人教B版高中数学必修第一册第1章1-1-3第1课时交集与并集学案

这是一份人教B版高中数学必修第一册第1章1-1-3第1课时交集与并集学案，共15页。

1.1.3　集合的基本运算第1课时　交集与并集某班有学生20人，他们的学号分别是1，2，3，…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的学生读过新书a，学号是3的倍数的学生读过新书b．问题　(1)同时读了a，b两本书的学生有哪些？(2)至少读过一本书的学生有哪些？知识点1　交集1．若两集合没有公共元素，则两集合的交集是什么？[提示]　若两集合没有公共元素，则两集合的交集是空集，不能说A与B没有交集．2．若两个集合A，B的交集是空集，则两集合有什么特征？[提示]　若两个集合A，B的交集是空集，则两集合至少有一个是空集或者两集合虽不是空集，但是两集合没有公共元素．知识点2　并集3．集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？[提示]　不一定．A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．知识点3　并集与交集的运算性质1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)A∪B＝A∪C，则B＝C． (　　)(2)若A∩B＝∅，则A，B均为空集． (　　)(3)A，B中分别有3个元素，则A∪B中必有6个元素． (　　)(4)若x∈A∩B，则x∈A∪B． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(2024·北京卷)已知集合M＝{x|－3－3}C．{x|－3a}，求A∩B．(1)D　[∵8＝3×2＋2，14＝3×4＋2，∴8∈A，14∈A，∴A∩B＝{8，14}，故选D．](2)[解]　如图所示，当a<－2时，A∩B＝A＝{x|－2≤x≤3}；当－2≤a<3时，A∩B＝{x|a－1．] 类型2　并集的运算【例2】　(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　)A．{0} B．{0，2}C．{－2，0} D．{－2，0，2}(2)(源自湘教版教材)求下列集合的并集：①A＝(1，3)，B＝[2，5]；②C＝[0，1]，D＝{x|x2<1}．(1)D　[M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}，故选D．](2)[解]　①A∪B＝(1，3)∪[2，5]＝(1，5]．②C∪D＝[0，1]∪{x|x2<1}＝[0，1]∪(－1，1)＝(－1，1]．　求集合并集的方法(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助维恩图写并集．(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集．(3)一个集合用描述法给出，另一个用列举法给出：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．[跟进训练]2．(1)(2022·浙江卷)设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝(　　)A．{2} B．{1，2}C．{2，4，6} D．{1，2，4，6}(2)若集合A＝(－∞，－1)，B＝(－2，2)，则A∪B＝________．(1)D　(2)(－∞，2)　[(1)A∪B＝{1，2，4，6}，故选D．(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝(－∞，2)．] 类型3　集合交、并运算的性质及综合应用【例3】　已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝A，求a的取值范围．[思路导引]　由于A∩B＝A，所以A⊆B．结合数轴分A＝∅与A≠∅两种情况分别求解．[解]　因为A∩B＝A，所以A⊆B．(1)若A＝∅，则2a>a＋3，所以a>3．(2)若A≠∅，如图所示，则有2a≤a+3，a+3<-1或2a≤a+3，2a>5，解得a<－4或5252．[母题探究](变条件)把本例条件“A∩B＝A”换成“A∩B＝∅”，如何求解？[解]　A∩B＝∅，A＝{x|2a≤x≤a＋3}．(1)若A＝∅，有2a>a＋3，所以a>3．(2)若A≠∅，如图所示．则有2a≥-1，a+3≤5，2a≤a+3，解得－12≤a≤2．综上所述，a的取值范围是a-12≤a≤2或a>3．　1．在利用集合的交集、并集性质解题时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况，切不可漏掉．2．集合运算常用的性质(1)A∪B＝B⇔A⊆B；(2)A∩B＝A⇔A⊆B；(3)A∩B＝A∪B⇔A＝B．[跟进训练]3．若集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，求满足条件的实数x的值．[解]　因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以x2＝x或x2＝3，解得x＝0或x＝1或x＝±3，经检验，x＝0，x＝±3符合要求．1．(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x|x＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝(　　)A．{x|0≤x＜2}B．x13≤x＜2C．{x|3≤x＜16}D．x13≤x＜16D　[M＝{x|0≤x＜16}，N＝xx≥13，故M∩N＝x13≤x＜16，故选D．]2．设集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则(A∩B)∪C＝(　　)A．{0}　　　　　　 B．{0，1，3，5}C．