人教B版数学高一必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 单元测试能力卷

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班级________ 姓名________ 学号________ 分数________第一章 集合与常用逻辑用语（能力卷）（时间：120分，满分：150分）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2023春·湖北·高二统考期末）已知集合，，，则集合C中元素的个数为（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】由列举法列出集合的所有元素，即可得答案.【详解】因为，，所以或或或，故，即集合中含有个元素；故选：C.2．（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）若集合的所有子集个数是，则的取值是（    ）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分析可知，集合有且只有一个元素，分、两种情况讨论，在第一种情况下直接验证即可，在第二种情况下，由求出的值，综合即可得解.【详解】因为集合的所有子集个数是，则集合有且只有一个元素，①当时，即当时，则，合乎题意；②当时，即当时，则关于的方程只有一个实数解，则，解得.综上所述，或.故选：D.3．（2023春·山西大同·高一校考阶段练习）已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当时，命题为真命题，当时，需，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】命题为真命题等价于不等式有解．当时，不等式变形为，则，符合题意；当时，，解得；当时，总存在，使得；综上可得实数的取值范围为．故选：B4．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）下列命题的否定是真命题的是（    ）A．B．菱形都是平行四边形C．，一元二次方程没有实数根D．平面四边形，其内角和等于360°【答案】C【分析】对A，特称命题的否定为全称命题，由，计算即可判断真假；对B，全称命题的否定为特称命题，再由菱形与平行四边形的关系即可判断真假；对C，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；对D，由四边形的内角和计算即可判断原命题为真，特称命题的否定为全称命题为假命题．【详解】对于A，，，其否定为：，，由时，，则原命题为真命题，其否定为假命题，故A不正确；对于B，每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形，原命题为真命题，其否定为假命题，故B不正确；对于C，，一元二次方程没有实根，其否定为：，一元二次方程有实根，由，可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故C正确；对于D，平面四边形，其内角和等于360°为真命题，命题的否定为假命题，故D不正确；故选：C.5．（2021·高一单元测试）对于集合，定义，，设，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.【详解】集合，，则，，由定义可得：且，且，所以，选项 ABD错误，选项C正确.故选：C．6．（2022秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】因为，则，则，又因为表示不大于的最大整数，所以不等式的解集为：，因为所求的时不等式成立的充分不必要条件，所以只要求出不等式解集的一个非空真子集即可，选项中只有⫋.故选：B.7．（2023春·四川成都·高一校联考期末）下面有四个命题：①；②若，则；③若不属于，则a属于；④若，则其中真命题的个数为（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据子集概念判断①，由元素与集合关系判断②③，化简集合A,B判断④.【详解】①由子集概念知正确；②因为，所以，故错误；③当时，，，故错误；④因为，所以，故错误.故选：B8．（2023·江苏苏州·校联考三模）记方程①：，方程②：，方程③：，其中是正实数.若成等比数列，则“方程③无实根”的一个充分条件是（    ）A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根【答案】B【分析】根据判别式以及充分条件的定义逐项分析.【详解】由题意，，其中；对于A，如果有实根，则，如果有实根，则，有可能大于等于，则，即有可能大于等于0，即由①②不能推出③无实根，A不是充分条件；对于B，有，则必有，即，方程无实根，所以B是③无实根的充分条件；对于C，有，，方程③有实根，C不是方程③无实根的充分条件；对于D，有，q的值不确定，有可能小于，也有可能大于，不能保证方程③无实根，例如，则，，所以D不是方程③无实根的充分条件；故选：B.二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ）A． B．0 C．1 D．5【答案】ABD【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值.【详解】由已知方程得：，解得：且；由得：；若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：，此时的解为，满足题意；②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；由得：，，此时方程另一根为，满足题意；③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；由得：，，此时方程另一根为，满足题意；综上所述：或或.故选：ABD10．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）下列结论正确的是（    ）A．“”是“”的充分不必要条件B．“”是“”的必要不充分条件C．“，有”的否定是“，使”D．“是方程的实数根”的充要条件是“”【答案】ACD【分析】根据不等式的范围判断A；根据交集的概念判断B；全称量词命题的否定是存在量词命题判断C；将1代入方程求解判断D.