人教B版高中数学必修第一册第1章1-2-3第2课时充要条件学案

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第2课时　充要条件主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“我临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，站起来一声不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．问题　请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．知识点　充要条件1．充要条件的概念一般地，如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”．2．充要条件的判断概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(1)如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件．(2)如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．(3)如果pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示]　(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q．(2)①p是q的充要条件，说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q，说明q是条件，p是结论．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立． (　　)(2)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件． (　　)(3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件． (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)√[提示]　(1)当p是q的充要条件时，p⇒q，且q⇒p，故说成q成立当且仅当p成立，这种说法正确．(2)若pq或qp，则p不是q的充分条件，或p不是q的必要条件，故此说法正确．(3)因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．2．已知集合A＝{x|a－2bc，q：a>b；③p：两直线平行，q：同位角相等；④p：设集合A＝{1，a2，－2}，B＝{2，4}，则A∩B＝{4}，q：a＝2．(1)BD　[由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．](2)[解]　①|x|<3⇒－3bca>b，a>bac>bc，所以p是q的既不充分也不必要条件．③两直线平行⇒同位角相等，同位角相等⇒两直线平行，所以p是q的充要条件．④A∩B＝{4}，则4∈A，a2＝4，a＝2或a＝－2，充分性不满足；a＝2时，A＝{1，4，－2}，因此有A∩B＝{4}，必要性满足，因此p是q的必要不充分条件．　判断充分条件、必要条件及充要条件的方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．(4)等价法：将命题转化为另一个等价且便于判断真假的命题，再去判断．[跟进训练]1．在下列四个结论中，正确的有(　　)①设x∈R，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③“a2>b2”是“a>b”的充分不必要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．A．①②　　B．③④　　C．①④　　D．②③C　[对于结论①，∵x>2⇒x>1，但x>1x>2，故①正确；对于结论④，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故④正确；对于结论②，当B＝90°或C＝90°时不能推出AB2＋AC2＝BC2，故②错误；对于结论③，a2>b2不一定推出a>b，故③错误．] 类型2　充分条件、必要条件、充要条件的应用【例2】　已知命题p：－2≤x≤10，命题q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．(1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．[解]　(1)因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp，即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以m>0，1-m<-2，1+m≥10或m>0，1-m≤-2，1+m>10，解得m≥9．所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．(2)设p代表的集合为A＝{x|－2≤x≤10}，q代表的集合为B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，因为p是q的必要不充分条件，所以BA，故有1-m≥-2，1+m<10或1-m>-2，1+m≤10，解得m≤3．又m>0，所以实数m的取值范围为(0，3]．　利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围的步骤(1)化简p，q两命题．(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系．(3)利用集合间的关系建立不等式(组)．(4)求解参数范围．[跟进训练]2．已知集合A＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，B＝x12≤x<2．(1)若m＝12，求A∩(∁RB)；(2)若x∈B是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围．[解]　(1)由B＝x12≤x<2，则∁RB＝xx<12或x≥2，若m＝12，则A＝x0≤x≤32，所以A∩(∁RB)＝x0≤x<12．(2)若x∈B是x∈A的必要条件，则A⊆B．当2m－1>m＋1时，即m>2时，A＝∅，符合题意；当2m－1≤m＋1时，即m≤2时，A≠∅，要满足A⊆B，可得12≤2m－1≤m＋1<2，解得34≤m<1．综上，实数m的取值范围为34，1∪(2，＋∞)． 类型3　有关充要条件的证明或求解【例3】　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．[证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0．①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0．②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b．∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0．