{0，1，2，4} D．{0，2，3，4}C　[因为集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，所以A∩B＝{1}，则(A∩B)∪C＝{0，1，2，4}．]3．设集合A＝{x|－35}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．[－3，－1)　[由题意A∪B＝R，在数轴上表示出A，B，如图所示，则a<-1，a+8≥5，解得－3≤a<－1．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．对交集概念你是怎样理解的？[提示]　(1)A∩B仍是一个集合，A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素，同时A与B的公共元素都属于A∩B．(2)“且”字的意义：A∩B中的元素既属于A，又属于B．(3)两个集合A与B没有公共元素不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅．2．对并集概念你是怎样理解的？[提示]　(1)A∪B仍是一个集合，A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成．(2)“或”字的意义：并集中的“或”与生活中的“或”字含义不同，生活中的“或”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定互相排斥．“x∈A或x∈B”包括三种情况，如图所示．x∈A，且x∉B　x∈A，且x∈B　x∉A，且x∈B(3)求集合A与B的并集时，公共元素只能算一次(元素的互异性)．3．本节课求参数时常见的解题误区是什么？[提示]　由交集、并集的关系求解参数时漏掉对空集的讨论产生错误．课时分层作业(四)　交集与并集一、选择题1．(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－53a－5，解得a<6；当A≠∅时，得2a+1≤3a-5，2a+1≥3，3a-5≤22，解得6≤a≤9．综上，使A⊆(A∩B)成立的a的取值范围是(－∞，9]．]13．某网店统计了连续三天售出商品种类的情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品最少有________种．16　29　[设第一天售出的商品为集合A，则A中有19个元素，第二天售出的商品为集合B，则B中有13个元素．由于前两天都售出的商品有3种，则A∩B中有3个元素．如图所示，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16(种)．前两天售出的商品为19＋13－3＝29(种)，当第三天售出的18种都是前两天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少，售出的商品最少为29种．]14．已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．(1)若A∩B＝A∪B，求a的值；(2)若∅(A∩B)，A∩C＝∅，求a的值．[解]　由已知得B＝{2，3}，C＝{2，－4}．(1)由于A∩B＝A∪B，所以A＝B，于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由根与系数的关系，得2+3=a，2×3=a2-19，解得a＝5，经检验，符合题意，从而a的值为5．(2)由于∅(A∩B)，所以2或3是方程x2－ax＋a2－19＝0的解．又A∩C＝∅，所以2，－4都不是方程x2－ax＋a2－19＝0的解．所以3是方程x2－ax＋a2－19＝0的解，则有9－3a＋a2－19＝0，所以a＝－2或a＝5．当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}与2∉A矛盾，所以a＝5舍去．当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意，所以a的值为－2．15．已知集合A＝{x|x2－(a＋3)x＋a2＝0}，B＝{x|x2－x＝0}，是否存在实数a，使A，B同时满足下列三个条件：①A≠B；②A∪B＝B；③∅(A∩B)？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．[解]　假设存在实数a使A，B满足题设条件，易知B＝{0，1}．因为A∪B＝B，所以A⊆B，即A＝B或AB．由条件①A≠B，知AB．又∅(A∩B)，所以A≠∅，即A＝{0}或{1}．当A＝{0}时，将x＝0代入方程x2－(a＋3)x＋a2＝0，得a2＝0，解得a＝0．经检验，当a＝0时，A＝{0，3}，与A＝{0}矛盾，舍去．当A＝{1}时，将x＝1代入方程x2－(a＋3)x＋a2＝0，得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2．经检验，当a＝－1时，A＝{1}，符合题意；当a＝2时，A＝{1，4}，与A＝{1}矛盾，舍去．综上所述，存在实数a＝－1，使得A，B满足条件．学习任务1．理解交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(数学抽象、数学运算)2．能使用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，感受图示对理解抽象概念的作用．(直观想象)并集的运算性质交集的运算性质A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝AA∩A＝AA∪∅＝∅∪A＝AA∩∅＝∅∩A＝∅如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立(x，y)y－10123x0(0，－1)(0，0)(0，1)(0，2)(0，3)1(1，－1)(1，0)(1，1)(1，2)(1，3)