知识与技能】
使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象．
【过程与方法】
让学生经历探究二次函数y＝a(x－h)2性质的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系，培养学生观察、分析、猜测、归纳解决问题的能力．
【情感、态度与价值观】
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神．
重点难点
【重点】
会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系．
【难点】
理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系．
教学过程
一、问题引入
1．抛物线y＝2x2＋1、y＝2x2－1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么？
2．二次函数y＝－(x＋1)2的图象与二次函数y＝－x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗？这两个函数的图象之间有什么关系？
二、新课教授
问题1：你将用什么方法来研究问题引入2提出的问题？
(画出二次函数y＝－(x＋1)2和二次函数y＝－x2的图象，并加以观察．)
问题2：你能在同一直角坐标系中画出二次函数y＝－x2与y＝－(x＋1)2的图象吗？
师生活动：
教师引导学生作图，巡视、指导．
学生在直角坐标系中画出图形．
教师对学生的作图情况作出评价，指正错误，出示正确的图形．
解：(1)列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝－x2
…
－
－2
－
0
－
－2
－
…
y＝－(x＋1)2
…
－2
－
0
－
－2
－
－8
…
(2)描点：用表格中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点；
(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝－x2和y＝－(x＋1)2的图象．

问题3：当函数值y取同一数值时，这两个函数的自变量之间有什么关系？反映在图象上，相应的两点之间的位置又有什么关系？
师生活动：
教师引导学生观察上表，当y依次取0、－、－2、－时，两个函数的自变量之间有什么关系？
学生归纳得到，当函数值取同一数值时，函数y＝－(x＋1)2的自变量比函数y＝－x2的自变量小1.
教师引导学生观察函数y＝－(x＋1)2和函数y＝－x2的图象，先研究点(－1，－)和点(0，－)、点(－1，0)和点(0，0)、点(1，－2)和点(2，－2)的位置关系．
学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝－(x＋1)2的图象上的点都是由函数y＝－x2的图象上的相应点向左移动了一个单位．
问题4：函数y＝－(x＋1)2和y＝－x2的图象有什么联系？
学生由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝－(x＋1)2的图象可以看成是将函数y＝－x2的图象向左平移一个单位得到的．
问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？
学生观察两个函数的图象得：函数y＝－(x＋1)2的图象开口方向向下，对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，0)；函数y＝－x2的图象开口方向向下，对称轴是直线x＝0，顶点坐标是(0，0)．
问题6：你能由函数y＝－(x＋1)2的图象得到函数y＝－(x＋1)2的一些性质吗？
生：当x>－1时，函数值y随x的增大而减小；当x<－1时，函数值y随x的增大而增大；当x＝－1时，函数取得最大值，最大值y＝0.
问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y＝－(x－1)2与函数y＝－x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别．
师生活动：
教师在学生画函数图象的同时，巡视指导．
学生画图并仔细观察，细心研究．
教师让学生发表意见，归纳为：函数y＝－(x－1)2与函数y＝－x2的图象的开口方向相同，对称轴、顶点坐标不同．函数y＝－(x－1)2的图象可以看成是将函数y＝－x2的图象向右平移一个单位得到的．

问题8：你能说出函数y＝－(x－1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及这个函数的性质吗？
师生活动：
教师引导学生观察y＝－(x－1)2的图象，并引导学生思考其性质．
学生分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：函数y＝－(x－1)2的图象的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标是(1，0)．当x<1时，函数值y随x的增大而增大；当x>1时，函数值y随x的增大而减小；当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝0.
三、课堂小结
结论如下：
1．函数y＝ax2(a≠0)和函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，把y＝ax2的图象沿x轴向左(当h<0时)或向右(当h>0时)平移|h|个单位就得到y＝a(x－h)2的图象．
2．抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的性质．
(1)抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的对称轴是x＝h，顶点坐标是(h，0)．
(2)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限伸展；
当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限伸展．
(3)当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当x＝h时，y有最小值．
当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；当x＝h时，y有最大值．
第4课时　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
教学目标
【知识与技能】
使学生理解并掌握函数y＝a(x－h)2＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的关系；会确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【过程与方法】
让学生经历函数y＝a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解并掌握函数y＝a(x－h)2＋k的性质，培养学生观察、分析、猜测、归纳并解决问题的能力．
【情感、态度与价值观】
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
重点难点
【重点】
确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y＝a(x－h)2＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的关系，理解函数y＝a(x－h)2＋k的性质．
【难点】
正确理解函数y＝a(x－h)2＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的关系以及函数y＝a(x－h)2＋k的性质．
教学过程
一、问题引入
1．函数y＝x2＋1的图象与函数y＝x2的图象有什么关系？
(函数y＝x2＋1的图象可以看成是将函数y＝x2的图象向上平移一个单位得到的．)
2．函数y＝－(x＋1)2的图象与函数y＝－x2的图象有什么关系？
(函数y＝－(x＋1)2的图象可以看成是将函数y＝－x2的图象向左平移一个单位得到的．)
3．函数y＝－(x＋1)2－1的图象与函数y＝－x2的图象有什么关系？函数y＝－(x＋1)2－1有哪些性质？
(函数y＝－(x＋1)2－1的图象可以看作是将函数y＝－x2的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到的，开口向下，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标是(－1，－1)．)
二、新课教授
问题1：你能画出函数y＝－x2，y＝－(x＋1)2，y＝－(x＋1)2－1的图象吗？
师生活动：
教师引导学生作图，巡视，指导．
学生在直角坐标系中画出图形．
教师对学生的作图情况作出评价，指正其错误，出示正确图形．
解：(1)列表：
x
y＝－x2
y＝－(x＋1)2
y＝－(x＋1)2－1
…
…
…
…
－3
－
－2
－3
－2
－2
－
－
－1
－
0
－1
0
0
－
－
1
－
－2
－3
2
－2
－
－
3
－
－8
－9
…
…
…
…
(2)描点：用表格中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点；
(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝－x2，y＝－(x＋1)2，y＝－(x＋1)2－1的图象．