【详解】对于A，因为，所以或，所以“当”时，“”成立，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，正确；对于B，“”一定有“”成立，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，错误；对于C，命题“，有”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，即“，使”，正确；对于D，当时，1为方程的一个根，故充分；当方程有一个根为1时，代入得，故必要，正确；故选：ACD11．（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）已知集合，，若，则实数的取值可以是（    ）A．0 B．1 C． D．【答案】AC【分析】分和两种情况讨论集合中的原式，即可求解.【详解】当时，，满足条件，当时，若，则，无解，若，则，无解，若，则，无解，若，则，得，综上可知，或，只有AC符合条件.故选：AC12．（2022秋·江苏泰州·高一校考阶段练习）若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（   ）A．1 B． C．3 D．【答案】AB【分析】求出二次函数的对称轴为，分别对和进行分类讨论，即可得到答案【详解】解：二次函数的对称轴为，①若即，如图，由图像可知当时随的增大而增大，且时，即满足题意；②若时，如图，由图像可知的最小值在对称轴处取得，则时，，解得，此时，，综上，，故选：AB．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知集合，或.若，则实数的取值范围是 ．【答案】或【分析】根据题意，若，则，分情况讨论，进而求解，得出答案．【详解】已知集合，或.若，则，当，即时，满足条件；当时，即当时，若，则或，解得（舍）或，综上，实数的取值范围是或.故答案为：或.14．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 ．【答案】【分析】分别解得和的解集A，B，再根据“”是“”的充分非必要条件，由真包含于求解.【详解】由，解得，记，由，解得，记，∵“”是“”的充分非必要条件，∴真包含于，即，解得.故答案为：15．（2023·全国·高一专题练习）已知集合中有8个子集，则的一个值为 .【答案】4或9（写出一个即可）【分析】由题意可知，集合中有三个元素，则有三个因数，即可求出的值.【详解】集合中有8个子集，由知，集合中有三个元素，则有三个因数，因为，，除1和它本身外，还有1个，所以的值可以为4，9.故答案为：4或9（写出一个即可）16．（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）若命题“”为真命题，则实数a的取值范围为 .【答案】【分析】根据全称命题的定义和性质结合不等式进行求解即可.【详解】命题“”为真命题，则有判别式，解得.故答案为：.四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）设函数，集合(1)证明:.(2)当时，求.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）按与分类讨论，结合集合包含关系的定义推理作答.（2）根据给定条件，结合韦达定理求出，再代入解方程作答.【详解】（1）当时，方程无实根，即无实根，，此时恒成立，又方程，即，，显然，而，因此方程无实根，，则，当时，任取，则，于是，即有，因此，所以。（2）由，得是方程的二根，由，解得，于是，方程，即，整理得，解得，所以.18．（2023春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）设集合，(1)若时，求，(2)若，求的取值范围.【答案】(1)，或(2)或【分析】（1）根据交集、补集和并集的概念可求出结果；（2）由得，再分类讨论是否为空集，根据子集关系列式可求出结果.【详解】（1）∵，，∴当时，则，所以，或，又，所以或.（2）∵， ∴，∴当时，则有，即，满足题意；当时，则有，即，可得，解得：.综上所述，的范围为或.19．（2023秋·高一单元测试）已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由交集、补集的运算求解即可；（2）转化为集合间关系后列式求解.【详解】（1）当时，，，则或,；（2）是非空集合，“”是“”的充分不必要条件，则是Q的真子集，所以且与不同时成立，解得，故a的取值范围是.20．（2023春·江西新余·高二统考期末）已知全集为实数集，集合，.  (1)若，求图中阴影部分的集合；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题图知，再根据已知及集合的交补运算求集合M即可.（2）讨论、，根据集合的包含关系列不等式组求参数范围.【详解】（1）解：时，，由图知，，因为，所以，所以.（2）当时，，解得，此时成立；当时，，解得，因为，所以，解得，所以；综上可得，实数的取值范围是.21．（2022秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）已知集合．(1)当时，求和；(2)请在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并解答.若__________，求实数的取值范围．注：若选择两个条件分别解答，则只按第一个解答计分．【答案】(1)，(2)答案见解析【分析】（1）根据交集和并集含义即可得到答案；（2）选择①：由题得，分和讨论即可；选择②：，分和讨论即可.【详解】（1），                                             当时，，                        ∴．（2）选择①：若，则，当时，，即；       当时，，即.          综上，实数的取值范围为.        选择②：若，当时，，即；                    当时，，解得，或，无实数解.   综上，实数的取值范围为.22．（2020秋·陕西榆林·高二校考期中）已知集合，，命题，命题.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据元素和集合的关系列式可求出结果；（2）根据且是的真子集列式，解不等式组可得结果.【详解】（1），且，∴，解得.即实数的取值范围是.（2），得或，由，得，，是的充分不必要条件，∴是的真子集，所以（等号不能同时取得），解得，又或，所以.实数的取值范围是.