数学必修第一册4.4 对数函数优秀精练

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这是一份数学必修第一册4.4 对数函数优秀精练，文件包含人教A版数学高一必修第一册专题44对数函数讲+练2大考点原卷版docx、人教A版数学高一必修第一册专题44对数函数讲+练2大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页，欢迎下载使用。

知识点一
对数函数的概念
函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
知识点二
对数函数的图象和性质
知识点三
反函数
对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
知识点四
常用结论
1.在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴．
2.对数值lgax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．
(1)当01，a>1时，lgax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数lgax>0，即对数值为正数，简称为“同正”；
(2)当01或x>1,0考点01 对数函数的判断与解析式
【典例1】（2022秋·北京东城·高一校考期中）函数为对数函数，则．
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 .
【总结提升】
对数函数的解析式同时满足：
①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.
考点02 对数（型）函数的求值
【典例3】（2022秋·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考期中）已知函数，则（）
A．-1B．0C．1D．2
【典例4】（2023秋·陕西汉中·高三校联考阶段练习）已知则．
考点03 求对数（复合）函数定义域
【典例5】（2023秋·新疆乌鲁木齐·高三乌市八中校考阶段练习）函数的定义域为（）
A．B．C．D．
【典例6】（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【总结提升】
定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性．
考点04 对数（复合）函数的值域
【典例7】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的值域是．
【典例8】（2023春·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考期末）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)若函数的最大值为2，求实数a的值.
考点05 根据函数的值域求参数
【典例9】（2023秋·高一课时练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为．
【典例10】（2023·全国·高一专题练习）设且，若函数的值域是，则的取值范围是 .
【总结提升】
对数型复合函数的值域
对于形如y＝lgaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝lgau，u＝f(x)两个函数；
(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝lgau的单调性求解．
考点06 对数（型）函数图象的辨识
【典例11】（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）函数的图像大致为（）
A． B．
C． D．
【典例12】【多选题】（2023·全国·高一专题练习）已知，函数与的图像可能是（）
A． B．
C． D．
【规律方法】
识图的三种常用方法
（1）抓住函数的性质，定性分析：
= 1 \* GB3 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； = 2 \* GB3 ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； = 3 \* GB3 ③从周期性，判断图象的循环往复； = 4 \* GB3 ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性． = 5 \* GB3 ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
(2)抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
= 1 \* GB3 ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
= 2 \* GB3 ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
考点07 对数（型）函数图象过定点问题
【典例13】（2022秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（）
A．2B．4C．6D．8
【典例14】（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知函数（且）过定点，且定点在直线上，则的最小值为 .
【总结提升】
形如y＝af (x)的函数的值域，可先求f (x)的值域再根据函数y＝at的单调性确定y＝af (x)的值域．
考点08 对数函数图象的应用
【典例15】（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）若，，，则（）
A．B．C．D．
【典例16】（2023秋·江苏苏州·高一统考开学考试）已知函数，（1）当时，则实数a，b之间的大小关系是；（2）若，且，则的取值范围是 .
考点09 对数（复合）函数的单调区间
【典例17】（2024秋·新疆·高三校联考阶段练习）若为奇函数，则的单调递增区间是（）
A．B．
C．D．
【典例18】（2021·天津·高一期末）函数的单调递减区间是___________．
【总结提升】
复合函数的单调性遵循“同增异减”.
考点10 对数（复合）函数的奇偶性问题
【典例19】（2023秋·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考期末）已知函数是奇函数，则实数的值为 .
【典例20】（2023秋·吉林长春·高三长春外国语学校校考阶段练习）函数是定义在R上的偶函数，是奇函数，且当时，，则 .
【总结提升】
(1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种：
①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．
②由f(－a)＝f(a)或f(－a)＝－f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验．
(2)用定义证明形如y＝lgaf(x)函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．
考点11 对数（复合）函数单调性应用
【典例21】（2023·浙江·模拟预测）若，则（）
A．B．
C．D．
【典例22】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）函数在区间上是单调递增，则实数的取值范围是．
【总结提升】
1.比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
2.根据单调性求参数问题，要注意转化成“恒成立”问题，建立不等式（组）求解.
考点12 求对数（复合）函数的最值
【典例23】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则下列选项错误的有（）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．存在最小值D．存在最大值
【典例24】【多选题】（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（）
A．
B．函数的图象与x轴有两个交点
C．函数的最小值为
D．函数的图象关于直线对称
【总结提升】
复合函数问题，往往利用换元法，即把对数式看做一个变量，将问题加以转化.
考点13 根据对数（复合）函数的最值求参数
【典例25】（2023秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设常数且，若函数在区间上的最大值为1，最小值为0，则实数 .
【典例26】（2023春·四川泸州·高一统考期末）已知函数的图象关于原点对称．
(1)判断函数在定义域上的单调性，并用并调性的定义证明；
(2)设函数（且）在上的最小值为1，求的值．
考点14 对数函数与奇偶性、单调性综合问题
【典例27】（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且当时，，则下列不等式正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【典例28】（2023秋·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若关于实数t的不等式恒成立，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
考点15 互为反函数图象对称性及其应用
【典例29】（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（）
A．1B．2C．3D．4
【典例30】（2020秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数的单调递增区间是 .
考点16 对数（复合）函数与不等式的综合问题
【典例31】（2023·全国·高一专题练习）已知函数.
(1)求函数的值域；
(2)解关于的不等式；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【典例32】（2022秋·天津滨海新·高一天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中）已知函数的图象过点，．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数区间上单调递减，求实数的取值范围；
(3)设，若对于任意，都有，求的取值范围．
【总结提升】
常见的对数不等式有三种类型：
(1)形如lgax＞lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．
(2)形如lgax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解．
(3)形如lgax＞lgbx的不等式，可利用图象求解．
1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（）
A．B．
C．D．
2．（2021·天津·统考高考真题）函数的图像大致为（）
A．B．
C．D．
3．（2020·全国·统考高考真题）设函数，则f(x)（）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
一、单选题
1.（2024秋·广东广州·高三中山大学附属中学校考阶段练习）函数的定义域为（）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则的值域为（）
A．B．
C．D．
3.（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知函数为奇函数，则（）
A．B．C．D．
4.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知，，，则（）．
A．B．C．D．
5.（2023·全国·高三专题练习）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（）
A．B．
C．D．
6.（2023秋·吉林长春·高三校考阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若关于实数的不等式恒成立，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则函数与的图象可能是（）
A． B．
C． D．
8.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（）
A．若值域为，则B．若定义域为，则
C．若最大值为0，则D．若最小值为1，则
三、填空题
9．（2023秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）已知函数，则函数的值域为．
10．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为．
四、解答题
11．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）在上的最大值为.
(1)求的值；
(2)当时，，求实数的取值范围.
12.（2023·全国·高一专题练习）已知函数，，．
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)若对，，使得成立，求实数的取值范围．
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数