故(x－1)(ax＋a＋b)＝0．∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．[母题探究](变条件)将本例的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”，“a＋b＋c＝0”改为“ac<0”，如何证明？[证明]　充分性：因为ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，方程ax2＋bx＋c＝0中有两个不等实根，由根与系数关系可知这两个根的积为ca<0，所以方程ax2＋bx＋c＝0(※)有一个正根和一个负根，所以ac<0⇒方程(※)有一个正根和一个负根．必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，由根与系数关系可知这两个根的积为ca<0，所以ac<0，所以方程(※)有一个正根和一个负根⇒ac<0．从而ac<0⇔方程(※)有一个正根和一个负根，因此ac<0是方程(※)有一个正根和一个负根的充要条件．　充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．提醒：证明时一定要注意，要从充分性和必要性两个方面进行，而且分清充分性与必要性的证明方向．[跟进训练]3．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2．[证明]　(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1x2＝1>0，所以x1，x2同号．又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2．(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，所以Δ=m2-4≥0，x1+x2=-m<0，即m≥2或m≤-2，m>0，所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件是m≥2．综上可知，m≥2是方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件．1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件 A　[当x＝1时，x2－2x＋1＝0．由x2－2x＋1＝0, 解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的充要条件．]2．王昌龄是唐代著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B　[“攻破楼兰”不一定会“返回家乡”，不充分；“返回家乡”了一定是“攻破楼兰”的前提下，必要．]3．在平面直角坐标系中，点(x，1－x)在第一象限的充要条件是________．{x|00，且1－x>0，∴06”是“a2>36”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A　[因为a>6⇒a2>36，所以“a>6”是“a2>36”的充分条件．因为a2>36⇒a>6或a<－6，所以“a>6”是“a2>36”的不必要条件．故选A．]3．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B　[根据题意得，AB，B⇒A，B⇔C，D⇒C，CD，所以D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，可从集合的角度考虑得出AD，所以A是D的必要不充分条件．]4．(多选)设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件可以是(　　)A．x>1　　B．x>2　　C．x≥2　　D．x>3AC　[由x>2，可得构成集合M＝{x|x>2}，结合选项，可得集合{x|x>1}，{x|x≥2}均真包含M，所以x>1与x≥2是x>2的一个必要不充分条件．]5．(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件B　[(法一)若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．(法二)因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系．又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．]二、填空题6．《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．则“有毛”是“有皮”的________．(将正确的序号填在横线上)①充分条件；②必要条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件．①　[由题意知，“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”，即“有毛”是“有皮”的充分条件，故填①．]7．若p：x－3<0是q：2x－33}　[由x－3<0得x<3，由2x－33，解得m>3．]8．已知2a－b＝3，则使得“m>－a2＋b＋1对任意的实数a，b恒成立”的一个充分不必要条件为________．(用含m的式子表示)m＝0(答案不唯一，满足m>－1均可)　[2a－b＝3，则b＝2a－3，所以－a2＋b＋1＝－a2＋2a－3＋1＝－a2＋2a－2＝－(a－1)2－1，所以a＝1时，－a2＋b＋1取得最大值为－1，因此m>－a2＋b＋1对任意的实数a，b恒成立的充要条件是m>－1，在此范围内任取一数均可．]三、解答题9．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．[解]　①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；若方程有两个负的实根，则必须满足1a>0，-1a<0，Δ=1-4a≥0⇒00)，q：实数x满足20，则a≤2，4a>5，得a≤2，a>54，得540}，是否存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________？[解]　选①，则A是B的真子集，则1－a≤0且1＋a≥4(两等号不同时取)，又a>0，解得a≥3，所以a存在，a的取值范围为{a|a≥3}．选②，则B是A的真子集，则1－a≥0且1＋a≤4(两等号不同时取)，又a>0，解得00，方程组无解，所以不存在满足条件的a．15．对于非零实数x，y有x>y，试探求1x<1y的充要条件，并加以证明．[解]　充要条件是xy>0，证明如下：必要性：由1x<1y，知x-yxy>0，又x>y，则x－y>0，所以xy>0．充分性：因为x>y，所以y－x<0．因为xy>0，所以1xy>0，所以y-xxy<0，即1x<1y．综上所述，对于非零实数x，y，当x>y时，1x<1y的充要条件是xy>0．学习任务1．理解充要条件的概念．(数学抽象)2．能够判定条件的充分、必要、充要性．(逻辑推理)3．会进行简单的充要条件的证明．(逻辑推理)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件