人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时学案设计，共8页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
【自主学习】
一．一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是 或 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.
二．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的 叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
解读：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
三．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
解读：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
【小试牛刀】
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( )
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( )
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.( )
2.不等式3x2－2x＋1＞0的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＜x＜\f(1,3))))) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＜x＜1)))) C．∅ D．R
3.若eq \r(x2＋x－12)有意义，则实数x的取值范围为________．
【经典例题】
题型一 不含参数的一元二次不等式的解法
点拨：解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；
(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；
(3)有根求根；
(4)根据图象写出不等式的解集.
例1 解下列不等式：
(1)－x2＋7x>6； (2)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)。
【跟踪训练】1 解下列不等式
(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；
(3)－x2＋2x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0.
题型二 一元二次不等式解法的逆向问题（已知解集求参数）
点拨：
已知以a，b，c为参数的不等式，如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
(1)根据解集来判断二次项系数的符号；
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
(3)约去 a， 将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
例2 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集．
点拨：由x2＋ax＋b<0的解集为{x|1【跟踪训练】2 关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)≤x≤2)))).求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．

题型三 含参数的一元二次不等式的解法
点拨：解含参数的一元二次不等式时
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
例3 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．
点拨：先求出方程x2－ax－2a2＝0的两根x1＝2a，x2＝－a，再通过比较2a与－a的大小写出不等式的解集．
【跟踪训练】3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
【当堂达标】
1.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.若不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＜x＜\f(1,2)))))，则a，c的值为( )
A.a＝6，c＝1 B.a＝－6，c＝－1
C.a＝1，c＝6 D.a＝－1，c＝－6
3.已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－24. (多选题)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是( )
A．b＜0且c＞0 B．a－b＋c＞0
C．a＋b＋c＞0 D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|－2＜x＜1}
5.当a>－1时，关于x的不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集是________．
6.解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．
【课堂小结】
1.解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ＝b2－4ac的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若Δ<0，则对应的二次方程无根；(4)联系二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外).
2.解含字母参数的一元二次不等式，与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的运用．
3.解一元二次不等式，应首先尝试因式分解法，若能够进行因式分解，那么在解含参数的不等式时，就可以避免对Δ≤0的讨论.
【参考答案】
【自主学习】
一个 2 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
实数x
三．{x|x＜x1或x＞x2} {x|x1＜x＜x2} eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a))))) ∅ R ∅
【小试牛刀】
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2.D 解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.
3. x≥3或x≤－4 解析：要使eq \r(x2＋x－12)有意义，则x2＋x－12≥0，∴(x－3)(x＋4)≥0，∴x≥3或x≤－4.
【经典例题】
例1 解：(1)原不等式可化为x2－7x＋6<0.
解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1(2)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝eq \f(2,3).
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(2,3))))).
【跟踪训练】1 解：(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－eq \f(1,2)，x2＝2，
∴不等式2x2－3x－2>0的解集为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,2)或x>2)))).
(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
∴不等式x2－4x＋4>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠2)).
(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，
由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，
∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.
(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，
由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝eq \f(2,3)，x2＝1，
∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,3)例2解：∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．
由韦达定理有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＝1＋2，,b＝1×2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝2，))
代入所求不等式bx2＋ax＋1>0，得2x2－3x＋1>0.
由2x2－3x＋1>0⇔(2x－1)(x－1)>0⇔x1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,2)或x>1)))).
【跟踪训练】2 解：由ax2＋bx＋c≥0的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)≤x≤2))))知a＜0.
又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))×2＝eq \f(c,a)＜0，则c＞0.
又－eq \f(1,3)，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－eq \f(b,a)＝eq \f(5,3)，∴eq \f(b,a)＝－eq \f(5,3).
又eq \f(c,a)＝－eq \f(2,3)，∴b＝－eq \f(5,3)a，c＝－eq \f(2,3)a，
∴不等式cx2＋bx＋a＜0变为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)a))x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)a))x＋a＜0，
即2ax2＋5ax－3a＞0.
又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，
所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－3＜x＜\f(1,2))))).
例3 解：原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0，对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
①当2a>－a，即a>0时，不等式的解集为{x|－a②当2a＝－a，即a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；
③当2a<－a，即a<0时，不等式的解集为{x|2a综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|－a【跟踪训练】3 解：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1.
②当a<0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，解得x1.
③当a>0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0.
若a＝1，即eq \f(1,a)＝1时，不等式无解；
若a>1，即eq \f(1,a)<1时，解得eq \f(1,a)若01时，解得1综上，当a<0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,a)或x>1))))；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a>1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)【当堂达标】
1.B 解析：②④一定是一元二次不等式.
2.B 解析：易知a＜0，且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(5,a)＝\f(1,2)＋\f(1,3)，,\f(c,a)＝\f(1,3)×\f(1,2)))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－6，,c＝－1.))
3.C 解析：由题意得N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－24.ABD 解析：对于A，a＜0，－1,2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，所以A正确；
令y＝ax2－bx＋c，对于B，由题意可知当x＝1时，＝a－b＋c＞0，所以B正确；
对于C，当x＝－1时，a＋b＋c＝0，所以C错误；
对于D，因为对于方程ax2＋bx＋c＝0，设其两根为x1，x2，
所以x1＋x2＝＝－1，x1x2＝＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|－2＜x＜1}，所以D正确．
5. {x|x<－a或x>1} 解析：原不等式可化为(x＋a)(x－1)>0，
方程(x＋a)(x－1)＝0的两根为－a,1，
∵a>－1，
∴－a<1，故不等式的解集为{x|x<－a或x>1}．
6.解：原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，
化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
∵a<0，∴(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,a)))≤0.
当－2当a＝－2时，x＝－1；
当a<－2时，－1≤x≤eq \f(2,a).
综上所述，
当－2当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；
当a<－2时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤\f(2,a))))).课程标准
学科素养
1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．
2．掌握图象法解一元二次不等式．(重点)
3．通过解不等式，体会数形结合、分类讨论的思想方法．（难点）
1、数学抽象
2、数学运算
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2
有两个相等的实数根x1，x2
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集