问题2：观察图象，回答下列问题．
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝－x2
向下
x＝0
(0，0)
y＝－(x＋1)2
向下
x＝－1
(－1，0)
y＝－(x＋1)2－1
向下
x＝－1
(－1，－1)
问题3：从上表中，你能分别找到函数y＝－(x＋1)2－1，y＝－(x＋1)2与函数y＝－x2的图象之间的关系吗？
师生活动：
教师引导学生认真观察上述图象．
学生分组讨论，让各组代表发言，达成共识．
教师对学生回答错误的地方进行纠正，补充．
函数y＝－(x＋1)2－1的图象可以看成是将函数y＝－(x＋1)2的图象向下平移1个单位得到的．
函数y＝－(x＋1)2的图象可以看成是将函数y＝－x2的图象向左平移1个单位得到的．
故抛物线y＝－(x＋1)2－1是由抛物线y＝－x2沿x轴向左平移1个单位长度得到抛物线y＝－(x＋1)2，再将抛物线y＝－(x＋1)2向下平移1个单位得到的．
除了上述平移方法外，你还有其他的平移方法吗？
师生活动：
教师引导学生积极思考，并适当提示．
学生分组讨论，让各组代表发言，达成共识．
教师对学生回答错误的地方进行纠正，补充．
抛物线y＝－(x＋1)2－1是由抛物线y＝－x2向下平移1个单位长度得到抛物线y＝－x2－1，再将抛物线y＝－x2－1向左平移1个单位得到的．
问题4：你能发现函数y＝－(x＋1)2－1有哪些性质吗？
师生活动：
教师组织学生讨论，互相交流．
学生分组讨论，让各组代表发言，达成共识．
教师对学生回答错误的地方进行纠正，补充．
当x<－1时，函数值y随x的增大而增大；当x>－1时，函数值y随x的增大而减小；当x＝－1时，函数取得最大值，最大值y＝－1.
三、典型例题
【例】　如图(1)，要修建一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心 3 m，水管应多长？

师生活动：
教师组织学生讨论、交流，如何将文字语言转化为数学语言．
学生积极思考、解答．指名板演，教师讲评．
解：如图(2)建立的直角坐标系中，点(1，3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数关系式是y＝a(x－1)2＋3(0≤x≤3)．
由这段抛物线经过点(3，0)可得0＝a(3－1)2＋3，
解得a＝－，因此y＝－(x－1)2＋3(0≤x≤3)，
当x＝0时，y＝2.25，也就是说，水管的长应为2.25 m.
四、课堂小结
本节知识点如下：
一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上(或下)向左(或右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.平移的方向和距离要根据h、k的值来确定．
抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：
(1)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；
(2)对称轴是x＝h；
(3)顶点坐标是(h，k)．
第5课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
教学目标
【知识与技能】
使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象的方法．
【过程与方法】
使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标的方法；让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解并掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．
【情感、态度与价值观】
鼓励学生思维多样性，发展学生的创新意识．
重点难点
【重点】
用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标．
【难点】
理解并掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标．
教学过程
一、问题引入
1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
(函数y＝－4(x－2)2＋1的图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，1)．)
2．函数y＝－4(x－2)2＋1的图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系？
(函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的．)
3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质？
(当x<2时，函数值y随x的增大而增大；当x>2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1.)
二、新课教授
问题1：我们知道，像y＝a(x－h)2＋k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点坐标为(h，k)，二次函数y＝x2－6x＋21也能化成这样的形式吗？
师生活动：
教师引导学生回忆二次函数y＝a(x－h)2＋k的相关性质及配方知识．
学生积极回忆二次函数y＝a(x－h)2＋k的相关性质及配方知识．
学生积极展示探究结果，教师评价．
配方可得：
y＝x2－6x＋21
＝(x－6)2＋3
由此可知，抛物线y＝x2－6x＋21的顶点坐标是(6，3)，对称轴是x＝6.
问题2：你能画出二次函数y＝x2－6x＋21的图象吗？
分析：由以上问题的解决，我们已经知道函数y＝x2－6x＋21＝(x－6)2＋3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．根据这些特点，可以采用描点作图的方法作出函数y＝x2－6x＋21的图象，通过观察图象进而得到这个函数的性质．
师生活动：
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2－6x＋21的图象．
学生回忆画图的步骤，动手画图，相互比较．
教师对学生的作品进行评价，对于画得好的学生要加以鼓励，激发学生的学习热情．
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值：
x
…
3
4
5
6
7
8
9
…
y
…

