人教B版高中数学必修第一册第1章1-1-3第2课时补集学案

这是一份人教B版高中数学必修第一册第1章1-1-3第2课时补集学案，共16页。

第2课时　补集太阳系有8颗行星，即水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星．原来被认为是行星的冥王星在第26届国际天文联会通过的第5号决议中，被划为矮行星，并命名为小行星134 340号，从太阳系九大行星中被除名．在这8颗行星中，如果我们把名字中含有“王”的行星除去，还有几颗行星？如果我们用集合的眼光来看，上述问题可以转化为：若把太阳系的行星的集合作为U，把名字中含有“王”的行星的集合作为A，把名字中不含有“王”的行星的集合作为B，那么集合B中有几个元素？集合A，B，U之间有怎样的关系呢？知识点1　全集1．定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．2．记法：全集通常记作 U．全集一定是实数集R吗？[提示]　全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z．知识点2　补集1．补集补集是相对于全集而存在的，当全集变化时，补集也随之改变，所以在讨论一个集合的补集时，必须说明是在哪个集合中的补集．2．补集的运算性质[拓展]　由全集与补集的概念及维恩图，我们还可以得到补集的如下性质：(1)A⊆B⇔∁UB⊆∁UA．(2)A＝B⇔∁UA＝∁UB．(3)∁UU＝∅．(4)∁U∅＝U．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个集合的补集一定含有元素． (　　)(2)集合∁ZN与集合∁ZN+相等． (　　)(3)集合A与集合A在集合U中的补集没有公共元素． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√2．设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{x∈Z|11}，则∁RA＝________．{x|x≤1}　[∵A＝{x|x>1}，∴∁RA＝{x|x≤1}．] 类型1　补集的运算【例1】　(1)已知A＝{0，1，2}，∁UA＝{－3，－2，－1}，∁UB＝{－3，－2，0}，用列举法写出集合B．(2)若全集U＝{x|－3≤x≤3，x∈R}，A＝{x|－3≤x≤0或13}，求：(1)∁R(A∩B)；(2)∁R(A∪B)；(3)(∁RA)∩(∁RB)；(4)(∁RA)∪(∁RB)．[解]　(1)在数轴上表示出集合A，B(图①)，则A∩B＝{x|x<5}∩{x|x>3}＝{x|33}＝R，所以∁R(A∪B)＝∅．(3)在数轴上表示出集合∁RA，∁RB(如图②)，即∁RA＝{x|x≥5}，∁RB＝{x|x≤3}，所以(∁RA)∩(∁RB)＝{x|x≥5}∩{x|x≤3}＝∅．图②(4)由图②可知∁RA∪(∁RB)＝{x|x≥5}∪{x|x≤3}＝{x|x≤3或x≥5}．　1．求集合交、并、补运算的方法2．运算规律(1)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．(2)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)．[跟进训练]2．(1)(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝(　　)A．{1，3}　　　　　 B．{0，3}C．{－2，1} D．{－2，0}(2)集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁RB)＝(　　)A．{x|－1≤x<1} B．{x|－1≤x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|x<2}(1)D　(2)B　[(1)由题意，B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，所以A∪B＝{－1，1, 2，3}，所以∁U(A∪B)＝{－2，0}．故选D．(2)因为A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x>1}，所以∁RB＝{x|x≤1}，所以A∩(∁RB)＝{x|－1≤x≤1}．] 类型3　与补集有关的参数值的求解【例3】　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－21}B．{x|x<1}C．{x|x<1或x>1}D．{x|x>1}A　[因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}，所以∁UP＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x<1或x>1}．]2．设全集U＝{－3，－2，0，2，3}，A＝{－3，3}，B＝{x|(x－3)(x－2)＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　)A．{－3，2，3}　　　 B．{－3，－2，0，2}C．{3} D．{－2，0}D　[题图中阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B)．∵A＝{－3，3}，B＝{x|(x－3)(x－2)＝0}＝{2，3}，∴A∪B＝{－3，2，3}，又全集U＝{－3，－2，0，2，3}，∴题图中阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B)＝{－2，0}．]3．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝________．(－∞，0)∪[1，＋∞)　[因为∁UA＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．]4．已知全集U＝R，M＝{x|－1m}，若∁UA⊆B，则实数m的取值范围是________．{m|m<1}　[∵∁UA＝{x|x≥1}，B＝{x|x>m}，∴由∁UA⊆B可知m<1．]7．设全集为R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k6}B．∁UB＝{x|x<2或x≥5}C．A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2或5≤x<6}D．(∁UA)∪B＝{x|x<1或26}BC　[利用数轴表示出A和B，如图，则∁UA＝{x|x<1或32}C　[由于A∪(∁RB)＝R，则B⊆A，可知a≥2．故选C．]12．已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{4}，则A∪B＝(　　)A．{2，3，4} B．{2，3}C．{2，4} D．{3，4}A　[由(∁UA)∩B＝{2}，得2∈B，则22－5×2＋q＝0，得q＝6，所以B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}．同理，由(∁UB)∩A＝{4}，得4∈A，则42＋4p＋12＝0，得p＝－7，所以A＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3，4}．故A∪B＝{2，3，4}．]13．设集合U为全集，对集合X，Y，定义运算X*Y＝∁U(X∩Y)，若全集U＝R，X＝{x|1≤x≤3}，Y＝{x|23}　[由条件可知X∩Y＝{x|23}．]14．在①B⊆(∁RA)，②(∁RA)∪B＝R，③A∩B＝B这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若问题中的实数a不存在，请说明理由．已知集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|a＋14}，由B⊆(∁RA)得，当B＝∅时，a＋1≥2a－1，解得a≤2；当B≠∅时，a+1<2a-1，2a-1≤1或a+1<2a-1，a+1≥4，解得a≥3．综上，存在实数a，使得B⊆(∁RA)，且a的取值范围为(－∞，2]∪[3，＋∞)．若选②．∁RA＝{x|x<1或x>4}，由(∁RA)∪B＝R，得B≠∅，所以2a-1>4，a+1<1，此方程组无解，所以不存在实数a，使得(∁RA)∪B＝R．若选③．由A∩B＝B可知B⊆A．当B＝∅时，a＋1≥2a－1，解得a≤2；当B≠∅时，a+1<2a-1，a+1≥1，2a-1≤4，解得2