5

3

5

…
(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点；
(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝x2－6x＋21的图象．
与同学分享作图过程．

说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝6，以6为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值．相应的函数值是相等的；
(2)直角坐标系中，x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同．要根据具体问题选取适当的长度单位，使画出的图象美观．
问题3：观察函数y＝x2－6x＋21的图象，它具有哪些性质？
师生活动：
教师引导学生观察二次函数y＝x2－6x＋21的图象．
学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识．
对函数y＝x2－6x＋21来说：
当x<6时，函数值y随x的增大而减小；
当x>6时，函数值y随x的增大而增大；
当x＝6时，函数取得最小值，最小值y＝3.
问题4.以上介绍的都是给出一个具体的二次函数来研究它的图象与性质．那么，对于任意一个二次函数y＝ax2＋bz＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标呢？你能把结果写出来吗？
师生活动：
教师留给学生足够的思考、探究时间．
学生联系上述处理问题的办法，试着对y＝ax2＋bx＋c进行配方．
师生共同完成配方过程，分享成功．
y＝ax2＋bx＋c
＝a(x2＋x)＋c
＝a[x2＋x＋()2－()2]＋c
＝a[x2＋x＋()2]＋c－
＝a(x＋)2＋
当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．
对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，)．
三、课堂小结
因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－，顶点的坐标是(－，)．
第6课时　二次函数表达式的确定
教学目标
【知识与技能】
使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式的方法；使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式的方法．
【过程与方法】
体会数学在生活中的作用，培养学生的动手操作能力．

【情感、态度与价值观】
让学生体验二次函数的关系式的应用，提高学生对数学重要性的意识．
重点难点
【重点】
已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2＋bx＋c的关系式．
【难点】
已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式．根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式．
教学过程
一、问题引入
1．一次函数的表达式是什么？如何求出它的表达式？
(一次函数的表达式y＝kx＋b，只需知道一次函数图象上两个点的坐标，利用待定系数法求出系数k、b.)
2．已知二次函数图象上的几个点的坐标，可以求出这个二次函数的表达式？
本节课我们来研究用待定系数法求二次函数的表达式．(板书)
二、新课教授
问题1：如果一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，能求出这个二次函数的表达式吗？如果能，求出这个二次函数的表达式．
解：设所求二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.由已知函数图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，得到关于a、b、c的三元一次方程组

解这个方程组，得：a＝2，b＝－3，c＝5.
所求二次函数的表达式是y＝2x2－3x＋5.
归纳1：求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式，关键是求出a、b、c的值．由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组，求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式．
问题2：已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式．
分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x－h)2＋k的形式称为顶点式，(h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为：y＝a(x－8)2＋9，由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值．
归纳2：如果知道抛物线的顶点坐标(h，k)，可设函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，只需要再找一个条件求出a的值即可．
三、典型例题
【例1】　有一个二次函数，当x＝0时，y＝－1；当x＝－2时，y＝0；当x＝时，y＝0.求这个二次函数的表达式．
解：设所求二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，根据题意，得解方程组，得a＝1，b＝，c＝－1.
答：所求二次函数的表达式为y＝x2＋x－1.
【例2】　已知抛物线的对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式．
解：设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)2＋k，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到：解这个方程组，得
所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5.
【例3】　抛物线y＝x2－4x＋8与直线y＝x＋1交于B、C两点．
(1)在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线；
(2)记抛物线的顶点为A，求△ABC的面积．
解：(1)如图，画出直线y＝x＋1与抛物线y＝x2－4x＋8.

(2)由y＝x2－4x＋8＝(x－4)2得点A的坐标为(4，0)．
解方程组
得B、C两点的坐标分别为B(2，2)、C(7，4.5)．
过B、C两点分别作x轴的垂线，垂足分别为B1、C1，则S△ABC＝S梯形BB1C1C－S△ABB1－S△ACC1
＝(BB1＋CC1)B1C1－AB1·BB1－AC1·CC1
＝(2＋4.5)×5－×2×2－×3×4.5 ＝7.5.
四、课堂小结
1．求二次函数的关系式，常见的有几种类型？
两种类型：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其顶点坐标是(h，k)．
2．如何确定二次函数的关系式？
让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件．在具体解题时，应根据具体的已知条件灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解．